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13.1勾股定理及其逆定理
第十三章 勾股定理
13.1.1 第1课时 直角三角形三边的关系
学习目标
1.了解勾股定理的简单证明.
2.在探索的基础上掌握勾股定理.
3.能运用勾股定理求直角三角形的边长.
4.掌握渗透事物间普遍联系、相互转化的辩证唯物主义思想.
我们知道直角三角形的内角之间存在一些特殊的关系：一个角为直角，另外两个锐角互余.那么，直角三角形的三条边之间是否也存在某种特殊关系呢
复习旧知
（图中每一格代表1平方厘米）
（2）正方形Q的面积是 平方厘米；
（3）正方形R的面积是 平方厘米.
1
2
1
SP+SQ=SR
R
Q
P
A
C
B
AC2+BC2=AB2
等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？
Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
探究新知
（1）正方形P的面积是 平方厘米；
这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方.
那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢
探究新知
想一想
9
16
25
如图,每一小方格表示1平方厘米，则
SP+SQ=SR
p
Q
R
A
C
B
探究新知
在一般的直角三角形中，是否也存在相同的结论呢
p
Q
R
A
C
B
这就是
“补”
的方法
探究新知
p
Q
R
A
C
B
这就是“割”
的方法
在一般的直角三角形中，是否也存在相同的结论呢
直角三角形三边的关系：
_____________
探究新知
在方格图中，用三角尺画出两条直角边分别为5、 12的直角三角形，然后用刻度尺量出斜边的长，并验证关系“两直角边的平方和等于斜边的平方”对这个直角三角形是否成立．
12
5
13
探究新知
1、准备四个全等的直角三角形（设直角三角形的
两条直角边分别为a，b，斜边为c）.
2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形
吗？拼一拼试试看.
3、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c
a
b
拼一拼
探究新知
做一做
温馨提示：上述这种证明的方法是用面积法
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.并且这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会标.
a
b
c
S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2，
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
拼图一:赵爽弦图
证明：
b-a
探究新知
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 .
(a+b)2
c2 +4 ab/2
∵ (a+b)2 = c2 + 4 ab/2，
a2+2ab+b2 = c2 +2ab，
∴ a2+b2=c2.
拼图二: 用四个全等的直角三角形，还可以拼成如图所示的
图形，你能否根据这一图形，证明如下.
探究新知
我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，再进行整式运算，从理论上进行验证．
归 纳
勾股定理:
即 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言表示为：在Rt△ABC中，∠C=90°
则
c
b
a
探究新知
归 纳
如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么
例1.在Rt△ABC中，已知∠B=90°，AB=6,BC=8,求AC.
解：∵∠B=90°
∴AB +BC =AC
∴
┐
C
A
B
6
8

又∵AB=6,BC=8
探究新知
在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c， ∠C＝90°.
(1)已知a＝3，b＝,4，求c；
(2)已知c＝13，a＝12，求b；
(3)已知a∶b＝2∶1，c＝5，求b（结果保留根号）.
分清待求的是斜边 还是直角边，以便合理 选择是直接用勾股定理 还是勾股定理的变形公 式.若求斜边，则直接用 勾股定理；若求直角边， 则用勾股定理的变形 公式.
导引：
练习
探究新知
(1)∵∠C＝90°，a＝3，b＝4，
∴由勾股定理，得c＝
(2)∵∠C＝90°，c＝13，a＝12，
∴由勾股定理，得b＝
(3)∵a∶b＝2∶1，∴a＝2b.
∵∠C＝90°，c＝5，
∴由勾股定理，得(2b)2＋b2＝52，解得b＝ (负值已舍去) .
解：
探究新知
13.1勾股定理及其逆定理
第十三章 勾股定理
13.1.1 第2课时 直角三角形的三边关系的简单应用
学习目标
1.掌握勾股定理及能进行简单应用，体会数形结合的数
学思想.
2.练习中进行归纳，概括勾股定理简单应用的类型，开
发学生的逻辑推理能力，提高学生知识的活用能力.
复习旧知
勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
直角三角形三边之间有什么关系
即 a2+b2=c2
几何语言：
∵在Rt△ABC中 ，∠C=90°，
∴a2+b2=c2（勾股定理）.
例2:Rt△ABC的斜边AC比直角边AB长2cm,另一直角边BC的长为6cm,
求AC的长.
解：由题意得：
AB=AC-2,
BC=6cm,
∴AB +BC =AC
∴(AC-2) +6 =AC
∴
AC=10cm
答：AC为10cm
┐
C
A
B

6
∵∠B=90°
探究新知
∴
例3：如图，为了求出位于湖两岸的点A,B之间的距离，一名观测者
在点C设桩，使△ABC恰好为直角三角形。通过测量，得到AC的
长为160米，BC的长为128米，问从点A穿过湖到 点B有 多远？
A
B

