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2025-2026学年河北省邯郸市冀南新区凌云中学高一（下）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.等于( )
A. B. C. D.
2.设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是( )
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
3.已知直线，，，若，且与相交，则与的位置关系是( )
A. 相交 B. 相交或异面 C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面
4.已知为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
5.如图，正方形的边长为，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是( )
A. B. C. D.
6.在中，角，，的对边分别为，，若，，，则( )
A. B. C. D. 或
7.如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到处时测得公路北侧一山顶在西偏北的方向上即行驶后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山顶相对公路所在平面的高度( )
A. B. C. D.
8.如图，为正四棱锥的底面中心，，分别是，上的动点，若是边长为的正三角形，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 长方体是平行六面体
B. 正四棱柱是正方体
C. 有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥
D. 棱台的侧面是梯形
10.已知复数满足，则( )
A. B.
C. D. 的最大值为
11.设、是平面内相交的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且它们的夹角为若向量，则把有序实数对叫做在坐标系中的坐标，即，设，则( )
A. B.
C. 在上的投影向量的坐标为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，的夹角为，且，，则 ．
13.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱若侧面水平放置时，液面恰好过，，，的中点．当底面水平放置时，液面高为 ．
14.在中，为边上不同于，的任意一点，点为线段的三等分点靠近点，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
实数取什么值时，复数是下列数？
实数；
纯虚数．
16.本小题分
已知向量，为坐标原点．
若，求实数的值；
在的条件下，求向量与的夹角余弦值．
17.本小题分
如图，中，，，，在三角形内挖去一个半圆圆心在边上，半圆与、分别相切于点，，与交于点，将绕直线旋转一周得到一个旋转体．
求该旋转体中间一个空心球的表面积的大小；
求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，．
求的值；
若的面积为，求的值．
19.本小题分
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】；
．
17.【答案】解：连接，则，
设，，
在中，，
；
，，，，
旋转体的体积．
18.【答案】
19.【答案】证明：Ⅰ在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
，
Ⅱ取的中点，连接，，
是的中点，
，，
又由Ⅰ可得，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平面，平面，
平面．
Ⅲ取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
又由Ⅱ可得平面，，
平面平面，
是上的动点，平面，
平面，
线段存在点，使得平面．
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