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2025-2026学年江苏省苏州市某校高二（下）期末数学模拟试卷（2）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.若，则可导函数在处的导数为( )
A. B. C. D.
3.如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，，则线段的长度为( )
A.
B.
C.
D.
4.某公司招聘考试分笔试与面试两部分进行，每部分成绩只记“合格”与“不合格”，两部分成绩都合格者则被公司录取已知甲、乙、丙三人在笔试部分合格的概率分别为，在面试部分合格的概率分别为，所有考试是否合格相互之间没有影响假设甲、乙、丙三人都同时参加了笔试和面试，则三人中只有一人被录取的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
6.下列说法中正确的是( )
设随机变量服从二项分布，则
一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，则至少有一件不合格的概率为
小赵、小钱、小孙、小李到个景点旅游，每人只去一个景点，设事件“个人去的景点互不相同”，事件“小赵独自去一个景点”，则
，
A. B. C. D.
7.如图，四边形中，，现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8.某罐中装有大小和质地相同的个红球和个绿球，每次不放回地随机摸出个球，连续摸两次记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是( )
A. 与为互斥事件 B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 在处取得极小值 B. 有个零点
C. 在区间上的值域为 D. 曲线的对称中心为
10.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A.
B. 若为直线上的动点，则为定值
C. 点到平面的距离为
D. 过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
11.已知的展开式共有项，则下列说法中正确的有( )
A. 所有奇数项的二项式系数和为 B. 所有项的系数和为
C. 二项式系数最大的项为第项 D. 有理项共项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某校组织学生参加农业实践活动，期间安排了劳动技能比赛，比赛共个项目，分别为整地做畦、旱田播种、作物移栽、田间灌溉、藤架搭建，规定每人参加其中个项目假设每人参加每个项目的可能性相同，则甲同学参加“整地做畦”项目的概率为 ．
13.如图所示，为平行六面体六个面均为平行四边形的棱柱，点、分别在棱、上，满足，为实数若平面截所得截面是一个五边形，则的取值范围是 ．
14.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则第次传球后球在乙手中的概率为 ，第次传球后球在乙手中的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
若平面与平面的夹角的正弦值为，
求长；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
民航招飞是指普通高校飞行技术专业本科通过高考招收飞行学生，报名的学生需参与预选初检、体检鉴定、飞行职业心理学检测、背景调查、高考选拔共项流程，其中前项流程选拔均通过，则被确认为有效招飞申请，然后参加高考，由招飞院校择优录取据统计，某校高三在校学生有人，其中男生人，女生人，各有名学生有民航招飞意向．
完成以下列联表，并根据小概率值的独立性检验，能否认为该校高三学生是否有民航招飞意向与学生性别有关？
对民航招飞有意向 对民航招飞没有意向 合计
男生
女生
合计
若每名报名学生通过前项流程的概率依次为，，，假设学生能否通过每项流程相互独立，以这名男生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三男生对民航招飞有意向的概率，以这名女生对民航招飞有意向的频率作为甲地高三女生对民航招飞有意向的概率从甲地任选一名高三学生男、女学生的比例为：，求这名学生对民航招飞有意向且通过前项流程的概率．
附：．
17.本小题分
已知函数．
当时，求函数在点处的切线方程；
若，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
年春晚为观众带来了一场精彩纷呈的视觉盛宴，同时，也是传统文化与现代科技完美融合的展现魔术师刘谦为大家呈现了一个精妙绝伦的魔术守岁共此时，小明深受启发，在家尝试对这个魔术进行改良，小明准备了甲、乙两个一模一样的袋子，甲、乙两袋中各装有大小相同的小球个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为，，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为，小明用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
若左手取完两球后，右手再取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球左右手完成各取两球为两次取球的成功取法次数的随机变量，求的分布列．
19.本小题分
已知函数为常数，是函数的一个极值点．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ如果当时，不等式恒成立，求实数的最大值；
Ⅲ求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】

15.【答案】解：证明：在四棱锥中，底面是矩形，故AD，
侧棱底面，而，底面，故侧棱，侧棱，
，是的中点，作交于点，
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，则．
，
，．
，且，，平面．
由线面垂直的判定定理得平面．
设平面的法向量为，又，
，令，得，
设平面的法向量，
，令，得，
设平面与平面的夹角为，
平面与平面的夹角的正弦值为，
则，
，，，
解得舍去负值，长为．
由知，
由线面角定义得是直线与平面所成角的一个平面角，
在直角中，由题意得，
又与互为余角，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
16.【答案】表格见解析，有关；
．
17.【答案】解：由题设当时，，
所以，得，
又，
所以函数在点处的切线方程为，
即．
若，不等式恒成立，则，
，
当时，对于，，所以在上单调递增，
所以时，，即满足题意；
当时，若，则，在上单调递减，
所以，与矛盾，不合题意．
综上所述，实数的取值范围为．
18.【答案】解：记事件为“两手所取的球不同色”，事件表示“两手所取球颜色相同”，
则，
所以；
依题意，的可能取值为，，，
左手所取的两球颜色相同的概率为，右手所取的两球颜色相同的概率为，
则，，，
所以的分布列为：



19.【答案】解：Ⅰ由题意得：，
是函数的一个极值点，
，解得：，
Ⅱ由Ⅰ得，定义域为，
问题等价于在上恒成立，
构造函数，，
则，
令，，
则，
时，，在递增，
，
，
在递增，
，，
实数的最大值为；
Ⅲ由Ⅱ得：时，，即，
整理得，
令，则，
即，
时，，
时，，
，
时，，
将以上不等式两端分别相加得：
，
即．
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