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2025-2026学年广东省惠州市惠阳区第五中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列导数运算正确的有( )
A. B.
C. D.
2.等比数列中，与的等差中项为，若，则( )
A. B. C. D.
3.今天是星期五，天以后是星期( )
A. 一 B. 日 C. 五 D. 六
4.某中学第一党支部拟选名党员到，，三个社区做志愿服务，要求每个社区至少有一名党员，则不同的安排方法共有种
A. B. C. D.
5.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，一个地区分为个不同的行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有种颜色可供选择，则不同的着色方法种数是( )
A.
B.
C.
D.
7.假设、是两个事件，且，，则下列结论一定成立的是( )
A. B.
C. D.
8.若函数在上有最大值，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现分配甲、乙、丙三名临床医学检验专家到，，，四家医院进行核酸检测指导，每名专家只能选择一家医院，且允许多人选择同一家医院，则( )
A. 所有可能的安排方法有种
B. 若三名专家选择两所医院，每所医院至少去一人，则不同的安排方法有种
C. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，则不同的安排方法有种
D. 若三名专家选择三所医院，每所医院去一人，但是甲不去医院，则不同的安排方法有种
10.已知数列的前项和为，，且，则( )
A. B. C. D.
11.某市四所高中的足球队分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛，最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，下列说法正确的是( )
A. 甲队积分为分的概率为 B. 四支球队的积分总和可能为分
C. 丙队积分为分的概率为 D. 甲队胜场且乙队胜场的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知两个随机事件，，若，，则 ．
13.的展开式中含的项的系数是，则实数的值为 ．
14.已知函数，若，则的最小值为 ，若在上为单调函数，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数在处的切线方程；
求函数的单调区间和极值．
16.本小题分
甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有个红球，个白球；乙袋装有个红球，个白球．
若从甲袋中连续抽取次，每次取个球，抽取后不放回，
求取出的个球中至少有一个红球的概率；
求在第次取到白球的条件下，第次取到红球的概率；
若从甲袋中随机取个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取个球，求取到的个球中恰有个红球的概率．
17.本小题分
生命在于运动．某市开展“学生体质健康提升工程”系列活动，举行一年一度的春季中学生运动会．某校决定从名运动员含甲、乙运动员中选人参加米接力赛，在下列条件下，各有多少种不同的排法？
甲、乙两人都不入选；
甲、乙两人必须入选，且跑中间两棒；
甲不跑第一棒乙不跑第四棒．
18.本小题分
已知数列的前项和，等比数列的公比，且，是，的等差中项．
求数列和的通项公式；
求数列的前项和．
19.本小题分
设函数的定义域为，且的导函数在上的图象是一条连续不断的曲线，已知，且对于任意，都有．
判断函数的单调性，并证明：对于任意，，都有；
若在上单调递增，且数列满足．
证明：数列单调递减；
记为数列的前项和，证明：对于任意，都有．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】解：函数的定义域为．
导函数．
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即．
令，解得：或列表得：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数的单调增区间为，；单调减区间为；
的极大值为，极小值为．
16.【答案】，
17.【答案】解：根据题意，甲、乙两人都不入选，将其他人全排列即可，
则有种排法，
根据题意，甲、乙两人必须入选，且跑中间两棒，
则甲乙有种排法，
再从剩下人中选出人，安排在第一、四棒，则有种排法；
根据题意，以乙跑不跑第一棒分成种情况讨论：
，乙跑第一棒，有种排法
，乙不跑第一棒，有种排法
所以共有种排法．
18.【答案】，
19.【答案】解：由题有．
因为对于任意，都有，
即，且，所以，故函数在上单调递增，
下面证明：
因为，，所以，由的单调递增性质可知，
即因为且，整理得：
同理，因为，所以，由的单调递增性质可知，
即，整理得
将两式相加得，
因为，两边同时除以，
得，得证．
证明：由题意，则．
要证明数列单调递减，即证明单调递增，
因为在上单调递增，且，所以．
由知，在上单调递增，且，所以
因为，且定义域为，，且单调递增，
故当时，，从而，
所以，即故数列单调递减．
记．
由可知有，
同理，
依此类推，可得：，
将代入右侧可得，即．
由题意，令，则满足，所以
因为在上单调递增，所以，
即，得证．
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