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江苏常州市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则集合中元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知，为实数，“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知函数是偶函数，则实数( )
A. B. C. D.
5.已知幂函数的图象不经过原点，则( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
7.两个相互啮合的齿轮，大轮有齿，小轮有齿．已知大轮的转速为转分钟，小轮圆周的半径为，那么小轮圆周上一点每转过的弧长是( )
A. B. C. D.
8.已知锐角满足，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.数集，，，满足等式，下列对应是函数的有( )
A. ，其中， B. ，其中，
C. ，其中， D. ，其中，
10.已知函数的图象关于直线轴对称，则( )
A. 在上单调递减
B. 在内有个极值点
C. 点是曲线的对称中心
D. 直线是曲线的切线
11.已知函数的定义域为，且，，，则( )
A. 为奇函数 B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，若，则实数 ．
13.已知函数的部分图象如下图所示，则 ．
14.已知，，若，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，求不等式的解集；
若，，求的取值范围．
16.本小题分
已知角的终边经过点．
求的值；
若，求的值．
17.本小题分
已知函数为奇函数．
求实数的值
设函数．
求的值：
证明函数的图象关于点对称．
18.本小题分
已知函数．
若的最小正周期为，求的值；
若在区间上单调递增，求的取值范围；
已知实数，满足，若对任意满足此条件的，若关于的方程在区间内至少存在个不同的实数解，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，求的极值；
讨论函数的单调性；
是否存在实数，使得的两个零点互为相反数？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：当，，则不等式解集为；
，因，则．
要使时，，则因均在上单调递增，
则在上单调递增，从而，即．

16.【答案】解：已知角的终边经过点，．
，．
已知角的终边经过点，，．
，．
．
当时，．
当时，．
综上，或．

17.【答案】解：因为为奇函数，
由，得，
即，
当时，得，定义域为，不满足题意；
当时，由，得，
又因为是奇函数，
故定义域关于原点对称，
所以，
解得；
当时，，
定义域为，关于原点对称，
且，满足题意；
所以；
因为，
所以；
证明：因为，其定义域为，
所以，
所以，
所以函数的图象关于点对称．

18.【答案】解：函数的最小正周期为，
解得．
时，，
若在区间上单调递增，则有，解得，
所以的取值范围为．
方程，解得，即，
若关于的方程在区间内至少存在个不同的实数解，
则在区间内至少存在个不同的实数解，至少包含个周期，
由，得，所以，
所以的取值范围为．

19.【答案】解：当时，，
对函数求导得：，
解得或；解得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
则的极大值为，极小值为．
，
对求导得，
当时，恒成立，
时，单调递减；时，单调递增，
当时，令得或，
若，则，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
若，则，恒成立，在上单调递增；
若，则，
时，单调递增；
时，单调递减；
时，单调递增；
综上所述，时，在上单调递减，在单调递增；
时，在和上单调递增，在上单调递减；
时，在上单调递增；
时，在和上单调递增，在上单调递减．
不存在满足条件的，理由如下：
假设存在实数，使得的两个零点互为相反数，设两个零点为和，
则有：
两式相减消去参数，得，
令，
求导得，对任意，恒成立，
仅在处导数为，故在上单调递增，
又，因此仅有唯一解，
但时，与零点定义矛盾，故不存在满足条件的．

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