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2025-2026学年上海市普陀区曹杨中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共22分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
2.已知各项都大于的一组数据、、、，满足若去掉、，再加入、、、中任意两项后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，以下统计量：极差；平均数；方差；第百分位数一定变小的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
3.对于函数，定义集合任意，，，“”是“函数在上为严格增函数”的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分也非必要
4.设在曲线上，若存在过点的直线交曲线于点，交直线：于点，且满足或，则称点为“二中点”，那么下列结论中正确的为( )
A. 曲线上所有点都是“二中点”
B. 曲线上仅有有限多个点是“二中点”
C. 曲线上所有点都不是“二中点”
D. 曲线上有无穷多个点但不是全部是“二中点”
二、填空题：本题共12小题，共66分。
5.已知集合，用列举法写出集合 ．
6.已知随机变量服从正态分布，则 ．
7.已知，则 ．
8.若，则 ．
9.已知，若幂函数奇函数，且在上为严格减函数，则 ．
10.已知，取值如表所示，由表中数据可得回归方程中，，试预测当时，的值约为 ．
11.已知，，，，则 ．
12.已知，，若，则的最小值为 ．
13.设，直线：，点在曲线上，点在直线上，则的最小值为 ．
14.掷红、蓝两颗骰子，记红色骰子的点数为，蓝色骰子的点数为，设，则函数有三个零点的概率为 ．
15.抛物线：的焦点为，准线为，、是抛物线上两个动点，且满足设线段的中点在准线上的投影为，则的最小值为 ．
16.设，，若集合恰有个子集，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知正方体，是中点，是中点，是中点求证：平面；
求异面直线和所成角的余弦值．
18.本小题分
设，．
若，解关于的不等式；
若关于的方程解集中恰有一个元素，求的取值范围．
19.本小题分
某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取名工人，将他们随机分成两组，每组人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式完成生产任务的工作时间不超过分钟的工人为“优秀”，否则为“合格”根据工人完成生产任务的工作时间单位：分钟绘制了如下茎叶图：
求名工人完成生产任务所需时间的第百分位数；
独立地从两种生产方式中各选出一个人，求选出的两个人均为优秀的概率；
根据工人完成生产任务的工作时间，统计两种生产方式优秀与合格的人数填入下面的列联表：
第一种生产方式 第二种生产方式 总计
优秀
合格
总计
根据上面的列联表，判断能否有的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异？
附：，，
20.本小题分
已知，椭圆：．
若椭圆的离心率为，求的值；
设为椭圆上动点，点，若在椭圆右顶点处取到的最小值，求的取值范围；
若，点，动直线与椭圆交于不同的两点，，满足直线，的斜率之积为是否存在直线，使得为直角三角形？若存在，求出直线的斜率；若不存在，请说明理由．
21.本小题分
已知函数是定义在上的连续函数，对于正实数，记和分别为函数在上的最大值和最小值，．
若，求的值；
若，求函数的解析式；
证明：“在上为严格增函数”是“在上为严格增函数”的充要条件．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】或．
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】证明：连接，，
底面为正方形，是中点，
是中点，又是中点，，
平面，平面，
平面．
解：取中点，连接，，，
设正方体棱长为．
，，．
故四边形是平行四边形，
或其补角中的锐角或直角为异面直线和所成角．
在．
异面直线和所成角的余弦值为．
18.【答案】 ，或或
19.【答案】 列联表如下：
第一种生产方式 第二种生产方式 总计
优秀
合格
总计
有的把握认为两种生产方式的工作效率有显著差异
20.【答案】 存在，直线的斜率为
21.【答案】 必要性：若在单调递增，则时，，，
则，
所以当时，单调递增，即在单调递增；充分性：若在单调递增．
假设不是在严格增函数．则存在，使
由于连续，则非严格减，非严格增．
而为单调递增，即在单调递增，
由于非减，非增．
若在存在局部递减区间，则在此区间不变，不变或变小．
这导致不严格增．
这与在单调递增矛盾，即在单调递增．
综上，充要条件得证
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