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2025-2026学年吉林省长春市第二实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知点和，点在轴上，且为直角，求点的坐标( )
A. 或 B. 或 C. D.
3.已知，，表示不同的直线，，表示不同的平面，给出下面四个命题：
若，，则；
若，，，，则；
若，，则；
，，则．
上面四个命题正确的有( )
A. B. C. D.
4.在中，内角，，的对边分别为，则一定为( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
5.若圆锥的母线长为，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
6.在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7.如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共23分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.数书九章是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，数书九章中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论错误的是( )
A. 的周长为
B. 三个内角，，满足
C. 外接圆的直径为
D. 的中线的长为
9.下列说法正确的是( )
A. 已知，，则的最小值为
B. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是
C. 在中，若，则为钝角三角形
D. 已知，，则在上的投影向量的坐标为
10.对于复数，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
11.如图，在棱长为的正方体中，是侧面内的一点，是线段上的一点，则下列说法正确的是( )
A. 过点，，的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形
B. 当点是线段的中点时，存在点，使得平面
C. 存在点，，使得平面平面
D. 当为棱的中点且时，点的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知四面体的顶点都在球的球面上，且，，，，则球的体积为 ．
13.如图，在中，，，与相交于点，若，则 ．
14.记的内角，，的对边分别为，，，已知，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
若，求实数的值；
求与的夹角的余弦值．
16.本小题分
在海岸处，发现北偏东方向，距离为海里的处有一艘走私船，在处北偏西方向，距离为海里的处有一艘缉私艇奉命以海里分钟的速度追截走私船，此时，走私船正以海里分钟的速度从处向北偏东方向逃窜．
问船与船相距多少海里？船在船的什么方向？
问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间．
17.本小题分
在中，角，，的对边分别是，，，的面积为，外接圆半径，且．
求；
若，的平分线交于，求的长度．
18.本小题分
已知四棱锥的底面为直角梯形，，，，平面平面，是的中点．
求证：平面；
求证：；
设棱与平面交于点，求的值．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面四边形为菱形，，与交于点，平面，，点为的中点，点是线段上的动点当平面时，．
求；
求点到平面的距离；
设，探究当为何值时，直线与平面所成的角最大．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】船与船相距海里，船在船的正西方向；
缉私艇沿东偏北方向行驶才能最快追上走私船，且时间为小时．
17.【答案】
18.【答案】证明：取中点，连，，
，是的中点，
，，
由于平面，平面，
平面，
同理可得平面，，，平面，
平面平面，
平面，
直线平面；
证明：平面平面，且两平面的交线为，
，，
，平面，
故CD平面，又平面，
；

19.【答案】； ； ．
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