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2025-2026学年重庆市四川外国语大学附属第二外国语学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.如图，等腰直角三角形的斜边长为，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原平面图形的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3.在中，角、、对的边分别为、、若，，，则角等于( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，，则( )
A. ，，三点共线 B. ，，三点共线
C. ，，三点共线 D. ，，三点共线
5.已知圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为( )
A. B. C. D.
6.已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则实数( )
A. B. C. D.
7.在中，若，，其面积为，则( )
A. B. C. D.
8.如图，已知，，，，，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为虚数单位，则( )
A. B. 对应的点在第一象限
C. 的虚部为 D. 的共轭复数为
10.已知，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若向量与向量的夹角为钝角，则
D. 的最小值为
11.数书九章是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在“三斜求积”中提出了：已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即：，现有满足：：：：，且的面积，请判断下列命题正确的是( )
A. 周长为
B. 若点为的外心，则
C. 内切圆的面积为
D. 的中线长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数为虚数单位是纯虚数，则实数的值为______．
13.如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点从点测得点的仰角，点的仰角以及，从点测得已知山高为米，则山高 米
14.如图，圆台形容器内放进半径分别为和的两个球，小球与容器下底面、容器壁均相切，大球与小球、容器壁、容器上底面均相切，则该容器的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
求与的坐标；
求向量的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知的角，，所对的边为，，，向量，向量，且．
求角的大小；
若，求的面积．
17.本小题分
在直角梯形中，，，，，，
将梯形绕直线旋转一周，求所得几何体的体积；
将梯形绕直线旋转一周，求所得几何体的表面积不含下底面．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且，其中为的外接圆半径．
求角的大小；
若点为边上靠近点的四等分点，且的面积为，，求的长度；
若，，当的周长最小时，求的面积．
19.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足A.
求证：；
若，
求的取值范围；
外接圆的面积为，内切圆的面积为，求的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】，
16.【答案】 或
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】证明：因为，
所以，
由正余弦定理可得，
即，
即，所以得证 ．
证明：设外接圆的半径为，内切圆的半径为，
则，，
所以，
由正弦定理可得，
，所以，
所以，
由可得，，
所以，
因为，则，
所以，即，
所以的取值范围是
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