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江苏徐州市2025-2026学年第二学期期末抽测高一年级
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某校高一、高二和高三年级分别有学生名、名和名，若用随机数表法从这人中抽取一个容量为的样本，每人被抽到的可能性都为，则( )
A. B. C. D.
2.同时抛掷两颗骰子，向上的点数之和小于的概率为( )
A. B. C. D.
3.数据，，，，，，，的分位数是( )
A. B. C. D.
4.已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知圆台的上、下底面半径分别是和，母线长为，则其体积为( )
A. B. C. D.
6.在中，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
8.若，，，的平均数为，方差为，则，，，，，，，的方差为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.盒子里有个红球和个白球，从中不放回地依次取出个球，设事件“两个球颜色相同”，“第次取出的是红球”，“第次取出的是红球”，“两个球颜色不同”则( )
A. 与互为对立事件 B. 与互斥
C. 与相互独立 D.
10.已知，是方程的两根，则( )
A. B.
C. D.
11.在正四棱柱中，底面为正方形，，设平面平面，则( )
A. 平面
B. 与夹角的余弦值为
C. 存在，使得平面
D. 存在，截该四棱柱所得截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若复数，则 ．
13.在中，为的中点，，，，则 ．
14.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，且设，分别为四棱锥的外接球与内切球的球心，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，满足．
若，求和；
若，求．
16.本小题分
某单位组织了“苏超”志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为．
求，的值；
估计这名候选者面试成绩的众数和平均数同一组数据用该组区间的中点值作代表；
在第四、五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中抽出人，以确定组长人选，求抽出的人来自不同组的概率．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，，分别为，的中点，．

求证：直线平面；
求直线与平面所成的角；
求二面角的大小．
18.本小题分
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．已知每场比赛甲胜乙的概率为，甲胜丙的概率为，乙胜丙的概率为，每场比赛互不影响．
若，甲、乙首先比赛，恰好比赛四场结束，求：
(ⅰ)甲最终获胜的概率；
(ⅱ)丙最终获胜的概率；
若，甲、丙首先比赛，求丙最终获胜的概率．
19.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，存在，满足．
证明：为钝角三角形；
设为的最大内角，内的点满足，
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)求的值．
1.【答案】
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13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由，则： ，
代入的表达式得： ，
则．
设，
则为实数，
若，
由，得，
根据复数相等的条件：虚部相等得；实部满足，
代入得： ，即，
解得，故．

16.【答案】解：因为第二、三四组的频率之和为，
所以，解得，
所以第一和第五组的频率之和为，即，
所以．
频率分布直方图中，最高矩形的中值点为，即众数为，
平均数为．
第四第五两组志愿者分别有人，人，
采用分层抽样的方法从中抽取人，
则第四组抽人，记为，第五组抽人，记为，
则从这人中选出人，
有共种结果，
两人来自不同组有共种结果，
所以两人来自不同组的概率为．

17.【答案】解：在中，因为分别为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以直线平面．
因为平面，平面，所以，．
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
在中，，为的中点，所以，
又因为，，平面，所以平面．
所以就是直线与平面所成角．
因为，
所以为等腰直角三角形，所以，
所以直线与平面所成角为．
在中，过点作于点，
由知，平面，又平面，所以，
又因为，，平面，所以平面．
又因为平面，所以，
所以就是二面角的平面角．
因为，所以．
则．
，，
，所以，
因为，
所以在中，，
所以．
故二面角的大小为．


18.【答案】解：由于恰好比赛四场结束，若甲最终获胜，则四场中乙输两场，丙输两场，
则第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为，
第二场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为，
第三场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为，
第四场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为，最终甲获胜；
故甲最终获胜的概率为；
(ⅱ)由于恰好比赛四场结束，若丙最终获胜，则四场中甲输两场，乙输两场，
若第一场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为，
则第二场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为，
第三场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，
第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为，最终丙获胜；
若第一场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为，
则第二场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为，
第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为，
第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，最终丙获胜；
故丙最终获胜的概率为；
若第一场甲、丙比赛中甲胜丙负，概率为，
则有情况一：第二场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为，
第三场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为，
第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，
第五场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为，
最终丙获胜，概率为；
情况二：第二场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为，
第三场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为，
第四场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为，
第五场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，
最终丙获胜，概率为；
若第一场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为，
则有情况三：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，
第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为，
第四场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为
最终丙获胜，概率为；
情况四：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，
第三场丙、甲比赛中丙胜甲负，概率为，
第四场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为，
第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为，
最终丙获胜，概率为；
情况五：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，
第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为，
第四场甲、乙比赛中甲胜乙负，概率为，
第五场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为，
最终丙获胜，概率为；
情况六：第二场丙、乙比赛中丙胜乙负，概率为，
第三场丙、甲比赛中甲胜丙负，概率为，
第四场甲、乙比赛中乙胜甲负，概率为，
第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为，
最终丙获胜，概率为；
情况七：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为，
第三场乙、甲比赛中乙胜甲负，概率为，
第四场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为，
第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为，
最终丙获胜，概率为；
情况八：第二场丙、乙比赛中乙胜丙负，概率为，
第三场乙、甲比赛中甲胜乙负，概率为，
第四场甲、丙比赛中丙胜甲负，概率为，
第五场乙、丙比赛中丙胜乙负，概率为，
最终丙获胜，概率为；
故最终丙获胜的概率为．

19.【答案】解：设的最大角是，则均为锐角，由，得均为锐角，所以
，所以，
又，所以
移项得，得，
所以为钝角三角形；
由得，在中，，
故为等腰三角形，，
方法：点在内部，得
，
，
，
中，，，
故，
，
，
将含项移至左侧，提取：
，
得，
即 ，等式得证．
方法：由正弦定理
，等式得证．
(ⅱ)在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，所以，
即，
所以
，所以．

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