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2025-2026学年吉林省长春市第二实验中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共7小题，共35分。
1.已知复数z满足z（3+i）=3+i2026，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　）
A. B. C. D.
2.已知点M（2，2）和N（5，-2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标（　　）
A. （1，0）或（6，0） B. （4，0）或（3，0）
C. （2，0） D. （7，0）
3.已知a,b,c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，给出下面四个命题：
（1）若α∥β，a α，则a∥β；
（2）若α∩β=a,b α，c β，b∥c,则a∥b；
（3）若a∥β，b β，则a∥b；
（4）a⊥β，b β，则a⊥b.
上面四个命题正确的有（　　）
A. （1）（3） B. （2）（4）
C. （1）（2）（4） D. （1）（3）（4）
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为asinC=bcosA+acosB，则△ABC一定为（　　）
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 钝角三角形
5.若圆锥的母线长为1，其侧面展开图的面积为，则这个圆锥的体积为（　　）
A. B. C. D.
6.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AA1，D，E，F分别是棱AB，B1C1，CC1的中点，则异面直线AF与DE所成角的余弦值是（　　）
A. B. C. D.
7.如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为（　　）
A.
B.
C.
D. 2
二、多项选择题：本大题共4小题，共23分。
8.《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边a，b，c，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有△ABC满足，且△ABC的面积，请运用上述公式判断下列结论错误的是（　　）
A. △ABC的周长为 B. △ABC三个内角A，B，C满足2C=A+B
C. △ABC外接圆的直径为 D. △ABC的中线CD的长为
9.下列说法正确的是（　　）
A. 已知，，则的最小值为6
B. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是
C. 在△ABC中，若，则△ABC为钝角三角形
D. 已知，，则在上的投影向量的坐标为
10.对于复数z,z1，z2，下列说法正确的是（　　）
A. 若z＜0，则z2＞0 B. 若z2＞0，则z∈R
C. 若|z1|＞|z2|，则 D. 若，则|z1|＞|z2|
11.如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面ADD1A1内的一点，E是线段CC1上的一点，则下列说法正确的是（　　）
A. 过点A，P，E的平面截该正方体所得的截面图形不可能为五边形
B. 当点P是线段A1D的中点时，存在点E，使得A1E⊥平面PB1D1
C. 存在点P，E，使得平面B1D1P∥平面EBD
D. 当E为棱CG1的中点且时，点P的轨迹长度为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知四面体ABCD的顶点都在球O的球面上，且AB=3，，，BD=4，则球O的体积为 .
13.如图，在△ABC中，AD=2DB，，BE与CD相交于点P，若（x,y∈R），则x+y= .
14.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知，则的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知.
（1）若，求实数k的值；
（2）求与的夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A为-1海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°方向，距离A为2海里的C处有一艘缉私艇奉命以海里/分钟的速度追截走私船，此时，走私船正以1海里/分钟的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
（1）问C船与B船相距多少海里？C船在B船的什么方向？
（2）问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,△ABC的面积为S，外接圆半径R=4，且.
（1）求b；
（2）若a=3c,∠CBA的平分线交AC于D，求BD的长度.
18.(本小题17分)
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，CD=AB，平面PAD⊥平面ABCD，M是PB的中点.
（1）求证：CM∥平面PAD；
（2）求证：CD⊥PA；
（3）设棱PC与平面ADM交于点N，求的值.
19.(本小题17分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，AC与BD交于点O，PO⊥平面ABCD，，点M为PB的中点，点E是线段AD上的动点.当EM∥平面PCD时，DE=1.
（1）求AD；
（2）求点D到平面PBC的距离；
（3）设，探究当λ为何值时，直线PE与平面PBC所成的角最大.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】ABC
9.【答案】AD
10.【答案】AB
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】C船与B船相距海里，C船在B船的正西方向；
缉私艇沿东偏北30°方向行驶才能最快追上走私船，且时间为小时．
17.【答案】
18.【答案】证明：取AB中点E，连ME，CE，
∵，M是PB的中点，
∴ME∥PA，CE∥AD，
由于ME 平面PAD，PA 平面PAD，
∴ME∥/平面PAD，
同理可得CE∥平面PAD，ME∩CE=E，ME，CE 平面MEC，
∴平面PAD∥平面MEC，
∵CM 平面MEC，
∴直线CM∥平面PAD；
证明：平面PAD⊥平面ABCD，且两平面的交线为AD，
∵AB∥CD，∠DAB=90°，
∴CD⊥AD，CD 平面ABCD，
故CD⊥平面PAD，又∵PA 平面PAD，
∴CD⊥PA；
2
19.【答案】2； ； ．
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