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2025-2026学年山西省长治学院附属太行中学校高二（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在正项等比数列中，，，则公比为( )
A. B. C. D.
2.若随机变量满足，则( )
A. B. C. D.
3.若随机变量，且，，则( )
A. B. C. D.
4.已知变量，的统计数据如下，若与的回归直线方程为，则( )
A. B. C. D.
5.不同的正因数个数为( )
A. B. C. D.
6.已知函数，若存在实数，使得成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
7.根据汕头市气象灾害风险提示，月日日我市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至处．已知有包括甲乙在内的个排水施工队前往个指定易涝路口强排水且每个易涝路口至少安排一个排水施工队，其中甲、乙施工队不在同个易涝路口，则不同的安排方法有( )
A. B. C. D.
8.“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过次随机选择后到达号仓的概率为，已知该粒子的初始位置在号仓，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，则( )
A. B.
C. D.
10.下列说法中正确的是( )
A. 如果由一组样本数据，，得到的经验回归方程是，那么经验回归直线至少经过点，，中的一个
B. 在回归分析中，可用决定系数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好
C. 残差图是一种散点图，若残差点比较均匀地落在以横轴为对称轴的水平的带状区域中，说明模型选择比较合适，而且带状区域的宽度越窄，模型拟合的精度越高
D. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则，的值分别是和
11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中的曲线的一部分，已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为，则( )
A. B. 点在上
C. 在第一象限的纵坐标的最大值为 D. 当点在上时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与双曲线有相同渐近线，且经过点的双曲线的方程是 ．
13.已知随机变量的分布列如表所示：
则的最大值是 ．
14.某校元旦晚会设计了一个抽奖游戏，主持人从编号为，，，四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入奖品，再将四个箱子关闭，即主持人知道奖品在哪个箱子当抽奖人选择某个箱子后，在箱子打开之前，主持人会随机打开一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率已知甲先选择了号箱子，则在主持人打开号箱子的情况下，奖品在号箱子的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知某区组建了一支人的志愿者队伍，并由其中人组成“志愿模范队”经过一年的实践，全队共有人的周平均服务时长超过小时，其中有人来自“志愿模范队”，如下表所示．
是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计
周平均服务时长超过小时
周平均服务时长不超过小时
总计
已知一名志愿者是“志愿模范队”成员，求其周平均服务时长超过小时的概率．
请完成列联表，并根据表中数据回答：是否有的把握认为“是志愿模范队成员”与“周平均服务时长超过小时”有关系？
附录：，其中．
16.本小题分
某商场为了促进消费，推出购物优惠活动，消费者购物每满元可参加一次抽奖，抽奖活动如下：抽奖箱设置个红球和个白球，每次抽取个球若抽中个白球，返现金元；若抽中个红球和个白球，返现金元；若抽中个红球，返现金元．
顾客恰好消费了元，设他所获得返现金额为随机变量求的分布列与数学期望；
顾客消费了元．
顾客获得返现金额为元的概率是多少？
若该商场同时还推出购物享九折优惠活动减免总金额的，则顾客应选择哪种方案更优惠？备注：不能同时参加抽奖和打折活动
17.本小题分
已知是单调递增数列，记为数列的前项和，且．
证明：是等差数列；
令，求．
18.本小题分
已知椭圆：，，是的右顶点．
若的焦点是，求离心率；
若，且上存在一点，满足，求；
若中垂线的斜率为，与交于、两点，为钝角，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若函数在存在单调递减区间，求实数的取值范围；
当时，证明：函数有且仅有两个零点．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】 列联表：
是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计
周平均服务时长超过小时
周平均服务时长不超过小时
总计
有的把握认为“是志愿模范队成员”与“周平均服务时长超过小时”有关
16.【答案】的分布列为：
；打折更划算
17.【答案】证明：令，得，；由题意得，
当时，，即，
或，
或．
数列是单调递增数列，当时，，
，
，，即是首项为，公差为的等差数列
18.【答案】；
；

19.【答案】 证明：由题意得，则，
令，，则，
令可得，舍或，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又，，，
所以存在，使得，即，
所以当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
因为时，，，
所以存在，使得，
又，
所以存在，使得，
所以函数有且仅有两个零点
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