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1.4.1充分条件与必要条件 学习案
一、概念填空
1．充分条件与必要条件：
命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题
推出关系 由p可以推出q，记作___ 由p不能推出q，记作___
条件关系 p是q的___ p不是q的___
q是p的___ q不是p的___
【答案】 p q 充分条件 充分条件 必要条件 必要条件
【思考】如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢？
【答案】由上述定义知“”表示有p必有q，所以p是q的充分条件，这点容易理解．但同时说q是p的必要条件是为什么呢？
q是p的必要条件说明没有q就没有p，q是p成立的必不可少的条件，但有q未必一定有p.
3．【思考】
若p是q的充分条件，那么p是唯一的吗？举例说明.
【答案】不是，如都是的充分条件.
4.【思考】(1)若p是q的必要条件，那么p是唯一的吗？举例说明.
(2)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(3)如何理解充分条件与必要条件？
【答案】（1）不是，如x>0，x>5等都是x>9的必要条件；
（2）相同，都是p q；
（3）所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的；所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．
5.【思考】．用定义法判断充分条件和必要条件的一般步骤是什么？
【答案】（1）充分条件：对需要判断的条件p和结论q，判定“若p，则q”的真假；若为真，则p是q的充分条件，否则不是充分条件．
（2）必要条件：对需要判断的条件p和结论q，判定“若q，则p”的真假；若为真，则p是q的必要条件，否则不是必要条件．
试卷第1页，共3页
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考点归纳
①充分条件的判断；②由充分条件求参数；③必要条件的判断；②由必要条件求参数.
巩固训练
一、单选题
1．下列所给的各组，中，满足的充分条件是的个数是（ ）
（1）：四边形的对角线相等，：四边形是正方形；
（2）：两个直角三角形全等，：两个直角三角形的斜边相等；
（3）：，：；
（4）：，：；
（5）：同位角相等，：两条直线平行；
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下列结论的充分条件为“，为无理数”的是（ ）
A．为无理数 B．为无理数
C．为无理数 D．
3．两个三角形全等的充分条件是（ ）
A．两个三角形的两角对应相等
B．两个三角形的两边对应成比例且夹角相等
C．两个三角形的三边对应成比例
D．两个三角形的两边对应相等且夹角相等
4．已知不等式成立的充分条件是，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．设，，则（ ）
A．既是的充分条件，也是的必要条件
B．是的充分条件，但不是的必要条件
C．是的必要条件，但不是的充分条件
D．既不是的充分条件，也不是的必要条件
6．“为整数” 是 “为整数” 的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．下列“若p，则q”形式的命题中，q是p的必要条件的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若为无理数，则为无理数
D．若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形
8．使不等式成立的一个必要条件是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知是的充分条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ）
A．是的充分条件 B．是的充要条件
C．是的充分条件 D．是的必要条件
10．已知“若p则q”为真命题，则下列说法正确的是（ ）
A．p是q的充分条件 B．p是q的非必要条件
C．p的必要条件是q D．q是p的非充分条件
11．已知集合，，若是的充分条件，则实数的值可能为（ ）
A． B． C．0 D．
三、填空题
12．设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________
13．已知集合，非空集合．若是的必要条件，则实数的取值范围是___________．
14．若“”是“”的充分条件，则实数a的取值范围为______．
四、解答题
15．下列命题中p是q的充分条件吗？
(1)在中，p：，q：；
(2)已知，p：，q：.
16．判断下列各组p，q中，p是否为q的必要条件？
(1)p：，q：．
(2)p：，q：．
(3)p：是无理数，q：是无理数．
17．用“”表示下列陈述句与之间的推出关系：
(1)，，；
(2)，；
(3)，．
18．已知或，或．
(1)若是的充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若是的必要条件，求实数m的取值范围．
19．已知集合，集合．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)命题：，命题：，若是的充分条件，求实数的取值范围．
四、参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D D B C A A B ABD AC ACD
1．B
【分析】根据充分条件的定义，逐一判断能否推出，即可得解.
【详解】对于（1），对角线相等的四边形不一定是正方形，例如长方形，所以；
对于（2），由全等三角形对应边相等，可知全等的直角三角形斜边一定相等，所以；
对于（3），时，，不是只有，所以；
对于（4），时，，不是只有，所以；
对于（5），根据平行线判定定理，同位角相等则两直线平行，所以.
因此，只有（2）和（5）满足是的充分条件，共2个.
故选：B.
2．D
【分析】举特殊值，可排除A、B、C选项，由0不是无理数可知D正确.
