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1.4　基本不等式
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1. (2026·天津) 设，则最小值为(　　)
A.10 B.9 C.8 D.6
2.若x>0，则函数y=的最小值为(　　)
A.6 B.7 C.10 D.11
3. (2026·汨罗模拟) 已知正数，满足，则的最小值为 (　　)
A. B. C. D.
4. (2026春·南京期末) 若正数满足，则的最小值是 (　　)
A. B.
C. D.
5. (2026春·雨花区校级月考) 已知实数,满足,则下列不等关系一定正确的是(　　)
A. B.
C. D.
6.设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则的最大值为(　　)
A.4 B.2 C.3 D.1
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7. (2026春·方城县校级期末)下列命题中正确的是 ( )
A. 的最小值是2
B. 当时，的最小值是4
C. 当时，的最大值是5
D. 若正数满足，则的最小值为3
8. 已知正实数，满足，则 (　　)
A. B.
C. D.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9. (2026春·浦东新区校级期末) 已知，则的最小值为　　　　.
10.已知a>-1，b<2，+=，则a-b的最小值为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求：
(1)x+y的最小值；(4分)
(2)xy的最大值；(4分)
(3)x-y的取值范围.(5分)
12.(15分) 已知函数。
(1) 当时，解关于的不等式；（7分）
(2) 若不等式的解集为，且，求的取值范围 (8分)
1.4　基本不等式
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1. (2026·天津) 设，则最小值为(　　)
A.10 B.9 C.8 D.6
答案　B
解析　，则，
当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.
2.若x>0，则函数y=的最小值为(　　)
A.6 B.7 C.10 D.11
答案　D
解析　∵x>0，∴y==x++1
≥2+1=11，
当且仅当x=，即x=5时，等号成立，
∴函数y=的最小值为11.
3. (2026·汨罗模拟) 已知正数，满足，则的最小值为 (　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　，，，
则，
当且仅当，即，时等号成立，
则的最小值为。.
4. (2026春·南京期末) 若正数满足，则的最小值是 (　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　正数满足，
所以，
则
，
当且仅当时取等号. 故选：A.
5. (2026春·雨花区校级月考) 已知实数,满足,则下列不等关系一定正确的是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由可得，A错误；
当，，是，B错误；
由可得，，C正确；
当时，D错误.
6.设正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则的最大值为(　　)
A.4 B.2 C.3 D.1
答案　D
解析　因为正实数x，y，z满足x2-xy+y2-z=0，则z=x2+y2-xy，
所以==≤=1，
当且仅当=(x>0，y>0)，即x=y时，等号成立，故的最大值为1.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7. (2026春·方城县校级期末)下列命题中正确的是 ( )
A. 的最小值是2
B. 当时，的最小值是4
C. 当时，的最大值是5
D. 若正数满足，则的最小值为3
答案　BCD
解析　对于A，，
当且仅当取等号，显然取等条件不成立，A错误；
对于B，当时，，，当且仅当，即时取等号，B正确；
对于C，当时，，当且仅当，即时取等号，C正确；
对于D，，，
，当且仅当，即时取等号，D正确．
故选：BCD.
8. 已知正实数，满足，则 (　　)
A. B.
C. D.
答案　AD
解析　由题知，正实数，满足，
所以，
对于A，因为，
所以，
所以，即，A符合题意；
对于B，，
当且仅当且，即，时取等号，B不符合题意；
对于C，因为，
所以，
所以
所以，
当且仅当，且，即，时取等号，C不符合题意；
对于D，由A得，
所以
，
当且仅当，且，即，时取等号，D符合题意；
故答案为：AD.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9. (2026春·浦东新区校级期末) 已知，则的最小值为　　　　.
答案　1
解析　解：，，
，当且仅当，又，即取等号.
故的最小值为1.
故答案为：1.
10.已知a>-1，b<2，+=，则a-b的最小值为　　　　.
答案　9
解析　设a+1=x>0，2-b=y>0，
则+=，a-b=x+y-3
=3(x+y)-3=3-3≥3-3=9.
当且仅当
即x=y=6，即a=5，b=-4时等号成立.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知正实数x，y满足x+y+xy=8，求：
(1)x+y的最小值；(4分)
(2)xy的最大值；(4分)
(3)x-y的取值范围.(5分)
解　由题意，正实数x，y满足x+y+xy=8，
(1)由x+y=8-xy≥8-，
可得(x+y)2+4(x+y)-32≥0，
解得x+y≥4，
当且仅当x=y=2时，等号成立，
故x+y的最小值为4.
(2)方法一　因为x+y+xy=8，x>0，y>0，
所以8-xy=x+y≥2，
所以()2+2-8≤0，
所以(+4)(-2)≤0，
所以≤2，即xy≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，所以xy的最大值为4.
方法二　由x+y≥4，可得xy=8-(x+y)≤4，当且仅当x=y=2时，等号成立，
所以xy的最大值为4.
(3)由x+y+xy=8，可得y=，
由可得0且x-y=x-=x+1-，
令t=x+1，则t∈(1，9)，构造函数f(t)=t-，t∈(1，9)，由于函数f(t)在(1，9)上单调递增，
所以f(t)的值域为(-8，8)，
故x-y的取值范围为(-8，8).
12.(15分) 已知函数。
(1) 当时，解关于的不等式；（7分）
(2) 若不等式的解集为，且，求的取值范围 (8分)
解　(1) 由得，。
即。
①当，即时，解得；
②当即时，解得或；
③当，即时，
由于，
故解得。
综上可得：当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为
(2) 不等式的解集为，且，即任意的不等式恒成立。
即对任意的恒成立，
由于，
对任意的恒成立。
令，，
，
当且仅当，即时等号成立。
，
实数的取值范围是

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