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江苏扬州市2025-2026学年高一第二学期期末调研数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.若一组数据的平均数为，方差为，对于数据，，，下列说法正确的是( )
A. 平均数为，方差为 B. 平均数为，方差为
C. 平均数为，方差为 D. 平均数为，方差为
3.已知，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知是直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.如图，位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘游轮遇险后抛锚等待营救．甲船立即前往救援，同时把信息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船，则乙船前往营救遇险游轮时的目标方向线与直线夹角的正弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，该圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则球的半径等于( )
A. B. C. D.
8.已知正五边形内接于半径为的圆，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于统计量的说法正确的有( )
A. 一组数据的众数唯一 B. 一组数据的平均数唯一
C. 一组数据的第百分位数唯一 D. 一组数据的方差越大，数据波动越小
10.已知，，，则下列说法正确的有( )
A. 若，则 B.
C. ，，使得 D. 的最大值为
11.如图，正四棱台的上、下底面中心分别为，且，．分别为的中点，下列说法中正确的有( )
A.
B. 平面
C. 二面角的大小为
D. 若为线段上的一动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知事件，相互独立，且，则 ．
13.在平行四边形中，已知点满足，若，则的值为 ．
14.在中，，依次为边上的点，且，设，，，，，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，，且．
求的值；
若，求的值．
16.本小题分
如图，正方体中，．
若点为棱的中点，求证：平面平面；
若点为线段上的动点不包括端点，在下图中画出平面与上表面的交线，并说明作图的理由．
17.本小题分
某社区为了解居民的绿色出行情况，随机抽取名居民，统计一周内使用自行车的次数，整理得到如下频率分布表和条形图以下图表中：
使用次数 次 次 次 次 次及以上
频率

求条形图中的频数，；
从一周内使用自行车次数为次和次的居民中，按分层抽样的方法抽取人．现从这人中任意抽取人，求这人使用自行车次数不同的概率；
若此样本中的名男性居民在一周内使用自行车次数的平均数为，方差为；名女性居民在一周内使用自行车次数的平均数为，方差为求这名居民一周内使用自行车次数的方差．
18.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
求的值；
已知角的平分线交于，为的中点，与交于点，且．
若，求角的大小；
求面积的最大值．
19.本小题分
如图，在等腰梯形中，，，．为线段的中点，点为等边的中心．将图形沿，折起，使得与重合，形成三棱锥．

求证：平面；
求三棱锥的体积；
已知为平面内过点的一条直线，交为，设是否存在直线，使得与所成角的正弦值为？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：，，且，
，
即，整理得，
所以；
由，，可得，即，
则，解得，，
，，则，
，
．

16.【答案】解：如图，连接，，．
正方体，
四边形为正方形，平面，平面，
且，平面，，
平面．
，平面，．
设正方体的棱长为，则，，，
由勾股定理得，，，
，．
方法一，平面，，平面，
平面平面平面．
方法二由得二面角的大小为，
所以平面平面．
如图，连接，过点作交于，
则为平面与正方体上表面的交线．
正方体，
平面平面，且，
四边形为平行四边形，，
平面平面，平面平面，
，
．

17.【答案】解：由题意，总人数为，次频数：；
次频数：；次频数：；次及以上频数：；
所以次频数：；
用分层抽样法抽取的人中，使用自行车次的居民有人，记为，，
使用次的居民有人，记为，，．
记“人使用次数不同”为事件，
样本点表示“抽取的两人为，”，
则样本空间：
，共种，
其中，共种，
所以，；
记名男性样本为，平均数为，方差为；
记名女性样本为，平均数为，方差为；
所有样本的总平均数为，方差为，样本容量为．
次，
则
．

18.【答案】解：由，利用正弦定理得，
可得，
则，即，由正弦定理得，；
由得，由题意知为的中点，故，即，
，，
由于角的平分线交于，故，而，
可得，结合，可得，，
不妨设，，
在中，由余弦定理可得，，
即，
在中，，
即，和联立，得，
则，
在中，，，则；
在中，不妨设，，，，
得到，
可得，即，
同理在中，，所以，
则，，
而，
即，，
故，
由于，，故，则，
故，即，
当且仅当取得等号，则最大值为．

19.【答案】解：延长交于，连接．
，，，
，，
点为等边的重心，，为的中点，
，平面，，
平面，即平面；
正三角形中，，，，
，
，，，
，，
；
作于，连接．
平面，平面，，
，平面，，平面，
，，
，
与所成角的正弦值为，且，
，，
过点作交于，所以与所成角的正弦值为．
，，即．

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