资源简介

四川省绵阳南山中学2025-2026学年11月高二上学期期中考试数学试题
一、单选题
1．直线的倾斜角是
A． B． C． D．
2．已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．已知曲线，从C上任一点P向x轴作垂线段，为垂足，则线段的中点M的轨迹方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．若直线：与圆：相切，则实数的取值为（ ）
A．或 B．或
C． D．
5．设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（ ）
A． B．2 C．1 D．
6．已知直线与直线平行，直线l到的距离与l到的距离相等，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，等边三角形中，，点、分别在边、边上，且，，将三角形沿DE折起，将点翻折至于点处，使得平面平面，则直线与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知点P是直线上的动点，圆关于直线的对称圆记为圆，以为直径的圆与圆交于A，B两点，则四边形的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线可以表示过点的所有直线
B．直线过定点
C．平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示
D．经过点且斜率为的直线l的方程为
10．在椭圆 中，点、分别为其左、右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则下列说法正确的是（ ）
A．三角形的周长为定值
B．若三角形为正三角形，则椭圆的离心率为
C．坐标原点O可能是三角形的内心
D．令，若存在，则
11．在正三棱柱中，，点P满足，其中，，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，点P的轨迹为线段
B．当时，有且仅有一个点P使得
C．当时，三棱锥的体积为定值
D．当时，有且仅有一个点P使得平面
三、填空题
12．若椭圆 的离心率为，则___________.
13．已知，是直线与圆相交的________________条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”）
14．在平面直角坐标系中，点在圆： 上，点B在直线： 上，且 ，则 的最小值为________.
四、解答题
15．已知直线，，求下列直线l的一般方程:
(1)若直线经过和的交点，且经过点 ；
(2)若直线经过和的交点，且与直线垂直.
16．已知点和点在椭圆上
(1)求椭圆C的标准方程及离心率；
(2)若点B为直线与椭圆C的公共点，求的面积.
17．在平行六面体中，，，，点F、G分别为棱、的中点，，，设，，．
(1)用，，表示并求出的值；
(2)求的值.
18．如图，在正四棱锥中，所有棱长都相等，点分别是棱的中点，点G在棱上，且.
(1)若，证明：平面；
(2)若，求的值；
(3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围.
19．已知平面上两定点 和 ，动点M满足，记点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)设点D在曲线C上运动，记点M为过D、B两点的弦的中点，若直线与直线 交于点N，证明：恒为定值；
(3)若点P、Q在曲线C上，点 满足直线、的斜率之积为，试问直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由.
参考答案
1．D
【详解】由，得，
设直线的倾斜角为，则，
，故选D.
2．B
【详解】因为向量，，
则向量在向量上的投影向量为.
故选：B.
3．A
【详解】解：设，依题意可知
即
因为点在曲线上，所以，
即，
故选：A．
4．A
【详解】方程可化为，
所以圆的圆心的坐标为，半径，
因为直线:与圆:相切，
所以点到直线的距离，
所以，
解得，或，
故选：A
5．C
【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知，
设，则，
因为，所以，
即，
解之得或，即或，
.
故选：C
6．D
【详解】因为直线与直线平行，
所以，解得，故直线，
而直线可以写成，设直线，
因为直线l到的距离与l到的距离相等，所以，解得，
故直线，即直线l的方程为.
故选：D.
7．B
【详解】由已知，，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，
所以，所以，，两两垂直，
以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
