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2025-2026学年江苏省南京师范大学附属中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知，表示两条不同直线，表示平面，若，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，，则( )
A. B. C. D.
4.中，，则为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知、且，则( )
A. B. C. D.
7.已知向量，满足，则在为非零向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别为，，，且满足，的平分线交于点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有( )
A. 若，则或
B. 若，，，则
C. 若，则
D. 一定为实数
10.如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱和棱上的动点，记过点，，的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有( )
A.
B. 若，是分别是所在棱的中点，则平面
C. 若，是分别是所在棱的中点，则为五边形
D. 存在点，使得平面
11.已知，，分别是斜三个内角，，的对边，且，对恒成立则下列结论正确的有( )
A.
B.
C. 若，则的面积最大值为
D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在锐角中，已知，，，则的面积等于 ．
13.在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形已知点是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为 ．
14.在平面直角坐标系中，角的顶点为坐标原点，始边为轴的正半轴，终边与单位圆交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点，若，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，．
求证：；
若，且，求
16.本小题分
如图，在四棱锥中，，分别是，的中点，且底面是菱形．
求证：平面；
若平面，且，求直线与平面的夹角．
17.本小题分
当今世界已步入人工智能时代，智能机器人已深度融入生产生活“五一”假期，智能机器人“行知号”登上某景区旁的山顶，俯瞰景区时观测到：该景区中央为一片湖泊，距离岸边不远处的湖面上有三座高出湖面、处在同一海拔高度的圆形观景台与岸边有道路相连，记三个观景台的圆心分别为，，，的下方均为湖面，且连接观景台与湖边的道路均不在内“行知号”机器人还观测到：圆形观景台的直径均为；为锐角三角形，它的三边满足关系式：根据上述条件，解答下列问题：
定义：若三角形中存在两个角，，满足，则称该三角形为“倍角三角形”，称角为“幸运角”试问是否为“倍角三角形”？若是，请求出“幸运角”的取值范围；若不是，请说明理由；
若观景台圆心间距，，求围成区域内湖面的面积内观景台部分的面积，不计入湖面面积；结果保留．
18.本小题分
在中，已知，，分别三个内角，，的对边，且，点为边上一点．
求角；
已知是边上一点，．
若，求的最小值；
若存在，使得，且，求的周长．
19.本小题分
设函数．
求的值；
求方程的最小的个正实数解之和；
已知，均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】设复数，复数，，，，，
，

16.【答案】证明：底面是菱形且是的中点，
且，
设中点为，又是的中点，
且，
且，
四边形是平行四边形，
，
，平面，面，
平面
17.【答案】是，
18.【答案】 ；
19.【答案】
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