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2025-2026学年重庆市渝中区鲁能巴蜀中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，且，则( )
A. B. 或 C. D.
2.下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
3.某一地区的患有癌症的人占，患者对一种试验反应是阳性的概率为，正常人对这种试验反应是阳性的概率为现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率大约为( )
A. B. C. D.
4.的值等于( )
A. B. C. D.
5.现有个样本数据，，，，可得经验回归方程为，且，若去掉一个数据点后，可以得到新的经验回归方程为，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.过函数图像上一点的切线方程是( )
A. B.
C. 或 D.
7.甲，乙，丙，丁，戊参加数学竞赛，决出了第一名到第五名的排名，甲和乙去询问成绩，老师对甲说：“很遗憾，你没有拿到第一名”，对乙说：“你的名次和甲没有挨着一起”，则这人的名次排列不同的情况有种．
A. B. C. D.
8.如图，已知椭圆的左、右焦点是、，为椭圆上一点，在边上的旁切圆旁切圆圆心是一个内角平分线和两个外角平分线的交点与直线相切于点，与轴相切于点，若，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
10.下列说法正确的是( )
A. 相关系数越大两个变量间相关性越强
B. 相关系数时，样本点在同一直线上
C. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则
D. 已知随机变量服从正态分布，设函数，则是增函数
11.已知抛物线：，焦点为，为原点，过焦点的直线与交于，两点，过点作抛物线的切线，交轴于点，则说法正确的是( )
A. 若，则点的纵坐标为
B. 可以为锐角三角形
C.
D. 若以为直径的圆与抛物线的准线相切于点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为 ．
13.函数的最大值是 ．
14.已知双曲线的左右焦点为，，为双曲线右支上一点，为的内心，直线与轴交于点，且，则双曲线的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
年月日，十堰马拉松在十堰市奥体中心鸣枪起跑马拉松比赛是一项高负荷、高强度、长距离的竞技运动，对参赛运动员身体状况有较高的要求，参赛运动员应身体健康，有长期参加跑步锻炼或训练的基础为了解市民对马拉松的喜爱程度，从成年男性和女性中各随机抽取人，调查是否喜爱马拉松，得到了如下列联表：
单位：人
性别 马拉松 合计
喜爱 不喜爱
男
女
合计
完成列联表，并依据小概率值的独立性检验，是否可以推断喜爱马拉松与性别有关？
依据统计表，用分层抽样的方法从“喜爱马拉松”的人中抽取人，再从这人中随机抽取人，记其中女性人数为，求的分布列及期望．
附：．
16.本小题分
已知在正三棱柱中，，．
已知，分别为棱，的中点，求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知椭圆与抛物线：的公共焦点为，过点且斜率存在的直线与交于，两点，与交于，两点，记直线，，，为原点的斜率分别为，，，．
求与的方程；
证明：为定值．
18.本小题分
某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于为合格品，小于为次品，现抽取这种元件件进行检测，检测结果统计如下表：
测试指标
元件数件
现从这件样品中随机抽取件，在其中一件为合格品的条件下，求另一件为不合格品的概率；
关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．
若，证明：；
由切比雪夫不等式可知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？注：当随机事件发生的概率小于时，可称事件为小概率事件
19.本小题分
已知函数，，．
求在点处的切线的方程；
若．
证明：函数恰有两个零点；
设为的较大零点，，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】列联表见解析，可以推断喜爱马拉松与性别无关；
分布列见解析，．
16.【答案】证明：取的中点，连接，．
，分别为，中点，且，
又分别为中点，且，
且，故四边形是平行四边形，，
而平面，平面，
平面C.
解：如图以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，，，
，
即直线与平面所成角的正弦值是．
17.【答案】椭圆的方程为，抛物线的方程为 证明：由题意可知直线的斜率存在且不为，
设直线：，，，，，
联立，消去整理得，
则，，，
．
联立，消去整理得，则，
，，
，
为定值
18.【答案】记事件为抽到一件合格品，事件为抽到另一件为不合格品，
，，
；
若，
则，，
又，
所以或，
由切比雪夫不等式可知，，
所以，
设随机抽取件产品中合格品的件数为，假设厂家关于产品合格率为的说法成立，则，
所以，，
由切比雪夫不等式知，，
即在假设下个元件中合格品为个的概率不超过，此概率极小，由小概率原理可知，
一般来说在一次试验中是不会发生的，据此我们有理由推断工厂的合格率不可信．
19.【答案】 证明：由题可知，
则，
设，，则，
因为，所以，所以在上是减函数．
由，又结合，得，，
所以，
所以存在，使得，
所以当时，，即，此时单调递减，
当时，，即，此时单调递增，
所以是唯一的极值点，
显然，
因为在上递增，所以在上必存在一个零点，
因为后附证明，则，所以，
且，即，所以，
则，
所以在区间上必存在一个零点，
综上所述：在区间上恰有两个零点；证明：由可知，，得，
，得，所以，
即，因为，则，
所以，则，
所以，因后附证明，则得证．
附证明：设，则，
由可得，由可得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
故，即，当且仅当时取等．
证明：，设，，则，
则函数在上单调递减，则，即
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