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江苏扬州市邗江区2025-2026学年第二学期七年级期末数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2026年3月30日是第31个全国小学生安全教育日．下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A. 当心淹溺 B. 当心落水
C. 禁止翻越 D. 急救站
2.下列命题中的真命题是（）
A. 相等的角是对顶角 B. 若，满足，则
C. 若两个角的和为，则这两个角互补 D. 同位角相等
3.如图，左、右托盘中黑球的质量分别为a，b，白球的质量为c，图中体现的数学原理可表示为（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.已知则a，b，c的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
5.将一副直角三角板按如图方式叠放在一起，则∠α 的度数是（ ）
A. B. C. D.
6.若关于的多项式与的乘积中不含项，则的值为（ ）
A. 0 B. C. D.
7.如图，的边长为，把沿方向平移个单位长度，得到，连接，，若的面积为，则图中阴影部分的面积为（ ）．
A. B. C. D.
8.已知是不等式的解，不是该不等式的解，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若诗中苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法表示为 ．
10.若，，则＝ ．
11.请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
12.若是关于的二元一次方程的解，则的值为 ．
13.若一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是 ．
14.已知关于x、y的方程组的解满足，则的值为 ．
15.如图，将绕点逆时针旋转得到，若，则的度数为 ．
16.现规定一种新运算，，其中、为常数．若关于的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则的值为 ．
17.如图，将边长为的正方形和边长为的正方形叠放在一起，三点在同一条直线上，连结和．若这两个正方形的边长满足，，则阴影部分的面积为 ．
18.如图，锐角中，，，的面积为，为上一动点，将，分别沿，向外翻折得到，，连接，则面积的最小值为 ．
三、计算题：本大题共3小题，共18分。
19.计算：
(1) ；
(2) ．
20.用乘法公式计算：
(1) ；
(2) ．
21.解方程组或不等式组∶
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
22.(本小题6分)
如图，和谐广场有一块长为米，宽为米的长方形土地，现要将阴影部分进行绿化，在上方两角处留两块边长为米的小正方形空地．
(1) 用含有的式子表示绿化部分的总面积；（结果写成最简形式）
(2) 若，，求出绿化部分的总面积．
23.(本小题8分)
如图，中，，，且．
(1) 求证：；
(2) 若平分，，求的度数．
24.(本小题8分)
如图，长方形．
(1) 尺规作图：在边上找一点E，将长方形沿折叠，使得点关于直线的对称点落在边上，并作出点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(2) 在（1）所作图形中，若，求的度数．
25.(本小题12分)
我国古代数学的许多发现都位居世界前列，如图1的“杨辉三角”就是其中之一．如图2，杨辉三角给出了（为正整数）的展开式的系数规律（按的次数由大到小的顺序排列）．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中各项的系数．
(1) 按上述规律，展开式中共有 项，第三项是 ；
(2) 若，求的值；
(3) 当代数式的值为1，则的值为 ．
26.(本小题8分)
2026年苏超联赛，点燃了球迷的热情，拉动了区域消费．为了抓住这股消费热潮，某商店计划购进“加油”棒和“助威”牌进行销售，相关进价和售价情况如表所示：
“加油”棒 “助威”牌
进价（元/个） 25 26
售价（元/个） 30 30
(1) 该商店购进“加油”棒和“助威”牌共个，由于“加油”棒和“助威”牌很受欢迎全部销售完，共获利元，求“加油”棒和“助威”牌分别购进多少个（请列方程组求解）．
(2) 该商店决定再采购“加油”棒和“助威”牌若干个用于销售（“加油”棒和“助威”牌均有采购），购货资金恰好为元，在销售完这批“加油”棒和“助威”牌后，其获利不少于元，求最多能购买多少个“助威”牌？
27.(本小题12分)
如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．例如：，，，因此，，都是“和谐数”．
(1) 特例感知： “和谐数”， “和谐数”．（填“是”或“不是”）
(2) 规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“和谐数”都能被整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明．
(3) ，为正整数，且，若是“和谐数”．
求的值；
若是“和谐数”，请说明是“和谐数”．
28.(本小题12分)
【问题情境】
在数学活动课上，老师带领学生用一副直角三角尺进行“玩转三角尺”的探究活动．把一副三角尺按照如图方式摆放．其中，，，，，在同一直线上．
(1) 如图1， ；
(2) 【操作探究】如图2，如果把图1所示的以为中心逆时针旋转得到，当转到与直线首次重合时，停止转动．当时，为多少度？
(3) 【拓展延伸】如图3，作关于直线的对称，保持不动，绕点逆时针旋转，在转到与直线首次重合过程中，当与的一边所在直线垂直时，请直接写出旋转角的度数 ．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】
10.【答案】6
11.【答案】如果，那么
12.【答案】
13.【答案】5
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】 /
19.【答案】【小题1】
解：原式；
【小题2】
解：原式．

20.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，
；
【小题2】
解：，
，
，
．

21.【答案】【小题1】
解：，
由①得：③，
将③代入②得：，
得：，
将代入①得：，
∴该方程组的解为；
【小题2】
解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式组的解集为．

22.【答案】【小题1】
解：绿化部分的总面积为：
；
【小题2】
解：当，时，
绿化部分的总面积
（平方米）．

23.【答案】【小题1】
证明：，
，
，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
解：，
，
，
平分，
，
由（1）知，，
，
．

24.【答案】【小题1】
解：①以为圆心，为半径画弧，交于点；
②作的角平分线，交于点；
【小题2】
解：由折叠的性质可知：、，
，
四边形是长方形，
，
，
，
，
．

25.【答案】【小题1】
5

【小题2】
解：令得：，
令得：，
；
【小题3】
3

26.【答案】【小题1】
解：设“加油”棒购进个，“助威”牌购进个，
解得：
答：“加油”棒购进60个，“助威”牌购进40个
【小题2】
解：设“加油”棒购买个，“助威”牌买个，由题意，得，
∴
又∵
解得；
都为整数，
∴最大为50，
答：最多能购买50个“助威”牌.

27.【答案】【小题1】
是
不是
【小题2】
能，理由如下：
设两个正奇数分别是和，
，
“和谐数”能被整除；
【小题3】
解：根据题意得：，
是“和谐数”，
；
是“和谐数”，
（为正整数），
由知，，
，
，
，
，
，
，
是“和谐数”．

28.【答案】【小题1】
【小题2】
解：由（1）可知，
，
如图，当在内部时，
由旋转可知，
，
；
如图，当在外部时，
由旋转可知，
，
；
综上所述，或；
【小题3】
或或

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