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2025-2026学年湖南省邵阳市邵东县振华中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知，，分别为三个内角，，所对的边，若，则( )
A. B. C. 或 D.
3.已知向量，，，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
4.圆锥的底面半径为，其侧面展开图是半圆，那么此圆锥的高是( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，的对边分别为，，，若，则此三角形的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6.若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.已知棱长为的正方体的一个面在一半球底面上，且，，，四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若非零向量满足，则
B.
C. 若为单位向量，则
D. 向量可以作为平面内的一个基底
10.如图所示的圆台，在轴截面中，，，则( )
A. 该圆台的高为
B. 该圆台轴截面面积为
C. 该圆台的体积为
D. 一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
11.对于有如下命题，其中正确的是( )
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，，且有两解，则的取值范围是
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 在中，若，，则必是等边三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，若，则 ．
13.已知一个圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为 ．
14.解放碑是重庆的标志建筑物之一，存在其特别的历史意义我校数学兴趣小组为了测量其高度，设解放碑杯杯高为，在地面上共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为，，，且，则解放碑的高为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，，，．
当时，求实数的值；
当时，求向量与的夹角的余弦值．
16.本小题分
是的直径，为圆上一点，，，为所在平面外一点，且，与平面所成角为
证明：平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
如图，在中，已知，是边上一点，，，．
求的值；
求的长；
求的长．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点．
求证：平面；
求证：平面；
求平面与平面的夹角的大小．
19.本小题分
我们在初中学习“全等三角形”的知识时，知道了若已知三角形的三边，这个三角形就被唯一的确定了；到了高中，进一步了解了正、余弦定理后，知道了如何用已知的三边求得三角形的面积：记的面积为，角，，的对边分别为，，，则，这里据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的，最早出现在海伦著于公元世纪的测地术中在世纪，我国南宋的数学家秦九韶在数学九章中推出了等价的结论根据以上信息，回答下列问题．
已知的面积为，且：：：：，求此三角形中大于的角所对的边长；
三角形的面积有多种计算方法，利用面积进行“算二次”是获得等量关系的常见手段若记的外接圆半径为，内切圆半径为，证明：；
试将三角形的面积公式推广到四边形，如图，已知凸四边形的四边长分别，，，，记证明：此四边形的面积，并求出何时取得最大值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】；
．
16.【答案】证明：平面，，
是圆的直径，是圆上一点，，
又，
平面．
解：如图，过点作，于点，
平面，平面，
，平面，
即为点到平面的距离，
依题意知是与平面所成的角，，
，，解得，
，
，
点到平面的距离为．
17.【答案】；
；
．
18.【答案】解：证明：如图所示，连接，交于点，连接．
底面是正方形，点是的中点．
在中，是中位线，．
而平面且平面，
平面；
证明：底面，且平面，．
，是等腰直角三角形．
又是斜边的中线，
由底面，得．
底面是正方形，．
又，平面．
又平面，
由和推得平面．
而平面，．
又，且，平面；
由知，，故是二面角的平面角．
由知，，．
设正方形的边长为，则，，，
，，
在中，．
在中，，．
故平面与平面的夹角的大小为．
19.【答案】；
证明见解析；
证明见解析，．
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