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参考答案
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A A C A D A
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
9． x x y x y
10．6
11． 0,4
12． 13
21
13．
25
3x 1 x 5①

14．解： x 3 ,
x 1② 2
解不等式①得： x 3，……………………………………………………………………1分
解不等式②得： x 1，……………………………………………………………………2分
∴不等式组的解集为 1 x 3 ,………………………………………………………………4分
在数轴上表示为：
．………………………………………………5分
15．(1)二 ……………………………………………………………………1分
2x 5 1 x 3（2）
x 2 x2 4
2x 5 x 2

x 3
x 2 x 2 x 2 x 2 …………………………………………………2分
x 3 x 2 x 2
……………………………………………………………………3分
x 2 x 3
x 2，……………………………………………………………………4分
当 x 5时，原式 7．……………………………………………………………………6分
16．（1）解：如下图所示：
答案第 1页，共 9页
…………………………………………………2分
平移的距离 AA1为6 2…………………………………………………4分
（2）解：先将 AC逆时针旋转90 后线段画出，再将 BC逆时针旋转90 后线段画出，连接 A2B2
即可，如下图所示：
……………………………………………6分
（3） P ( 1, 5)．……………………………………………8分
答案第 2页，共 9页
17．（1）解：小亮的作法正确，理由如下：
连接DE，
由题意可得：CP CD PE DE，……………………………………………2分
∴四边形CPED是菱形，……………………………………………3分
∴ PE AB；……………………………………………4分
（2）解：如图，
∵四边形CPED是菱形，
∴ PD CE，CE 2CO,PD 2PO，CD CP 5，
∵ PD 6，
∴ PO 3，
∴CO PC2 PO2 4，……………………………………………6分
∴CE 8，
设点 P到直线 AB的距离为 h，
CD h 1则 CE PD，
2
CE PD 6 8 24
∴ h ，
2CD 5 2 5
24
∴点 P到直线 AB的距离为 .……………………………………………8分
5
18．(1)①；③……………………………………………2分
2000 1200
（2）解：解法一： ，
x x 20
方程两边同乘 x x 20 ，得 2000 x 20 1200x，
答案第 3页，共 9页
解得 x 50，……………………………………4分
经检验： x 50是原方程的解，且符合题意，……………………………………5分
∴ x 20 50 20 30，
答：甲、乙两种图书的单价分别为 50元、30元；……………………………………6分
2000 1200
解法二： 20，
x x
方程两边同乘 x，得 2000 1200 20x，
解得 x 40，
经检验： x 40是原方程的解，且符合题意，
2000 50,1200∴ 30，
x x
答：甲、乙两种图书的单价分别为 50元、30元；
（3）解：设甲种图书购买的数量为m本，则乙种图书购买的数量为 60 m 本，
根据题意得50m 30 60 m 2500，
解得m 35……………………………………7分
设总获利为w元，
则w 65 50 m 40 30 60 m 5m 600，……………………………………8分
Q5 0，
w随m的增大而增大，
当m 35时，w最大为 775元，……………………………………9分
此时60 m 25，
答：购买甲种图书种 35本，购买乙种图书 25本时，最大利润为 775元．………10分
19．(1) y 2x 2； 0, 2 ……………………………………2分
（2）解：将 1,2 b 代入 y kx b，得 2 b k b，解得 k 2，
∴直线解析式为 y 2x b，
根据定义， y 2x b的“友谊点” P的坐标为 2,b ，……………………………………4分
∵ P,Q两点关于 x轴对称，
∴点Q的坐标为 2, b ，
答案第 4页，共 9页
将 2, b 代入 y 2x b，得 b 2 2 b，
解得 b 2，
∴直线的解析式为 y 2x 2．……………………………………6分
（3）解：①∵直线 l不经过第二象限，
m 1 0
∴
2m 5 0
，
解得1 m
5
，……………………………………7分
2
又∵m为整数，
∴m的值为 2，……………………………………8分
根据题意，直线 l的“友谊点” P的坐标为 m 1,2m 5 ，
∴点 P的坐标为 1, 1 ．……………………………………9分
②当 x 0时， y 2m 5，
∴点 B的坐标为 0,2m 5 ，
当 y 0时，即 m 1 x 2m 5 0，
5 2m
解得 x ，
m 1
5 2m , 0 ∴点A的坐标为 ，
m 1
∵直线 l不经过第二象限，
m 1 0
∴
2m 5 0
，

