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江苏省南京市鼓楼区3校（29树人汇文）2025-2026学年七年级下学期数学期末联考卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形是我国几所大学的校徽，其中运用了“平移”制作的是（）
A. 北京大学 B. 复旦大学
C. 中国人民大学 D. 南开大学
2.下列算式中，可以用平方差公式计算的是（）
A. （a+b）（-a-b） B. （-a+b）（a-b）
C. （a+b）（-a+b） D. （a-b）（a-b）
3.下列命题中，假命题的是（）
A. 对顶角相等 B. 同位角相等
C. 有两个角互余的三角形是直角三角形 D. 任意凸多边形的外角和都等于
4.已知a＞b，下列不等式中正确的是（）
A. a-3＜b-3 B. -4a＞-4b C. 2a＜2b D. a-c＞b-c
5.已知关于x，y的二元一次方程，当m每取一个值时，就有一个对应的方程，而这些方程有一个公共解，则这个公共解是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，点B、C分别在AM、AN上运动（不与A重合），CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD﹣∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7. ．
8.若关于x的不等式 的解集在数轴上的表示如图所示，则a的值为
9.如果一个正n边形的每个内角是,则n= .
10.如图,在22的正方形网格中,线段AB、CD的端点均在格点上,则1+2= .
11.用反证法证明：“四边形中至少有一个角是直角或钝角”时，应假设 ．
12.词元（Token）是大模型处理信息的最小信息单元，具有智能时代可计量、可定价、可交易的特征．已知每消耗一度电大约可产出500万词元．由此估计，产出100词元需要消耗 度电．（用科学记数法表示）
13.如果2，那么代数式的值是 ．
14.如图是某种可调节躺椅的示意图，与的交点为C，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为 度．
15.若不等式组的解集为，则的取值范围是 ．
16.如图，在中，，，，，将绕点顺时针旋转，点、的对应点分别是，，点为直线上一点，且，点为线段上一动点．在旋转过程中，则线段的取值范围是 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.计算：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共9小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题6分)
先化简，再求值：（a+b）2-b（2a-b），其中a=-3，b=1．
19.
(1) 解方程组；
(2) 解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来，并写出该不等式组的所有整数解．
20.(本小题6分)
如图，在中，，平分，交于，为边上一点，连接，，于点．求的度数．
21.(本小题6分)
我们用符号表示一个两位数（其中a、b分别表示十位、个位上数字），即，类似的，我们用符号表示一个三位数．请根据以上材料，解答下列问题：
(1) 命题：若计算的结果的个位数字为4，则．请举反例说明它是个假命题；
(2) 若a、b、c为三个连续整数，试证明：能被13整除．
22.(本小题6分)
一副三角板按如图放置，其中，，，，．有下列说法：①如果，那么//；②如果//，那么；③与的度数之和随着的变化而变化；④如果，那么．
(1) 其中正确的是 ；
(2) 请选择一个正确的加以证明．
23.(本小题7分)
如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
(1) 在图中，作关于点对称的图形；
(2) 在图中，作出将绕点逆时针旋转，再向左平移个单位长度后的图形．
(3) 在图中，找一格点，连接，使．
24.(本小题8分)
鼓楼区某校在体育大课间中专门开设乒乓球和羽毛球课程，需要购买相应的体育器材上课使用，其中羽毛球拍25套，乒乓球拍50套，共花费4500元，已知一套羽毛球拍的单价比一套乒乓球拍的单价高30元．
(1) 求羽毛球拍和乒乓球拍一套的单价各是多少元？
(2) 根据需要，学校决定再次购进乒乓球拍和羽毛球拍共50套，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，羽毛球拍一套单价打8折，乒乓球拍一套单价优惠4元．若此次学校购买两种球拍的总费用不超过2750元，且购买羽毛球拍数量不少于23套，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案．
25.(本小题10分)
若不等式（组）只有个正整数解（为自然数），则称这个不等式（组）为阶不等式（组）．
我们规定：当时，这个不等式（组）为0阶不等式（组）．
例如：不等式只有4个正整数解，因此称其为4阶不等式．
不等式组只有3个正整数解，因此称其为3阶不等式组．
请根据定义完成下列问题：
(1) 是 阶不等式；是 阶不等式组；
(2) 若关于的不等式组是4阶不等式组，求的取值范围；
(3) 关于的不等式组的正整数解有，，，，…，其中…．如果是阶不等式组，且关于的方程的解是的正整数解，直接写出的值以及的取值范围．
26.(本小题11分)
已知：直线，点G为直线CD上一定点，点E是直线AB上一动点，连结EG．在EG的左侧分别作射线EM、GN，两条射线相交于点F，设．
(1) 当，时，如图1位置所示，求的度数（用含有的式子表示），并写出解答过程；
(2) 当时，过点G作EG的垂线．
①请在图2中补全图形；
②直接写出直线与直线CD所夹锐角的度数______（用含有的式子表示）．
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】
8.【答案】-5
9.【答案】9
10.【答案】90
11.【答案】四边形中所有内角都是锐角．
12.【答案】
13.【答案】10
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：，
，
．
【小题2】
解：，
，
，
．

