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上海市延安中学2025-2026学年第二学期期末考试高一年级数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知是无穷等比数列，q是公比，则“，”是“数列严格单调递增”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．已知复数，，，下列说法正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则或 D．若，则
3．已知是边长为的等边三角形，P为所在平面内一点，则的值不可能是（ ）
A． B． C． D．
4．已知O是锐角所在平面内的一定点，动点P满足：，，则动点P的轨迹一定通过的（ ）
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
二、填空题
5．已知向量，，若，则实数________
6．已知数列满足：，，则________
7．已知复数满足，则的虚部是________
8．已知等差数列中，，为的前n项和，则________
9．已知，，则在方向上的数量投影是________
10．已知复数满足，则的最小值是________
11．已知，关于x的一元二次方程的一个根z是纯虚数，则________
12．已知单位向量，满足，则________
13．已知数列中，，，为的前n项和，则________
14．若点是半径为1的圆上三点，且，则______．
15．设等比数列的公比为q，为前n项积，且满足，，，则下列结论正确的是________（填序号）
① ② ③的最大值为 ④若，则
16．在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________.
三、解答题
17．已知向量，，，且；
(1)求与的夹角；
(2)若，求实数k的值；
18．已知数列的前n项和为，；
(1)求的通项公式；
(2)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围；
19．已知关于x的一元二次方程有两根，；
(1)若，求实数m的取值范围；
(2)若，求实数m的值；
20．对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列；
(1)若是等比数列，且，，，求；
(2)若，令，证明：是等比数列，并求的值；
(3)若是首项为1的等差数列，d为公差，，，求正整数k的最大值，以及k取最大值时d的值；
21．对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角.
(1)若非零向量满足，且，求的取值范围；
(2)若向量，且，求正数的值；
(3)已知非零向量满足（是正整数），向量的夹角和都是有理数，且，求.
试卷第1页，共3页
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《上海市延安中学2025-2026学年第二学期期末考试高一年级数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4
答案 A C D B
5．
6．4
7．
8．
9．
10．
11．
12．/
13．
14．
15．①③
16．
17．【详解】（1）由向量垂直则两向量点积为0，即，
解得，即，因此，，
代入向量夹角公式得，
又，因此（或）；
（2）依题意，
由两边平方得：，
，
，即，
解得或.
18．
【详解】（1）因为，所以，
则，
又，不符合上式，
所以.
（2）若，则成立，即，得；
若，则，，则恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递增，所以，
则的最大值为，则，
综上，实数的取值范围为.
19
【详解】（1）由题意得，
且，
由得二次方程两根互为共轭复数，
若，方程有两个不相等的实根，此时，不满足题意，
若，方程有两个相等的实根，此时，显然满足，
若，方程有一对共轭虚根，满足，
因此，
解得或.
（2）若，即，此时方程有两个实根，
因为，所以两实根同号，
又因为当时，，所以两实根均为正数，
所以，解得，符合，
若，即或，此时方程有一对共轭虚根，即，
根据复数的性质，共轭复数的模长相等，即，
则，解得，
代入韦达定理得，
，，故舍去，
符合题意，
综上，的值为或.
20．【详解】（1）由题意可知，，
设等比数列的公比为，则，
所以.
即，解得.
(2)因为，所以，
所以.
所以数列是首项为，公比为的等比数列.
=.
（3）由，得，
即，
所以，即.
因为，
所以，
因为，，所以
所以，解得，
所以正整数k的最大值为，
此时，解得.
21．
【详解】（1）因为且，则，
又，所以，得到，
又，且
所以的取值范围是.
（2）因为和，则，
则设向量和的夹角为，则，
所以， 则，整理得到，
所以（舍）或，解得或（舍），
所以.
（3）因为，
则，
又，则，
即，
又，则，又是正整数，
当不合题意，
当，由，得到，
所以，满足题意，故，
当时，，得到，解得，
此时，不是有理数，所以不合题意，
当时，，所以时，不合题意，
综上，.
答案第1页，共2页
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