5 2m
∴ 0，
m 1
∵OA 4，
5 2m
∴ 4，
m 1
m 3解得 ，
2
y 1∴ x 2，
2
∴ A 4,0 ,B 0, 2 ,P 1, 2 ，
2
答案第 5页，共 9页

x
1
N 4 0
2
当 AB为对角线时，则 2 2 ，
yN 2 2 0
2 2

x
7
N
∴ 2，
yN 0
7
∴点 N的坐标为 , 0 ；
2
1
xN 0
4
2
当 AP为对角线时，则 2 2 ，
y
N
2 2 0

2 2

x
9
N
∴ 2，
yN 0
9
∴点 N的坐标为 , 0 ；
2
1
xN 4
0
2
当 AN为对角线时，则 2 2 ，
yN 0 2 2
2 2
7
xN
∴ 2，
yN 4
7
∴点 N的坐标为 , 4 ；
2
9 7 7
综上所述，点 N的坐标为 , 0 或2
, 0 或 , 4 ．………………………………12分
2 2
20．（1） AE BF；……………………………………2分
（2） AG CE DF；理由如下……………………………………3分
证明：∵四边形 ABCD是正方形，
∴ A ABC C 90 ， AB BC CD，
∵翻折，
∴GE BF ，
∴ BME 90 ，
过点 G作GN BC，垂足为点 N，
答案第 6页，共 9页
∴ GNB GNE 90 ，
∴ NGE GEN 90 ， MBE MEB 90 ，
∴ NGE MBE，
∵ A ABC GNB 90 ，
∴四边形 ABNG是矩形，
∴ AG BN， AB GN，
∴ BC GN，
又∵ NGE MBE， C GNE 90 ，
∴ BCF≌ GNE ASA ，……………………………………5分
∴ NE CF，
∴ BC NE CD CF，即 BN CE DF，
∴ AG CE DF．……………………………………6分
（3）①设CE x，
∵正方形 ABCD的边长为 9，CF 3，
∴CD 9，DF CD FC 6，BE BC CE 9 x，
过点 D作DP GE，垂足为 H，交线段 AB于点 P，连接 PE，DE．
∵四边形 ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形 A B EG，线段 A B经过点 D，
答案第 7页，共 9页
∴D，P关于直线GE对称， PHE 90 ，
∴GE垂直平分DP，
∴ PE DE ，……………………………………8分
∵由（2）得 BME 90 ， ABC C 90 ，
∴ PHE BME 90 ，
∴ PD∥BF，
∵四边形 ABCD是正方形，
∴ AB∥CD，
∴四边形 PBFD是平行四边形，
∴ PB DF 6，
在 Rt△PBE中， PBE 90 ，
∴根据勾股定理， PB2 BE 2 PE 2 ，
在 Rt DCE中， C 90 ，
∴根据勾股定理，DC 2 CE 2 DE 2，
又∵ PE DE ，
2
∴62 9 x x2 92 ，……………………………………9分
解得 x 2，……………………………………10分
答：CE的长为 2．
9
② BG EF 的最小值为 10．……………………………………12分
2
如图，过 A作 AK∥EG交 BC于点 K，
答案第 8页，共 9页
∵ AG∥EK，
∴四边形 AKEG是平行四边形，
∴ AG EK，
过 K作KH BC于点 K，且 KH AB ，
∴ BAG HKE 90 ，
∴ BAG≌ HKE SAS ，
∴ BG HE，
∴ BG EF HE EF HF，当且仅当 H、E、F依次共线时，取等，
过 H作HN DC，交DC延长线于点 H，则四边形CKHN是矩形，
∴HN CK，CN AB 9，
∵F是CD中点，
1 9
∴CF CD ，
2 2
FN CF 9∴ CN 9
27
，
2 2
由（2）中方法可证 ABK≌ BCF ASA ，
9
∴ BK CK CF ，
