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江苏南通市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合则( )
A. B. C. D.
2.若复数为纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
3.向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量若，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆锥的表面积为，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的底面半径为( )
A. B. C. D.
6.已知表示一条直线，表示两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.甲箱中有个红球和个黑球，乙箱中有个红球和个黑球先从甲箱中等可能地取出个球放入乙箱，再从乙箱中等可能地取出个球，记事件“从乙箱中取出的球是黑球”为，则
A. B. C. D.
8.已知，下列关系不可能成立的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某实验小组为研究弹簧所受拉力单位：与伸长量单位：之间的关系，根据收集的实验数据，计算得出线性回归方程为已知，，下列说法中，正确的有( )
A. 变量与呈负相关 B. 回归直线经过点
C. D. 当时，
10.设函数，则
A. 在区间上单调递增
B. 直线是曲线的对称轴
C. 直线是曲线的切线
D. 有三个零点
11.在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为线段的中点，为线段上的动点，则( )
A. 二面角为直二面角
B. 三棱锥的体积为
C. 当为的中点时，
D. 三棱锥的外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的常数项为 ．
13.已知正四棱锥的体积为，则其侧棱长的最小值为 ．
14.甲、乙两位老师各自从名学生中随机选人调研，记为被两位老师同时选中的学生人数，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
讨论的单调性，并求其极值．
16.本小题分
相关部门为研究全市高三年级学生的性别和身高的关联性，对该市高三年级的学生进行抽样调查，调查结果如下表．
性别 身高 合计
低于 不低于
女
男
合计
依据小概率值的独立性检验，能否认为学生的性别与身高有关联？
以样本估计总体，以频率估计概率，现从全市高三年级男生中每次随机抽取名学生，共抽取次，且每次抽取的结果相互独立记被抽取的名男生中身高不低于的人数为，求．
附：，其中．
17.本小题分
已知函数，是的极大值点，
求实数的值；
判断函数在区间上的零点个数，并说明理由；
设，证明：．
18.本小题分
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．
证明：平面；
证明：平面；
点在侧面内，且到直线的距离为，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度．
19.本小题分
设集合，，从中一次取出个不同的数，由小到大依次记作，，定义随机变量：
若，求的分布列；
求；
若随机变量，证明：．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：因为，所以，
设切线的斜率为，由斜率的几何意义得，
而，得到切点为，则切线方程为，
化简得，故切线方程为．
，令，可得，
令，可得，
则在上单调递减，在上单调递增，
得到极小值为，无极大值．

16.【答案】解：零假设：学生的性别与身高无关联，
根据列联表数据得，
，依据小概率值的独立性检验，推断不成立，
故能认为学生的性别与身高有关联；
从全市高三年级男生中随机抽取人，身高不低于的概率，
又每次抽取结果相互独立，故，
因此．
17.【答案】解：由可知函数定义域为，
，
因为是的极大值点，故，
此时，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故是的极大值点，故；
函数在区间上的零点个数为，理由如下：
由知，是的极大值点，是的极小值点，
，
当时，，当时，，
且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
故在区间上有且仅有个零点．
设，
则，
由于，故，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
故，
故恒成立，则．

18.【答案】解：取的中点，连接，
因为为的中点，故，
又为的中点，，得，
故四边形为平行四边形，故，
又平面，平面，故平面．
以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，则，即
令，则，故，即，
故平面；
取的中点，连接，则，且，
结合题意可知四边形为矩形，此时，
即得上任一点到的距离均为，故点在上，
设，，
，
设平面的法向量为，则，即
令，则，
直线与平面所成角的正弦值为，
则，解得，舍去，
故．

19.【答案】解：当时，集合，从中一次取出个不同的数，由小到大依次记作，，，
总的取法数为，
分别是，，，，，，，，，，
由于随机变量
当时，即且，满足的组合只有，所以；
当时，即且，满足的组合只有，，，所以；
当时，；
所以，当时，随机变量的分布列为：
对于一般的，从集合中一次取出个不同的数，
总取法数为，
当时，即且，所以且，
令，由于，且，则，
从个数选出个不同的数的方法数为，因此满足条件的组合数为，
所以；
当时，即且，所以是三个连续的整数，即，
可以取，共种选择，所以；
当时，；
因此，．
由于随机变量，所以，，
因此，
由可知，由于，所以，
要证明，即证明，即需证，
先证明：
令，
当时，；当时，，
令函数，则，当时，，所以在时单调递增且，
所以随着的增大，也逐渐增大，
因此对于，有，即；
再证明：
由于，且，对任意都成立，
所以；
综上所述，，即．

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