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江苏苏州市2025-2026学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设为虚数单位，已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，且，则的值为
A. B. C. D.
3.已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的侧面积为( )
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，已知等腰的底边在轴上，，，按斜二测画法所得的直观图为，则的面积为( )
A. B. C. D.
5.若平面平面，，，，，，则直线与不可能( )
A. 相交 B. 垂直 C. 平行 D. 异面
6.已知，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方体中，已知，分别为棱，的中点，过，，三点的平面交棱于点，设，则( )
A. B. C. D.
8.已知梯形中，，，动点在边上不含端点，，交于点，过作于点，若，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设为虚数单位，已知复数，若，则( )
A. B. C. D.
10.设是所在平面内一点，记，则( )
A. 当，时，
B. 当，时，是线段的中点
C. 当，时，是的重心
D. 当时，的面积是面积的
11.如图，在正四棱柱中，已知，，点在棱上，，动点在线段上不含端点，平面与平面交于直线，则( )
A. B. 不存在点，使得
C. 的最大值为 D. 与平面所成角的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在复数范围内写出符合方程的一个解 ．
13.已知向量，满足在方向上的投影向量为，若，，则 ．
14.记的内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角、、的对边分别为、、，已知．
求；
若，，求的周长．
16.本小题分
已知向量与的夹角为，，．
求和的值；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，已知四棱台的底面是平行四边形，，为的中点，为钝角三角形．
求证：平面；
若平面平面，，求证：平面．
18.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
当点满足时．
若，，求；
若，求．
当时，判断的形状并证明．
19.本小题分
如图，已知菱形的边长为，，将沿翻折至．

若二面角的余弦值等于，求三棱锥的体积；
若二面角的正切值的取值范围是，，，，在同一个球面上，求该球的表面积的取值范围．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】答案不唯一，也可填
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由余弦定理可得，
因为，故．
因为，
整理可得，可得，
因为，故．
因为，所以，故是等腰直角三角形，
因为，所以，，
故的周长为．

16.【答案】解：由题意，
因为，所以．
由，
所以，解得．
由．
综上，当时，向量与的夹角为锐角．

17.【答案】解：由四棱台的结构可知，
因为为的中点，，
则，
又四边形是平行四边形，，
所以，
所以四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，
所以平面；
作，垂足为，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
由棱台的性质可知，侧棱相交于一点，即共面，
因为棱台的底面底面，
底面平面，底面平面，
所以，所以，
又，所以，
又平面，
所以平面．

18.【答案】解：因为，即，
即，
两边平方得：，
即，又，
得，解得；
由，
得，又，
所以，可得：
，
在中，分别由正弦定理得：
两式相比得：，
即，
即，
即，，
又，所以；
直角三角形，
由，可得，
由余弦定理可得：，
又，由余弦定理得：，
两式联立可得：，
平方得：，又，
得，
即，
即，
即，
又，
所以，即，
所以，
所以，
故是直角三角形．

19.【答案】解：菱形边长为，，故，

记交于，得，，翻折后，
因此就是二面角的平面角，即，且．
已知，得．
过作交延长线于，由面得面，
高，所以的面积，
因此体积：
设二面角平面角为，过作于，得面，；
过作于，，故．
是二面角的平面角，因此：．
由，代入得，即，
结合得，故，即．
和都是边长为的正三角形，设外心分别为，，
球心是过分别垂直两个面的直线交点，由面得，
结合几何关系推导得： ，
代入，得，外接球表面积，因此：．


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