资源简介

江苏连云港市2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. ， B. C. D.
2.若复数，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.名学生报名参加语、数、英兴趣小组，每人选报种，则不同方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
4.已知，的取值如下表所示，从散点图分析可知与线性相关，若经验回归方程为，则表格中的数据的值为( )
A. B. C. D.
5.被除所得的余数为( )
A. B. C. D.
6.某中学对名学生的学习兴趣和主动预习情况进行了长期的调查，得到的统计数据如表所示．根据此列联表中的数据可以求得，则( )
主动预习 不太主动预习 合计
学习兴趣高
学习兴趣一般
合计
参考公式：，其中．
A. B. C. D.
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.五一期间，名女生名男生到花果山景区游玩．在景区门口，人排成一队进入景区，则在男生中，男生甲最先进入景区的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，表示三个不同的平面，表示一条直线，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
10.若口袋中有个黑球和个白球，这个球除颜色外完全相同．下列说法正确的是( )
A. 采取放回抽样方式，先后两次各摸出一球，则两个球颜色不同的概率为
B. 先后两次从中不放回地各摸出一球，则两次摸到的均为黑球的概率为
C. 先后两次从中不放回地各摸出一球，则在第一次摸到黑球的条件下，第二次摸到黑球的概率为
D. 从中不放回地摸球，每次各摸一球，则第三次才摸到黑球的概率为
11.设正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，，分别是线段，上的动点．下列说法正确的是( )
A. 平面截正方体所得截面为四边形
B. 存在，使得异面直线与所成的角为
C. 点到平面的距离为
D. 平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机事件，，，则 ．
13.如果随机变量，且，则 ．
14.已知球为棱长为的正方体的内切球，若在正方体内作一个小球，使它与球外切，同时与正方体的三个面都相切，则小球的半径为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在，，，，这个自然数中，
若任取个不同的数，求这个数中恰有个奇数的概率；
若任取个不同的数，设为所取的个数中奇数的个数，求的分布列．
16.本小题分
已知正项等比数列的前项和为，，．
求数列的通项公式；
若随机变量满足，，，求．
17.本小题分
已知函数，．
当时，求曲线在点处的切线方程；
讨论函数的单调性；
若对恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知双曲线经过点，，直线交的右支于，两点，且线段的中点为．
求双曲线的标准方程；
若点的坐标为，求直线的方程；
若直线经过的右焦点，以为直径的圆与直线相交于，两点，证明：为定值．
19.本小题分
如图，在四棱台中，平面，，，，，．
证明：平面；
判断直线与直线是否垂直，并说明理由；
设为平面内一点，为的中点，，且若直线与平面的交点为，求点到平面距离的最小值．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：到共包含个奇数，个偶数，任取个不同的数的总基本事件数为，恰有一个奇数包含的基本事件数为，因此所求概率为：
任取个不同的数时，的可能取值为，，，，总基本事件数为，分别计算各取值对应的概率：
；；；；
则分布列为：

16.【答案】解：，则，解得负值已舍，
，解得，
；
设，数列的前项和为，
，
，
，时，，
又随机变量满足，，
所以．

17.【答案】解：当时，，函数定义域为，
所以，，切线斜率，
则曲线在点处的切线方程为．
因为函数，函数定义域为，
所以，
因为，故，导数符号由决定，分情况讨论：
若时，恒成立，，在上单调递减；
若时，令，得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由不等式化简得：，因，变形得：．
所以对，不等式恒成立．
令，求导得，
当时，，，故，在上单调递减，
因此的最大值为，
故，即的取值范围为．

18.【答案】解：将点、代入双曲线方程，得
令，，解得，即．
因此，双曲线的标准方程．
设，且两点均在双曲线上，故
两式相减得点差公式：，即．
又因为中点为，故，代入上式得，即．
若，则，则重合，且中点，则三点重合，
这与直线交的右支于，两点矛盾．
所以，因此直线斜率．
又因为直线经过点，由点斜式得直线方程，整理得．
联立，得，判别式，
且，所以两根均为正根，符合交右支于两点的条件．
因此直线的方程为．
由双曲线得，右焦点，
当直线的斜率存在时，设直线，，中点．
联立，整理得，
由韦达定理得：，
因此：，
因为圆以为直径，圆心为，半径，所以，
设，将代入圆方程，
得，故，
所以
，
因为，所以，且，代入上式，
所以．
当直线斜率不存在时，，易得，
所以，仍成立．
综上，为定值．

19.【答案】解：连接，
在四棱台中，，
又，，所以，
又，则，
所以四边形为平行四边形，
故，又平面，平面，
所以平面；
直线与垂直，理由如下：
因为平面，，以为原点建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，，，，，
所以，，，
所以；
在上述坐标系中，设的坐标为，
因为为的中点，且，则，即，
又因，所以的轨迹是以为两焦点的椭圆，
由，得，故的轨迹方程为．
因为直线与平面的交点为，所以在直线上，
则存在，使，
得，
又在平面内，得，
即，得
，
所以，得，
因为，令，
则
，即
因为，所以，
又，平面，
所以平面，则平面的一个法向量为，
，
点到平面的距离，因
所以当时，取最小值，即，
所以点到平面距离的最小值为．

第1页，共1页

展开更多......

收起↑