2
∴HN CK BC
9
BK ，
2
在 Rt FNH中，HF 9 10 FN 2 HN 2 ，
2
9
即 BG EF 的最小值为 10．
2
答案第 9页，共 9页深圳高级中学（集团）2024—2025 学年第二学期期末测试
初二数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将在答题卡写上姓名、班级，准考证号用 2B铅笔涂写在答题卡上。
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再涂
其它答案，不能答在试题卷上。
3.考试结束，监考人员将答题卡收回。
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分）
1．我国新能源汽车发展迅猛，下列新能源汽车标志是中心对称图形的是（ ）
A． B. C． D．
2．在平面直角坐标系中，已知线段 AB的两个端点分别是 A 4, 1 ,B 1,1 ，将线段 AB平移后
得到线段 A B ，若点 A 的坐标为 2,2 ，则点 B 的坐标为（ ）
A． 1, 2 B． 1,4 C． 3, 2 D． 3,4
3．如图，在 ABCD中， A 2 D，则 B的度数为（ ）
A．60 B．55 C．50 D．45
第 3题图 第 4题图 第 5题图
4．如图， DBE是由 ABC绕点 B 按逆时针方向旋转40 得到的．若 AB DE，则 A的度数
为（ ）
A．50 B． 45 C．40 D．30
5 y kx b k 0 A 3,1 kx b 1．如图，直线 经过点 ．当 x时， x的取值范围为（ ）
3
A． x 0 B． x 3 C． x 3 D． x 1
第 1 页 共 6 页
6 PQ．如图，在正六边形 ABCDEF中，P，Q分别是边 AB，BC的中点，连接 PQ，则 AB的值为（ ）
A 3 B 2． ． C．1 D 2 2．
2 2 3
第 6题图 第 8题图
7 x a．已知关于 的方程 1 0的解是非负数，则 a的取值范围是（ ）
x 2
A． a 2 B． a 2且 a 4 C． a 2 D． a 2且a 0
8．如图 1是利用四边形不稳定性设计的“千斤顶”，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连
接，转动手柄可改变 AC的长度（菱形的边长不变）．从而改变千斤顶的高度（即 B，D之间的
距离）．在手柄转动过程中，千斤顶的高度 y cm 随 AC的长度 x cm 的变化规律如图 2所示，
则图 2中从点M 到点N，千斤顶下降的高度为（ ）
A．8cm B．4cm C．6cm D．9cm
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
9．分解因式： x3 xy2 ．
10 b 1 b．定义一种新运算： a☆b ，若m☆2 0，则m ．
a a b
11．如图，若菱形 ABCD的顶点 A，B的坐标分别为 3,0 , 2,0 ，点 D在 y轴的正半轴上，则
点 D的坐标是 ．
第 11题图 第 12题图
12．如图，在四边形 ABCD中对角线 AC BD，E、F分别是 AB、CD的中点．若 AC 4cm，BD 6cm，
则 EF cm．
第 2 页 共 6 页
13．如图，在 ABC中，AB 3,BC 4, AC 5，将 ABC绕 BC边的中点 O逆时针旋转得到 DEF，
顶点 E落在 AC边上，DF边交 AC边于点 G，连接CF，则 CFG的面积为 .
第 13题图
三、解答题（本大题共 7 个小题，共 61 分）
3x 1 x 5
14 ．（5分）解不等式组 x 3 ，把它的解集表示在数轴上．
x 1 2
2x 5 1 x 315．（6分）下面是小华化简分式
x 2 x2 4
的过程：