C
160m
128m
AC=160米，BC=128米
解：由题意得：在Rt△ABC中，
∴AB +BC =AC
答：从点A穿过湖到点B有96米
∵∠ABC=90°
探究新知
13.1勾股定理及其逆定理
第十三章 勾股定理
13.1.2直角三角形的判定
学习目标
1.掌握直角三角形的判定条件，并能推理出勾股定理的逆定理.
2.经历探索直角三角形的判别条件的过程，体会数形结合思
想和从特殊到一般的思想，体验数学探究的方法.
3.知道勾股定理的逆定理，能够运用勾股定理的逆定理判定
直角三角形，并能够运用该定理解决问题.
复习旧知
如何判定一个三角形是直角三角形？
我们已经知道，如果∠A+∠B=90°，那么△ABC就是一个直角三角形，∠C为直角.即有如下的直角三角形的判定方法：
两个角互余的三角形是直角三角形. 根据三角形三边之间的某种特殊关系，我们同样 可以找到判定直角三角形的方法 .
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
你想知道这是什么道理吗
一把没有刻度的直尺能画出直角吗？
古埃及人做到了，你们知道他们用的什么方法吗？
古埃及人曾经用下面的方法画直角：将一根长绳打上等距离的13个结，然后如图那样用桩钉钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角.
探究新知
探究新知
试画出三边长度分别为如下数据的三角形，看看它
们是一些什么样的三角形：
(1) a=3，b=4，c=5；
(2) a=4，b=6，c=8；
(3) a=6，b=8，c=10.
可以发现，按(1)、(3)所画的三角形都是直角三角形，最长边所对的角是直角；按(2)所画的三角形不是直角三角形.
试一试
在这三组数据中，（1）、（3）两组数据恰好都满足a2+b2=c2.
探究新知
对于直角三角形的判定，有一般的结论：
勾股定理的逆定理 ： 如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角.
归 纳
互逆定理
勾股定理 : 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的
平方.
证明：如图，作△A'B′C′,使∠C′=90°，
A′C′=b，B′C′=a，
则A′B′ =a +b =c ，即A′B′=c.
在△ABC和△A′B′C′中，
∵BC=a=B′C′，
AC=b=A′C′，
AB=c=A′B′，
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）.
∴∠C=∠C′=90°.
B′
C′
A
B
C
A′
已知：如图，在△ABC中，AB=c, BC=a, AC=b，a +b =c ，
求证：∠C=90°.
探究新知
探究新知
例4：已知△ABC，AB=n -1，BC=2n，AC=n +1（n为大于1的正整数）.试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由
解：∵AB +BC =(n -1) +(2n)
=n4 -2n +1+4n
=n4 +2n +1
=(n +1)
=AC .
∴△ABC直角三角形，边AC所对的角是直角.
为什么选择AB2 + BC2 ？AB、BC、CA的大小关系是怎样的？
探究新知
能够成为直角三角形三边长的三个正整数，称为勾股数.
例如3，4，5；6，8，10；n -1，2n，n +1(n为大于1的
正整数)等都是勾股数.
勾股数
第十三章 勾股定理
13.1.3 反证法
学习目标
1.了解反证法的证明步骤，体会反证法证明问题的思想，并能够运用反证法来证明一些问题.
2.理解并体会反证法的思想内涵.
3.在证明的过程中，培养演绎推理能力.
如图，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b,（a≤b≤c）,当a2 +b2 =c2时，这个三角形一定是直角三角形吗？
c
a
b
A
C
B
解析：由a2 +b2 ＝c2 ，根据勾股定理的逆定理可知∠C=90°，这个三角形一定是直角三角形.
复习旧知
若将上面的条件改为“在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b(a≤b≤c)，a2+b2≠c2”，请问这个三角形是否一定不是直角三角形呢？请说明理由.
c
a
b
A
C
B
1.假设它是一个直角三角形;
2.由勾股定理，一定有a2 +b2 = c2，与已知条件a2+b2≠c2矛盾；
3.因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
探究新知
探究新知
这种证明方法与前面的证明方法不同，其步骤为：
(1)先假设结论的反面是正确的;
(2)然后通过演绎推理，得出与基本事实、已证的定理、
定义或已知条件相矛盾；
(3)从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
像这样的证明方法叫“反证法”.
归 纳
反证法是一种论证方式，首先假设命题的结论不成立，然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设不成立，原命题得证．
例5 求证：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
分析：想从已知条件“两条相交直线l1与l2”出发，经过推理，得出结论“l1与l2只有一个交点”是很困难的，因此可以考虑用反证法.
探究新知
解：如图，假设两条相交直线l1与l2.不止一个交点，不妨假设
l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2.这与两点确定一
条直线，即经过点A和点B的直线只有一条的基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
探究新知
a
b
A
●
B
●
例6 求证:在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
解：假设△ABC中没有一个内角小于或等于 60°，
即∠A> 60°， ∠B > 60°， ∠C> 60°.
于是∠A + ∠B + ∠C > 60° + 60° + 60° = 180°,
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
探究新知
运用反证法证明命题时，常见的结论词的否定形式有：
是 都是 大(小)于 能 相等 至少 有一个 至少 有n个 至多 有一个 负数
不是 不都是 不大 (小)于 不能 不相等 一个也 没有 至多有 (n－1)个 至少 有两个 非负数
结论词
否定
形式
探究新知
归 纳

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