18.【答案】解：原式=a2+2ab+b2-2ab+b2
=a2+2b2，
当a=-3，b=1时，
原式=（-3）2+2×12
=9+2
=11．
19.【答案】【小题1】
解：
由，得：，
解得：．
将代入，得：，
解得：．
故原方程组的解为；
【小题2】
，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
故该不等式组的解集为，
它的解集在数轴上表示为：

该不等式组的整数解为：、、0、1、2

20.【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
，

．

21.【答案】【小题1】
解：，满足的结果的个位数字为4，但，
若计算的结果的个位数字为4，则为假命题．（例子不唯一，个位数字为8的两位数均可）；
【小题2】
证明： a、b、c为三个连续整数，
设，
则
，
，
能被13整除．

22.【答案】【小题1】
①②④
【小题2】
证明一下结论①，理由如下：
∵∠2＝30°，，
∴∠1＝∠CAB－∠2＝60°，
∴∠CAD＝∠1＋∠DAE＝150°，
∵，
∴∠CAD＋∠D＝180°，
∴//．

23.【答案】【小题1】
解：如图，即为所求；
【小题2】
解：如图，即为所求；
【小题3】
解：如图，点P即为所求．

24.【答案】【小题1】
解：设羽毛球拍的单价是元/套，乒乓球拍的单价是元/套
根据题意得：
解得：
答：羽毛球拍的单价是80元/套，乒乓球拍的单价是50元/套；
【小题2】
解：设购买套羽毛球拍，则购买套乒乓球拍，
根据题意得：；
解得：，
又为正整数，
可以为23，24，25，
学校共有3种购买方案，
方案1：购买23套羽毛球拍，27套乒乓球拍，所需费用为（元）；
方案2：购买24套羽毛球拍，26套乒乓球拍，所需费用为（元）；
方案3：购买25套羽毛球拍，25套乒乓球拍，所需费用为（元）．
，
符合购买要求且节约资金的购买方案为：购买23套羽毛球拍，27套乒乓球拍．

25.【答案】【小题1】
0
1
【小题2】
如图，
由题意可得有4个正整数解：1、2、3、4；
∴的取值范围是；
【小题3】
∵，
∴x=，a3=，
∴m为偶数，且am-3=m-1，
∴+m-6=m-1，
∴m=10，
∴可得图如下所示：

∴的取值范围是．

26.【答案】【小题1】
解：∵，
∴∠AEG+∠EGC=180°，
即∠AEF+∠GEF+∠EGF+∠FGC=180°，
又，，，
∴
【小题2】
解：①当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，
；
当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，
；
②当点E在G的左侧，F不在AB、CD之间时，如图，
，
∵，
∴∠AEG+∠EGC=180°，即∠AEG+∠FEG+∠EGC=180°，
∵，∠FEG=45°，
∴∠EGC=，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的左侧，F在AB、CD之间时，如图，
∵，
∴∠AEG=∠EGD，
∵，∠FEG=45°，
∴，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的右侧，F在AB、CD之间时，如图，
，
∵，
∴∠AEG=∠EGD，
∵，∠FEG=45°，
∴，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；
当点E在G的右侧，F不在AB、CD之间时，如图，
∵，∠FEG=45°，
∴，
∵，
∴∠AEG=∠EGD=，
又l⊥CD，
∴l与CD所夹的锐角为；

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