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2025-2026学年山东省青岛市第十七中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果函数在处的导数为，那么( )
A. B. C. D.
2.在研究线性回归模型时，样本数据所对应的点均在直线上，用表示解释变量对于反应变量变化的线性相关度，则( )
A. B. C. D.
3.的展开式中含的项是( )
A. B. C. D.
4.甲、乙、丙、丁个学校将分别组织部分学生开展研学活动，现有，，，，五个研学基地供选择，每个学校只选择一个基地，则个学校中至少有个学校所选研学基地不相同的选择种数共有( )
A. B. C. D.
5.在上的导函数为，，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
6.设，下列正确的是( )
A. B.
C. D.
7.若函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.以下关于杨辉三角的猜想中，错误的是( )
A. 第行中，从左到右看第个数最大
B. 第行的所有数的和为
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量服从正态分布，且，则下列选项中一定正确的是( )
A.
B.
C. 若，则
D.
10.下列说法中正确的有( )
A. 在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好
B. 已知相关变量满足回归方程，则该方程对应于点的残差为
C. 已知随机变量，若，，则
D. 以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则，
11.已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是( )
A. 函数有且仅有两个零点
B. 函数有且仅有三个零点
C. 当时，不等式恒成立
D. 在上的值域为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有 种排法．
13.已知离散型随机变量的分布列如下表所示：
则的值为 ．
14.函数，，且的值域为 用表示．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中国铁路经过数十年的飞速发展，在高速铁路领域取得了重大突破时至今日，全国铁路列车已经形成了一套完整的列车车次编号体系：普通旅客列车普通旅客快车以数字编号如次；快速列车以数字编号如次；特快列车以数字编号如次；直达特快列车以数字编号如次；城际列车以数字编号如次；动车组列车以数字编号如次；高铁列车以数字编号如次；市郊旅客列车以数字编号如次；临时旅客列车以数字编号如次；旅游列车以数字编号如次．
为全面了解某市旅客出行需求，某机构在该市随机调查了名旅客出行选择的列车等级，并得到了下列表格：
列车等级 普客 普快 快速 特快 直达特快
频数
说明：
表示中国高速铁路，与普通速度列车区分，包括车次编号以“”“”“”“”开头的旅客列车；
受限于列车开行安排，车次编号以“”“”开头的旅客列车未列入统计．
用上表样本的频率估计概率，令等级为“普快”和“快速”的旅客列车统称为“常见普速列车”回答下列问题：
从参加调查的所有旅客中随机抽取人，这人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为，求和；
据另一项调查显示，未选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将不会改变出行方式，选择“常见普速列车”出行的旅客表示今后将改变出行方式，求参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率．
16.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若曲线经过点，且在处的切线为证明：除切点外，曲线在直线的下方．
17.本小题分
人工智能，英文缩写为是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学如今利用“人工智能”的场景屡见不鲜，从帮助记忆单词、解答难题、到人机比赛，它的身影无处不在小明和智能机器人进行一场“网球”比赛，规则为：比赛采用三局两胜制率先获得两局比赛胜利者获得最终的胜利，且比赛结束，已知小明第一局获胜的概率为从第二局开始，如果上一局获胜，则本局获胜的概率为；如果上一局失败，则本局获胜的概率为，每局比赛均没有平局．
在小明以：获得比赛胜利的条件下，求在第二局比赛中小明获胜的概率；
记整场比赛小明的获胜局数为，求的分布列和期望．
18.本小题分
年月日我国成功发射了神舟二十号载人飞船，我校航天社团于次日对本校学生进行了问卷调查，其中关于是否收看了现场直播的统计数据如表所示单位：人，已知从被访谈的同学中随机抽取人，抽到看现场直播的女同学的概率为．
看现场直播 未看现场直播
男同学
女同学
求的值；
是否有以上的把握认为，观看现场直播与学生性别有关？
为进一步调研，现从看现场直播的同学中按照性别比例采用分层随机抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人，记这人中女同学的人数为，求的分布列以及．
参考公式：．
参考数据：
19.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
当，时，恒成立，求实数的取值范围；
证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】．
15.【答案】解：记“未选择常见普速列车出行”为事件，
．
从参加调查的所有旅客中随机抽取人，这人中未选择“常见普速列车”出行的人数记为，
则，
，
．
由知 ，则有，
记“参加调查的旅客今后将不会改变出行方式”为事件，
由题意，，
，
参加调查的旅客今后将不会改变出行方式的概率为．
16.【答案】当时，，则在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 证明：因为曲线经过点
所以，解得．
所以．
因为，所以的方程为．
要证除切点外，曲线在直线的下方，
即证：，
只需证：．
设，则，
令，得；令，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
所以当，时，，
所以原命题得证
17.【答案】；

18.【答案】；
有的把握认为，观看现场直播与学生性别有关；
分布列见解析，．
19.【答案】解：由题意可得，则，又，
曲线在点处的切线方程为．
不等式恒成立等价于恒成立，
由时，恒成立，得，
令，由当时，恒成立，
得，，，令，，
，而，则当，即时，，
函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，符合题意，因此；
当时，时，，则函数在上单调递减，
此时，函数在上单调递减，
则当时，，不符合题意，
，即实数的取值范围是
证明：由知，当时，，
取，则，而，
，
．
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