如图，由已知，到直线的距离为，
则，，，，
从而，.
故，
设直线与所成的角为，则，，
所以.
故选：B．
8．A
【详解】圆的圆心为，半径为1，
设点关于直线的对称点为，
根据对称性可知线段的中点在直线上，且，
即，解得，所以圆的方程为.
因为以为直径的圆与圆交于A，B两点，
所以且，即，
所以为圆的两条切线，所以，
所以四边形的周长为，
而为点到直线的距离，即，
所以四边形的周长的最小值为.
故选：A.
9．BC
【详解】对于A，直线表示过点，且斜率为的直线，故A错误；
对于B，即，因为m的取值范围是，所以，解得，即直线过定点，故B正确；
对于C，平面直角坐标系内的所有直线都能用一般式方程表示，故C正确；
对于D，根据点斜式可知经过点且斜率为的直线l的方程为，即，故D错误.
故选：BC.
10．AB
【详解】对于A选项：根据椭圆的定义：，，
三角形的周长为,
所以三角形的周长为定值，所以选项A正确；
对于B选项：为正三角形，则，又因为，，所以，且，，根据余弦定理，即，化简得，即，所以选项B正确；
对于C选项：若原点为的内心，则必须在的角平分线上，因原点在轴上，故轴必须是的角平分线，这意味着关于轴对称，因此直线必须垂直于轴，其方程为，在此情况下，若原点也位于的角平分线上，则需满足， 又，两者相等则，与矛盾，故原点不可能是内心，所以选项C错误；
对于D选项：若存在，则以为直径的圆与椭圆有交点，联立 ，消去可得，若有实根，则需，即 ，故，所以选项D错误；
故选：AB.
11．ACD
【详解】
由平面向量的基本定理易知，点在矩形内部（含边界）．
对于A，当时，，
所以，此时三点共线，
即线段，故A正确；
对于B，当时，，
取，中点分别为，则，所以点轨迹为线段，
不妨建系解决，建立空间直角坐标系如图，，，，
则，，
，显然始终不成立，故B错误；
对于C，当时，，取，中点为．
故此时点轨迹为线段，而，所以的面积不变，
又到平面的距离为定值，所以该三棱锥的体积为定值，故C正确．
对于D，当时，同上易知P点轨迹为线段．，
所以，，
若平面，所以，
此时存在且唯一，故D正确．
故选：ACD．
12．
【详解】，，，
，
，
解得.
故答案为：.
13．必要不充分
【详解】若直线与圆相交，
则圆心到直线的距离，解得，
因不能推出，而由可以推出，
故是直线与圆相交的必要不充分条件.
故答案为：必要不充分.
14．
【详解】因为点在直线上，所以设.
设，由得，
所以，
化简得
解得，所以.
所以.
.
所以
要求的最小值，即求的最大值，
因为.
此时取最小值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）首先求直线和的交点，联立方程：，
解得，所以两直线交点坐标为，已知直线过点和点，
则直线的斜率，则直线的方程为，
即直线l的一般方程.
（2）直线的方程为，化为斜截式得，
即斜率为：，与垂直的直线斜率满足，
所以直线的斜率为，直线经过交点，由点斜式得：
,化为一般式为.
16．(1)；；
(2)或.
【详解】（1）因为点和点在椭圆上，
所以，解得，即，所以椭圆的方程为；
所以，所以，所以椭圆C的离心率为；
（2）联立与椭圆，消x得，
解得或，所以或，
当时，由点知直线BP方程为，且，
点到直线BP的距离为，所以的面积为；
当时，由点知直线AB方程为，且，
点到直线AB的距离为，所以的面积为；
综上，的面积为或.
17．(1)；
(2)
【详解】（1）因为点F为棱的中点，所以，
由得，所以
，
又，
所以；
由题意，，
所以，，，
所以
．
（2）因为点G为棱的中点，所以，
因为，所以，
所以，·
所以.
18．(1)证明见解析；
(2)；
(3).
【详解】（1）当时，是的中点，因是的中点，则，
连接，交于点，连接，
因四棱锥是正四棱锥，则平面，且互相垂直平分，
又是的中点，则，故，
又平面，平面，故平面.
（2）由（1）易得两两垂直，
故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系.
设，则，
所以，则，，
则
由可得：
，解得.
（3）由上分析，，
设平面的法向量为，则，可取；
又，，
设平面的法向量为，则，可取
设平面与平面的夹角为，则，
因，则，故可得.
即平面与平面夹角余弦值的取值范围为.
19．(1)；
(2)证明见解析；
(3)；
【详解】（1）设,因为，，所以，
所以，化简可得，
所以曲线的方程为.
（2）若直线的斜率为0，则，
若直线的斜率不为0，
设直线为， 直线与曲线C交点为，
联立
所以，所以，
D、B两点的弦的中点的纵坐标为，
联立与，所以的纵坐标为，
，
所以恒为定值；
（3）设直线为，，
联立，
所以，
所以，
又因为点 满足直线、的斜率之积为，
所以，
所以，
所以，
即得，
化简得，
所以，
所以或，
当时，即，直线为，定点为；
当时，即，
直线为，定点为不满足直线、的斜率存在，不合题意舍；
当直线为，，直线、的斜率之积为，
所以，所以，
即得，所以或舍；
综上，直线过定点；

展开更多......

收起↑