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四川泸州市泸县普通高中共同体2025-2026学年高一下学期期中素养评价数学试题
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．3 B． C． D．
3．下列是奇函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
4．设为实数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
7．在边长为3的等边三角形中，点E为上靠近点B的三等分点，则（ ）
A． B． C． D．3
8．如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内，在A点测得在A的南偏东的方向上，在A的南偏东的方向上，在点测得在的南偏西的方向上，在的南偏东的方向上，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知复数（为虚数单位），则（ ）
A．的虚部为2 B．
C． D．
10．已知平面直角坐标系中三个点，，，则（ ）
A．
B．在上的投影向量为
C．是锐角三角形
D．以A，B，C为顶点的所有平行四边形的面积均为8
11．已知，，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．__________.
13．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则__________
14．已知线段，O为平面上动点，若对，恒成立，则当取最小值时，______．
四、解答题
15．已知平面向量，，满足，，且与的夹角为．
(1)求及；
(2)若，求实数的值．
16．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
(1)求角B；
(2)若，，求边c和的面积.
17．已知函数．
(1)求函数的最小正周期与单调递增区间；
(2)若方程在上的解为，，求．
18．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，点D在边上，且，
(1)若，，求；
(2)若，求；
(3)求的取值范围．
19．利普希茨连续条件（Lipschitz continuity）是一个关于函数光滑性的重要概念，该条件以德国数学家鲁道夫 利普希茨的名字命名．若函数的定义域为，且，若存在常数，使得内任意，都有，则称在区间上是“－利普希茨条件函数”．
(1)判断函数在上是否为“2－利普希茨条件函数”，并说明理由；
(2)若函数在上是“－利普希茨条件函数”，求的最小值；
(3)已知任意恒成立．证明：函数是“2026－利普希茨条件函数”．
参考答案
1．B
【详解】因，，
则.
2．B
【详解】因为角的终边过点，
所以.
3．D
【详解】对A，函数是奇函数，在上单调递减，故错误；
对B，函数是非奇非偶函数，故错误；
对C，函数是非奇非偶函数，故错误；
对D，幂函数是奇函数，在上单调递增，故正确.
故选：D
4．A
【详解】由，可得或，
“或”不能推出“”，
而“”能推出“或”，
∴“”是“”的充分不必要条件.
5．A
【分析】将弦化为切后计算即可得.
【详解】.
6．C
【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度，
可得，
再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得.
7．A
【详解】由点E为上靠近点B的三等分点，则，
故，
则
.
8．C
【详解】由题可知：，
所以，
所以在中，,
在中，
在中，.
故选：C
9．ACD
【详解】由，则的虚部为2，故A正确；
而，故B错误；
而，故C正确；
而，故D正确.
10．AD
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，因，
则在上的投影向量为，故B错误；
对于C，由，，可得，
故角为的最大角，由可知角为钝角，故为钝角三角形，即C错误；
对于D，由上分析，得，则，
故，于是的面积为，
而以A，B，C为顶点的平行四边形的面积都是的面积的两倍，故D正确.
11．ABD
【详解】对于A，因为，所以，
因在内单调递增，则，故，故A正确；
对于B，，因为，则，
而在上单调递减，则，即，故B正确；
对于C，，在内，由正切函数的性质有，
以下为证明过程：
设，则，
在内，，单调递增，所以，即，
因此，即，且，所以，故C错误；
对于D，，其中锐角满足，
原不等式等价于，即.
因为，即，则，
，因为在内，单调递增，所以，
又由A知，则，因为在内，单调递增，
所以成立，D正确.
12．2
【详解】.
故答案为：2.
13．
【详解】由题意易知，周期，所以，所以.
考虑图中最低点，其横坐标为，纵坐标为，代入得，
解得，，又因为，，所以，
所以.
14．
【详解】设（E在直线AB上），则，
所以对，恒成立，即恒成立，
即动点O到直线AB的最短距离为3，设D为AB中点，
则，
当OD取最小值3时最小，此时且．
∴.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由题意得，
所以，
所以．
（2）法一：若，则，
所以，
即，解得．
法二：如图：，，，则，
则以，为邻边的平行四边形为菱形，即，
又，，
则，
又，则，即.
16．(1)
(2)，面积
【详解】（1）已知，由余弦定理得：，
所以，
化简可得：.
又，故
（2），
由正弦定理，代入，，：
所以.
因为，
所以.
17．(1)，单调递增区间为，
(2)
【详解】（1）由
，
则函数的最小正周期为．
令，解得，
所以函数的单调递增区间为
（2）法一：令，即，
令，则由，得．
因为有两解，则这两解与关于对称，所以，
即，则，所以，
则．
法二：同法一可得，则，
即
．
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）法一：，
则
．
法二：过点D作的平行线交于点H，
在中，，，
由余弦定理：
法三：在中，由余弦定理：
又，则，
则.
法四：因为，则平分角C，
由，
即.
（2）法一：因为，则与相似，
则，即，所以，
则，，则．
法二：设，因为，则
在中，由正弦定理知①
在中，由正弦定理知②
，，则有
又，．
（3），平方得．
即，又
令，则，.
法一：
令，则，
，
．
的取值范围为
法二：令，则方程有正根．
，
①若，方程没有正根，不符合题意；
②若，且，得：或（此时方程只有一个负根，故舍去）
③若，且，得：，
ⅰ 若方程有一个根为0，此时，方程有正根，符合题意；
ⅱ 若方程有两个正根，则，得或，
ⅲ 若方程有1个正根，一个负根，，得，
综上：，
的取值范围为.
19．(1)函数在上是“2－利普希茨条件函数”
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）已知且，则.
因为，，所以，
则0，即，
所以存在常数，使得在内任意，(，都有，
故函数在上是“利普希茨条件函数”.
（2）已知且，
则.
因为，所以，则，那么，
所以，即.
因为函数在上是“利普希茨条件函数”，
所以，则的最小值为.
（3）要证明是“2026－利普希茨条件函数”．
只需证在任意区间，存在常数，
使得内任意，都有.
因为
，
且即只需恒成立即可.
因为时，，所以当时，，
当时，，即对，都有.
不妨设，则，
所以恒成立，
故存在常数，使得在内任意，，都有，
即函数是“利普希茨条件函数”.

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