资源简介

限时: 90分钟 满分: 120分
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1．如图所示的4组图形中，不成中心对称的是(　　)
2．如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能。图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角α后，能够与它本身重合，则角α的大小可以为(　　)
A．90° B．120° C．150° D．180°
3．三个全等的等边三角形按图①所示的位置摆放，现添加一个大小相同的等边三角形，使四个等边三角形组成一个中心对称图形(如图②)，则添加的等边三角形所放置的位置是(　　)
A．① B．② C．③ D．④
4．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(2，－2)，将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为(3，5)，则点B的对应点D的坐标为(　　)
A．(7，－2) B．(2，3) C．(2，－7) D．(－3，－2)
5．如图，在6×4的方格纸中，格点三角形ABC(三个顶点都是格点的三角形)经过旋转后得到格点三角形DEF，则其旋转中心是(　　)
A．格点M B．格点N C．格点P D．格点Q
6．如图，△ABC以每秒2 cm的速度沿着射线BC向右平移，平移2 s后所得图形是△DEF，连接AD，如果AD＝2CE，那么BC的长是(　　)
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．9 cm
7．如图，将△ABC绕点C逆时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜180°)，得到△DEC，这时点A旋转后的对应点D恰好在直线AB上，则下列结论一定不正确的是(　　)
A．∠CBD＝∠ECD B．∠CAB＝∠CDB
C．∠ECB＝α D．∠EDB＝180°－α
8．若点A(1，m)与点B(－1，1－)关于原点O成中心对称，则m的最小值为(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．－2　
9．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度，点B′恰好与点C重合，则平移距离和旋转角分别为(　　)
A．4，30° B．2，60° C．1，60° D．3，30°
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，将△ABC绕点C逆时针旋转90°得到△A′B′C，若点M是AB边上不与A，B重合的一个动点，旋转后点M的对应点为点M′，则线段MM′长度的最小值是(　　)
A．3 B．4 C． D．
二、填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)
11．如图，在△ABC中，∠CAB＝80°，在同一平面内，将△ABC绕点A逆时针旋转45°到△AB′C′的位置，则∠CAB′＝________。
12．如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移，使点A的对应点A′满足AA′＝AC，则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是________。
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，将△ABC绕点B沿顺时针方向旋转到△A1BC1的位置，使得点A1，B，C在同一条直线上，那么旋转的最小角度是________。
14．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝14 cm，点D是AC的中点，DC＝5 cm，将线段DC沿CB方向平移7 cm得到线段EF，点E，F分别落在边AB，BC上，则△EBF的周长是________cm。
15．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限内，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O旋转，若点B落在y轴上，则旋转后点A的对应点A′的坐标为________。
16．如图，在等边三角形ABC中，M是边BC的中点，P是平面内一点，连接AP，将线段AP以点A为旋转中心逆时针旋转60°，得到线段AQ，连接MQ。若AB＝6，点M，P之间的距离为2，则MQ的最小值是________。
三、解答题(本大题共5小题，共66分。解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)如图，将△EBC绕点B旋转到△DBA的位置，点F为EC，AB的交点，点E在AD上。若∠ABC＝30°，∠AFC＝45°，求∠EAC的度数。
18．(12分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝63°，AC＝6 cm，将△ABC向左平移3 cm得到△A′B′C′，A′B′交AC于点D，DC＝4 cm。
(1)BB′＝________cm，∠A′DC＝________；
(2)直接写出AB与A′B′之间的关系；
(3)计算图中阴影部分的面积。
19．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(－1，1)，B(－4，2)，C(－3，3)。
(1)平移△ABC，得到△A1B1C1，若点A的对应点A1的坐标为(3，－1)，请画出△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
