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2025-2026学年广东省肇庆市第六中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列导数式子正确的是( )
A. B. C. D.
2.某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑冰，则该同学也爱好滑雪的概率为( )
A. B. C. D.
3.二项式展开式中有理项的项数是( )
A. 项 B. 项 C. 项 D. 项
4.已知函数，其导函数的图象如图所示，则对于的描述正确的是( )
A. 在区间上单调递减
B. 当时取得最大值
C. 在区间上单调递增
D. 当时取得极小值
5.已知函数在处有极值，则( )
A. 或 B. C. D. 或
6.有名护士到某医院实习，该医院将这名护士分到心内科、心外科、骨科这三个科室，每个科室至少分人，且每人只去一个科室，则不同的分配方案种数为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知函数，则下列结论正确的是( )
A. 是函数定义域内的极小值点． B. 的单调减区间是．
C. 在定义域内无最小值，无最大值． D. ．
11.把数，，，，，按任意顺序排一列，构成数列，，，，，，则( )
A. 满足，，与，，分别成等差数列的排法种数为
B. 满足，且的排法种数为
C. 满足的排法种数为
D. 满足的排法种数为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为，，已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为
13.定义域为的二次函数满足：为奇函数；对任意的，，若，都有写出一个满足条件的函数 ．
14.存在使不等式成立，则的最小整数解为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋中装有个红球，个白球，从中不放回地任取两次，每次取一球．
求在第一次取出红球的条件下，第二次取出红球的概率．
求第二次才取到红球的概率．
16.本小题分
已知．
若展开式的二项式系数和为，求的值；
当时，二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则求的值；
当，时，求二项式的展开式中系数最大的项．
17.本小题分
设函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数在区间上的最大值与最小值；
若函数在有三个不同的零点，求的取值范围．
18.本小题分
小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复．
求该同学第二天中午选择食堂就餐的概率；
记该同学第天选择食堂就餐的概率为；
证明：为等比数列；
当时，恒成立，求取值范围．
19.本小题分
已知，，是自然对数的底数．
求函数的单调区间；
若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围；
当时，若满足，求证：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】满足，即可
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】 或
17.【答案】 最大值为，最小值为
18.【答案】 证明：设为“第天选择食堂”，则，，
根据题意，，
由全概率公式得：，
因此，因为，
所以是以为首项，为公比的等比数列．

19.【答案】当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 证明：当时，，求导得，
由知，函数在上单调递减，在上单调递增；由，且，得，
令函数，，
求导得，
则函数在上单调递增，有，于是，
而，因此，即，
又，，
函数在上单调递增，所以，
所以
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