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广东揭阳市普宁市第一中学2025-2026学年第二学期高二第二次月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设复数z满足（其中i为虚数单位），则z在复平面上对应的点位于（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限
2．已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在处取得极大值，则实数的取值为（ ）
A．或1 B．2或 C． D．1
5．唐代诗人张若虚在《春江花月夜》中曾写道：“春江潮水连海平，海上明月共潮生．”潮水的涨落和月亮的公转运行有直接的关系，这是一种自然现象．根据历史数据，已知沿海某地在某个季节中每天出现大潮的概率均为，则该地在该季节内连续三天内，至少有两天出现大潮的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则（ ）
A．364 B．365 C．728 D．730
7．已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：
X 0 1 2 3 4
P 0.1 0.2 0.4 0.2 a
则下列计算结果正确的有（ ）
A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7
C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3
9．若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．掷一个均匀的硬币6次，每次掷出正面的概率均为，恰好出现次正面的概率记为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．，，，，中最大值为
11．在数列中，，，，是数列的前项和，则（ ）
A．数列是等比数列 B．数列是等差数列
C． D．
三、填空题
12．已知随机变量ξ服从正态分布，若，则________ .
13．的展开式中的系数为__________.（用数字作答）
14．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”，离心率的椭圆被称为“优美椭圆”．在平面直角坐标系中的“优美椭圆”的左右顶点分别为，点是椭圆上异于左右顶点的动点，设直线的斜率分别为，则__________．
四、解答题
15．手机聊天软件是现代生活信息交流的重要工具，随机抽取使用手机聊天软件的100人进行调查，得到数据统计表如下:每天使用手机聊天软件时间在2h以上的人被定义为“手机聊天软件依赖”，不超过2h的人被定义为“非手机聊天软件依赖”.已知“非手机聊天软件依赖”与“手机聊天软件依赖”的人数比恰为3∶2.
使用手机聊天软件时间/h 频数 频率
5 0.05
15 0.15
15 0.15
x p
30 0.30
y q
合计 100 1.00
(1)求出x，y，p，q的值.
(2)为进一步了解使用手机聊天软件对日常工作和生活是否有影响，从100人中用分层随机抽样的方法确定10人.若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查，设选取的3人中“手机聊天软件依赖”的人数为X，求X的分布列及其数学期望.
16．如图，在正三棱柱中，为的中点，为的中点.

(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
17．设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于两点
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线为的准线，判断以MN为直径的圆与直线是什么位置关系 请说明理由.
18．某学校有，两家餐厅，王同学开学第1天（9月1日）午餐时去餐厅用餐的概率是.如果第1天去餐厅，那么第2天继续去餐厅的概率为；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为，如此往复.
(1)计算王同学第2天去餐厅用餐的概率.
(2)记王同学第天去餐厅用餐概率为，求；
19．已知函数.
(1)当时，求函数零点的个数；
(2)求函数的极值；
(3)若恒成立，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
《广东揭阳市普宁市第一中学2025-2026学年第二学期高二第二次月考数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B C C A B A ABD AB BD
题号 11
答案 ABD
12．0.4/
13．-30
14．
15【详解】（1）由题意可知，“非手机聊天软件依赖”的人数为，
“手机聊天软件依赖”的人数为，所以， 又因为，解得，，所以，，
（2）用分层随机抽样的方法确定的10人中，“非手机聊天软件依赖”的人数为：，
“手机聊天软件依赖”的人数为：，
随机变量X的可能取值为0，1，2，3，
则， ，，
，所以X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
所以的数学期望是：.
16．详解】（1）因为且所以平面
因为平面所以
因为为中点
所以，且
所以平面.
（2）如图，以为轴建立
因为
因为
设平面的法向量为
因为
所以
令，则，即
设点到平面的距离为
即
所以点到平面的距离为

17．【详解】（1）抛物线的焦点的坐标为，
由已知直线过点，所以，
所以，故，，
抛物线方程为
(2)以为直径的圆与直线是相切的位置关系.
理由如下：
由（1）可求得准线为，
由，
消去并化简得，，
不妨设，，，
解得或，
所以 ，
因为，所以中点坐标为，
该点到准线的距离是，
所以以为直径的圆与相切.
18．(1)
(2)
【详解】（1）设表示第1天去餐厅，表示第2天去餐厅，则表示第1天去餐厅，
根据题意得，，，，
所以.
（2）设表示第天去餐厅用餐，则，，
根据题意得，，
由全概率公式得，，
即，
整理得，，又，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，即.
19．
【详解】（1）的定义域为，
当时，在上单调递减，
又因为，
由零点存在定理，在区间内存在零点，
所以在上有唯一的零点；
（2），
则，
①当时，令，得，
当变化时，的变化情况如下表
1
+ 0
单调递增 单调递减
所以有极大值，没有极小值；
②当时，令，得，
当即时，
当变化时，的变化情况如下表
1
0 + 0
单调递减 单调递增 单调递减
所以的极小值为，极大值为；
当即时，没有极值；
当即时，
当变化时，的变化情况如下表
1
0 + 0 -
单调递减 单调递增 单调递减
所以的极小值为，极大值为；
综上所述，
当时，有极大值，没有极小值；
当时，的极小值为，极大值为；
当时，没有极值；
当时，的极小值为，极大值为；
（3）恒成立，即恒成立，
令，即恒成立，则，
当时，，所以函数在上单调递减，
又因为，
所以，当时，，不符合题意；
当时，令，则，令，则，
所以函数得在上单调递增，在上单调递减，
所以，只需，即，
令，则，
令，则，令，则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要使，只能，即，
综上，要使不等式恒成立，.
答案第1页，共2页
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