(2)将△ABC以点(0，2)为旋转中心旋转180°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
(3)已知将△A1B1C1绕某一点P旋转可以得到△A2B2C2，请直接写出旋转中心P的坐标。
20．(16分) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°。
(1)以点B为旋转中心，将△AOB按顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B(点A，O的对应点分别为点A′，O′)，按要求画图(保留作图痕迹)；
(2)在(1)的条件下，求∠A′BC的度数及OA＋OB＋OC的值。
21．(16分)如图，在等边三角形ABC中，点D在AB上运动，点E在AC上运动，将点E绕着点D按逆时针方向旋转60°得到点F，连接DE，DF，EF，得到△DEF，连接AF。
(1)当点D与点B重合，点E与AC的中点重合时，如果△ABC的边长为2，请你在图①的基础上画出符合题意的图形，并求此时AF的长；
(2)当点D与AB的中点重合时，点E运动到什么位置，△DEF的周长最小？请你在图②的基础上画出符合题意的图形，并求此时AF与AD的数量关系；
(3)如图③，求证：AF∥BC。
答案
一、1．D　2．B　3．D　4．B　5．D
6．B　7．A　8．C　9．B　10．C　
二、11．35°　12．4　13．130°
14．17　15．(1，)或(－1，－)
16．3－2
三、17．解：由旋转知∠BAD＝∠BCE，BA＝BC，
∵∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝∠BCA＝×(180°－30°)＝75°。
∵∠AFC＝45°，
∴∠BCE＝∠AFC－∠ABC＝45°－30°＝15°，
∴∠BAD＝∠BCE＝15°。
∴∠EAC＝∠BAD＋∠BAC＝15°＋75°＝90°。
18．解：(1)3；117°
(2)根据平移的性质知：AB＝A′B′，AB∥A′B′。
(3)由平移可知S△A′B′C′＝S△ABC，A′C′＝AC＝6 cm，
∴S△A′B′C′－S△B′CD＝S△ABC－S△B′CD，
即S阴影部分＝S梯形A′C′CD＝×(4＋6)×3＝15(cm2)。
19．解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作的三角形，点B1的坐标为(0，0)。
(2)如图，△A2B2C2即为所求，点B2的坐标为(4，2)。
(3)旋转中心P的坐标为(2，1)。
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20．解：(1)△A′O′B如图所示。
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(2)如图，连接OO′。
∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝，
∴AB＝＝2，
∴AB＝2AC，
∴∠ABC＝30°。
∵△AOB绕点B按顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO′＝BO，A′O′＝AO，∠ABA′＝60°，∠OBO′＝60°，
∴△BOO′是等边三角形，∠A′BC＝∠ABC＋∠ABA′＝30°＋60°＝90°，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°。
∵∠COB＝∠BOA＝120°＝∠A′O′B，
∴∠COB＋∠BOO′＝∠BO′A′＋∠BO′O＝120°＋60°＝180°。
∴C，O，O′，A′四点共线。
在Rt△A′BC中，
A′C＝＝＝，
∴OA＋OB＋OC＝A′O′＋OO′＋OC＝A′C＝。
21．(1)解：如图①即为所求。
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当点D与点B重合，点E与AC的中点重合时，
∵△ABC的边长为2，
∴EC＝AC＝1。
∵将点E绕着点D按逆时针方向旋转60°得到点F，
∴DE＝DF，∠EDF＝60°，
∴△DEF是等边三角形。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠FDE＝60°，AB＝BC，
∴∠ABF＝∠CBE。
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴AF＝CE＝1。
(2)解：图②即为所求。
如图②，连接CD。
∵点D与AB的中点重合，
∴AD＝AB。由(1)可知△DEF是等边三角形，
∴△DEF的周长为3DE。
当DE⊥AC时，DE的长最小，即△DEF的周长最小。
此时∠AED＝90°。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠ADE＝90°－60°＝30°，
∴AE＝AD＝AB＝AC。
∴当点D与AB的中点重合时，点E运动到AE＝AC处，△DEF的周长最小。
易得此时∠ADF＝∠ADE＝30°，
又∵DF＝DE，AD＝AD，
∴△ADF≌△ADE(SAS)，
∴AF＝AE＝AD。
(3)证明：如图③，过点D作DG∥BC交AC于点G，
则∠DGE＝∠C，∠ADG＝∠B。
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠B＝∠C＝60°，
∴∠ADG＝∠DGE＝60°＝∠A，
∴△ADG是等边三角形，
∴DA＝DG。
∵DF＝DE，∠EDF＝60°，
∴∠EDF＝∠ADG，即∠ADF＋∠ADE＝∠ADE＋∠GDE，
∴∠ADF＝∠GDE，
∴△DAF≌△DGE(SAS)，
∴∠DAF＝∠DGE＝60°＝∠B，
∴AF∥BC。

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