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2025-2026学年广东外语外贸大学实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，，且的共轭复数为，则在复平面内对应的点关于虚轴对称的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形如图，，，则这个平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图的平面图形由个全部是边长为且有一个内角为的菱形组成，那么图形中的向量的数量积( )
A.
B.
C.
D.
5.已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下底面面积之差的绝对值为( )
A. B. C. D.
6.设非零平面向量，，两两不垂直，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，且，则该棱台的体积为( )
A. B. C. D.
8.平面过正方体的顶点，平面，平面，平面，则，所成角的正弦值为 ( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平行四边形中，点，分别是边和上的中点，与分别与交于，两点，则有( )
A. B.
C. D.
10.已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C.
D.
11.在中，，，，点在线段上，下列结论正确的是( )
A. 若是高，则
B. 若是中线，则
C. 若是角平分线，则
D. 若，则是线段的三等分点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，且，则在方向上的投影向量的坐标是 ．
13.正三棱柱的底面边长为，外接球表面积为，则正三棱柱的体积为 ．
14.在正方体中，是棱上的点，且平面将此正方体分为两部分，两部分体积分别为和，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，．
若与共线，求实数；
求的最小值及相应的值．
16.本小题分
如图，在正方体中，，为棱的中点求证：平面；
如图，在直三棱柱中，，，求证：C.
17.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求角的大小；
若，的面积，求的值．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，平面，，，，，为中点．
证明：平面；
过点作平行于平面的截面，画出该截面，说明理由，并求夹在该截面与平面之间的几何体的体积．
19.本小题分
某旅游景区内有一块等边三角形的景点，其中．
如图，为迎接观光游，拟修建观赏小径，，其中，，分别在，，上，且，问是否为定值？说明理由；
如图，为满足游客需求，拟修建两条商业街和，其中点在上，点在上若为中点，且，，求的最大值及此时的值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，，
，
又与共线，，
，
解得；
，，．
，
，
当时，．
16.【答案】如图所示，取的中点，连接、、，
则，且，
所以四边形是平行四边形，
所以，平面，平面，
同理可得：是平行四边形，
所以，平面，平面，
因为，，和是平面内的两条相交直线，
所以平面平面，又因为平面，
所以平面 如图所示，连接，和交点为，
由题意得：，，
所以平面，所以，
且因为，所以是正方形，
则，和是平面内的两条相交直线，
所以平面，
所以
17.【答案】解：由已知得，
即，由正弦定理，可得，
而在中，，
所以，
即，
整理得，
又，，所以，
则，所以；
由已知，，则，
由三角形的面积公式，已知，，
则，即，
又由正弦定理，可得，
而，，
所以，
解得．
18.【答案】解：证明：由题意可得：，，
则为平行四边形，可得，
且平面，平面，
所以平面；
取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，则，
且平面，平面，
所以平面，
且平面，，，平面，
所以平面平面，即过点作平行于平面的截面为平面，
在中，由余弦定理，
即，
则，即，
又平面，平面，则，
又，，平面，
所以平面，
即四棱锥的高为，其体积，
由题意可知：三棱锥的高为，其体积，
所以所求几何体的体积．
19.【答案】解：是定值，理由如下：
由题意知，，，所以∽，
所以，即，
所以，
在中，，
由正弦定理得，，
所以，
所以，是定值．
由题意知，，，，
在中，由正弦定理得，，
所以，
在中，由正弦定理得，，
所以，
所以，
因为，所以，所以，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，取到最大值．
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