【详解】若，则为有理数，A错误；
若，则为有理数，B错误；
若，则为有理数，C错误；
若为无理数，则，所以，D正确．
故选：D.
3．D
【分析】由全等三角形的判定定理可得结果.
【详解】根据全等三角形的判定定理可得，
当两个三角形的两边及其夹角对应相等时，两个三角形全等．
故选：D.
4．B
【分析】由题意知，根据子集关系列式即可求得实数的取值范围.
【详解】由题意得，
所以，解得，
所以实数的取值范围是．
故选：B.
5．C
【分析】求出方程的解，利用充分条件和必要条件的定义求解.
【详解】由可得或，
命题不一定推出命题，命题不是命题的充分条件；
命题可推出命题，命题是命题的必要条件，
是的必要不充分条件．
故选：C.
6．A
【分析】利用充分条件、必要条件的定义判定即可.
【详解】当时，为整数，故不一定是整数，而当是整数时，一定是整数，所以“为整数”是“为整数”的必要不充分条件.
故选：A.
7．A
【分析】根据充分条件的定义依次判断每个选项即可.
【详解】对选项A：若则，故是的必要条件，故A正确；
对选项B：若，时，不能得到，故B错误；
对选项C：取，满足为无理数，为有理数，故C错误；
对选项D：四边形的对角线互相垂直，则这个四边形不一定是菱形，故D错误；
故选：A
8．B
【分析】不等式变形得出其充要条件，然后根据必要条件的定义判断．
【详解】 ，
因此只有B是其必要条件．
故选：B．
9．ABD
【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义求解即可.
【详解】由已知得.
选项A，，则是的充分条件，所以A正确；
选项B，，则，所以是的充要条件，所以B正确；
选项C，根据已知条件，无法得出是的充分条件，所以C错误；
选项D，，则是的必要条件，所以D正确.
故选：ABD.
10．AC
【分析】根据命题为真得，根据充分条件和必要条件的定义判断各项
【详解】因为“若p则q”为真命题，
所以，所以p是q的充分条件，q是p的必要条件，故A、C对；
q能否推出p无法判断，所以B、D错；
故选：AC
11．ACD
【分析】先根据题意得到，再分类讨论与，利用集合的包含关系得到关于的不等式（组），解之即可得解.
【详解】因为是的充分条件，所以，
若，显然满足题意，此时，解得；
若，则，且，解得；
综上，或，对比选项可知，ACD符合题意，
故选：ACD.
12．
【分析】根据必要条件的定义直接求解即可.
【详解】若是的必要条件，
则，
故可得.
故答案为：
13．
【分析】由题意得是的子集，再根据包含关系列出不等式组即可求解.
【详解】因为是的必要条件，所以是的子集，
所以，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】根据充分条件的定义结合题意即可求解.
【详解】“”是“”的充分条件，则.
所以实数a的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)p是q的充分条件.
(2)p是q的充分条件.
【分析】（1）根据三角形的性质及充分条件的概念判断即可；
（2）根据一元二次方程的根及充分条件的概念判断即可.
【详解】（1）在中，由大角对大边知，则由得，所以p是q的充分条件.
（2）当时，成立，故p是q的充分条件.
16．(1)是
(2)不是
(3)是
【分析】根据必要条件得定义即可判断（1）（2）（3）．
【详解】（1）由 ，则成立，所以p是q的必要条件．
（2）由 ，则不成立，所以p不是q的必要条件．
（3）由是无理数 是无理数，则成立，所以p是q的必要条件．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（2）（3）根据充分、必要条件的定义分别判断即可．
【详解】（1）解：，，，
由，，得，反之不成立，
故；
（2）解：，，
由，得，反之不成立，
故；
（3）解：，，
由，得，反之不成立，
故．
18．(1)
(2)
【分析】利用充要条件与集合的关系，结合集合的包含关系即可得解.
【详解】（1）设或，或，
因为是的充分条件，所以，
当时，即，此时，不满足题意；
当时，即，有，解得；
综上：m的取值范围为.
（2）因为是的必要条件，所以，
当时，即，此时，成立；
当时，即，有，无解.
综上：m的取值范围为.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据是否为空集进行分类讨论，由此列不等式来求得的取值范围.
（2）根据是的充分条件列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】（1）由于，
①当时，，解得，
②当时，或，
解得．
综上所述，实数的取值范围为．
（2）命题，命题，若p是q的充分条件，故，
所以，解得；
所以实数的取值范围为．
试卷第1页，共3页
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