2x 5 x 2 x 3
解： 原式
x 2 x 2 x 2 x 2 ． 第一步
2x 5 x 2 x 2 x 2
第二步
x 2 x 3
x 7 x 2
第三步
x 3
(1)小华的化简过程从第___________步开始出现错误；
(2)请你写出正确的化简过程，并从 2，3， 4，5中选择一个合适的数代入求值．
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16．（8分） ABC在平而直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为 1个单
位长度．
(1)平移 ABC，点 A的对应点 A1的坐标为 (1, 5)，作出平移后对应的 A1B1C1；平移的距离 AA1为
______．
(2)将 ABC绕点C逆时针方向旋转90 得到 A2B2C，按要求作出图形；
(3)若上述 A2B2C通过旋转可得到 A1B1C1，则旋转中心 P的坐标为______．
17．（8分）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线 AB外一点 P作这条直线的平行线，”
小亮的作法如下：如图，在直线 AB上任取一点 C，以点 C为圆心，CP的长为半径画弧交 AB
于点 D，再分别以点 P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点 E，作直线 PE，则 PE AB．
(1)请判断小亮的作法是否正确，并说明理由．
(2)连接 PD,CE，交点为O，若PC 5，PD 6，求点 P到直线 AB的距离．
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18．（10分）下面是小轩学习“分式方程的应用”后所作的学习笔记，请认真阅读并解答相应的
问题．
题目，某校准备购买甲、乙两种图书，甲种图书的单价比乙种图书的单价多 20元，用 2000
元购买甲种图书和用 1200元购买乙种图书的数量相同．问甲、乙两种图书的单价各是多少
元？
方法 分析问题 列出方程
2000 1200
解法一 设……，等量关系：甲图书数量 乙图书数量
x x 20
…… 2000 1200解法二 设 ，等量关系：甲图书单价 乙图书单价 20 20
x x
(1)解法一所列方程中的 x表示______，解法二所列方程中的 x表示______．（填序号）
①甲种图书的单价；②乙种图书的单价；③甲种图书购买的数量．
(2)请选择一种解法，求出甲、乙两种图书的单价．
(3)若该校用不超过 2500元钱购买甲、乙两种图书共 60本且进行销售，甲种图书的售价为 65
元一本，乙种图书的售价为 40元一本，那么甲乙两种图书各购进多少本时获利最多？最大利
润是多少元？
19．（12分）定义：对于平面直角坐标系 xOy中的点 P a,b 和直线 y ax b，我们称点 P a,b 是
直线 y ax b的“友谊点”，直线 y ax b是点 P a,b 的“友谊直线”．特别地，当 a 0时，直线 y b
（b为常数）的“友谊点”为 P 0,b ．
(1)已知点 A 2, 2 ,B 4, 2 ，则点 A的“友谊直线”的解析式为______________；直线 AB的“友
谊点”的坐标为_________________；
(2) P,Q两点关于 x轴对称，且点 P的“友谊直线” y kx b k 0 经过点Q和点M 1, 2 b ，求该
直线的解析式；
(3)直线 l : y m 1 x 2m 5 m 1 不经过第二象限， P为直线 l的“友谊点”．
①若m为整数，求点 P的坐标；
②直线 l与 x轴， y轴分别相交于 A,B两点，OA 4，N为平面内一点，当以 A,B,P,N为顶点的
四边形为平行四边形时，请直接写出点 N的坐标．
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20．（12分）四边形 ABCD是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．
【探究发现】
（1）如图 1，小明将 ABE沿 AE翻折得到 AB E，点 B的对应点 B ，将纸片展平后，连接BB
并延长交边CD于点 F，小明发现折痕 AE与 BF存在特殊的数量关系，数量关系为________；
【类比探究】
（2）如图 2，小明继续折纸，将四边形 ABEG沿GE所在直线翻折得到四边形 A B EG，点 A的
对应点为点 A ，点 B的对应点为点 B ，将纸片展平后，连接BB 交边CD于点 F，请你猜想线
段 AG，CE，DF之间的数量关系并证明；
【拓展延伸】
（3）在（2）的翻折过程中，正方形 ABCD的边长为 9．
①如图 3，若线段 A B 恰好经过点 D，CF 3，求CE的长，
②如图 4，若 F为CD中点，连接 BG， EF，直接写出BG EF的最小值为______
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