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江苏省常州市2025-2026学年第二学期七年级期末数学卷
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列中式云朵纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.某动车组列车速度v（km/h）最高可达400km/h,用不等式表示其数量关系是（　　）
A. v＞400 B. v≥400 C. v≤400 D. v＜400
3.如果，那么下列不等式中，一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4.下列命题中，假命题是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等 B. 如果，，那么
C. 多边形的外角和等于 D. 如果，那么
5.下列运算中正确的是（）
A. B. C. D.
6.《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有罗七尺，绫九尺，其价適等，只云绫尺价不及罗尺价三十六文.问：二色尺价各几何？”意思是：7尺罗类丝绸和9尺绫类丝绸的价格相同，每尺绫类丝绸的价格比罗类丝绸少36文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文？设罗类丝绸每尺的价格为文，绫类丝绸每尺的价格为文，则可以列出的方程组为（）
A. B. C. D.
7.如图，在边长为的大正方形中挖掉一个边长为的小正方形，再把余下部分剪拼成一个长方形（无重叠无缝隙），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A. B.
C. D.
8.定义一种新运算：（其中，为常数）．若，，则下列结论：①；②当时，；③与的值互为相反数，其中正确的为（ ）
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。
9.计算： ．
10.幽门螺杆菌是胃部疾病常见的感染性病原，其宽大约是0.00005cm,其中0.00005用科学记数法表示为 .
11.若，则括号内“★”所表示的代数式为 ．
12.如图，将一块三角板的直角边紧贴直尺边缘，点在直尺上对应的刻度为．将该三角板沿着直尺边缘平移，使移动到的位置，点在直尺上对应的刻度为，则的长是 ．
13.不等式的最大整数解为 ．
14.若，，则的值为 ．
15.如图，，作一条直线，分别交，于点，，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点．若，则的大小为 ．
16.如图，将边长分别为和的两个正方形叠放在一起，它们除重叠部分外的阴影部分的面积分别记作和．若，，则的值为 ．
三、计算题：本大题共2小题，共20分。
17.计算：
(1) ；
(2) ．
18.解方程组和不等式组：
(1)
(2)
四、解答题：本题共6小题，共68分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中．
20.(本小题12分)
如图，每个小方格均为正方形，，，均为格点（每个小方格的顶点叫做格点）．
(1) 按要求画图：
①画，使它与关于直线对称；
②画，使它与①中的关于直线对称；
(2) 在（1）的条件下，与是否成中心对称？如果是，画出对称中心；如果不是，请说明理由；
(3) 如果在（1）中继续操作如下：画，使它与关于直线对称；画，使它与关于直线对称；；那么会与（1）中的 重合（填“”“”或“”）．
21.(本小题12分)
已知：若（且），则．利用这个结论解答下列问题：
(1) 若，则 ；
(2) 若，求的值；
(3) 若，求的值．
22.(本小题10分)
已知：如图，在中，点，分别在边，上，且．求证：．
23.(本小题12分)
某品牌的饮料有大瓶装和小瓶装两种型号，进价与售价如下表所示，已知超市花3000元购进了该品牌的饮料共800瓶．
大瓶装 小瓶装
进价（元/瓶） 5 3
售价（元/瓶） 8 5
(1) 该超市分别购进大瓶装和小瓶装多少瓶？
(2) 在售出小瓶装200瓶后，该超市开展“”促销活动，决定把一定数量的小瓶装作为赠品与大瓶装捆绑销售，并将剩余小瓶装的售价降低1元．如果这批饮料全部售完后，超市所获利润不低于1500元，那么小瓶装最多赠出多少瓶？
24.(本小题12分)
定义：若一个整式能表示成（，为整式）的形式，则称这个整式为“平方和式”．例如，，且，均为整式，所以是“平方和式”．
(1) 在，，中，是“平方和式”的是 ：
(2) 根据定义，说明是“平方和式”；
(3) 如果，是“平方和式”，那么它们的乘积是否也是“平方和式”？如果是，请说明理由；如果不是，请举出反例．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】 /
10.【答案】5×10-5
11.【答案】 /
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】16
17.【答案】【小题1】
解：
；
【小题2】
解：
．

18.【答案】【小题1】
解：，
②得：，
①③得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
方程组的解为；
【小题2】
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为．

19.【答案】解：
，
当时，原式．

20.【答案】【小题1】
①如图所示；
②如图所示；
【小题2】
与成中心对称，对称中心如图所示

【小题3】

21.【答案】【小题1】
【小题2】
，
，
∵，
∴，
∴，
解得：；
【小题3】
∵，
∴，
∴，
解得：．

22.【答案】证明：如图，过点E作，交于点F，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．

23.【答案】【小题1】
解：设该超市购进大瓶装x瓶，小瓶装y瓶，
由题意得，，
解得，
答：该超市购进大瓶装300瓶，小瓶装500瓶；
【小题2】
解：设小瓶装赠出m瓶，
由题意得，，
解得，
∴m的最大值为25，
答：小瓶装最多赠出25瓶．

24.【答案】【小题1】
【小题2】
证明：，且和都是整式，符合“平方和式”定义，
是“平方和式”；
【小题3】
是，乘积仍是“平方和式”，理由如下：
，是“平方和式”，
可设，，其中、、、都是整式，
则
、、、都是整式，
和均为整式，
因此和的乘积可以表示为两个整式的平方和，是“平方和式”．

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