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广东省珠海市香洲区珠海市九洲中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题
1． 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2． 函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3． 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4． 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（　　）m
A．52 B．13 C．18 D．20
5．如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是（　　）
A．0时 B．4时 C．14时 D．24时
6． 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
7． 对于一次函数，下列结论错误的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．当时，
C．直线与直线平行 D．函数的图象不经过第三象限
8． 如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9． 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
10． 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
11． 将一次函数的图象向下平移2个单位，得到另一个函数的图象，这个函数的解析式为：　 　．
12．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
13．四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 　 　．
14． 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简　 　．
15． 如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，为线段的中点，则图中阴影部分的面积是　 　．
16． 计算：．
17． 观察图1，每个小正方形的边均为1．可以得到每个小正方形的面积为1．
（1）图中阴影部分的面积S是多少？阴影部分正方形的边长a是多少？
（2）请你利用图2在的方格内作出边长为的正方形．
18． 已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点C是x轴上一点，若的面积为3，求点C的坐标．
19． 如图，在平面直角坐标系中，，并且a，b满足．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点C出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，？并求出此时P、Q两点的坐标．
20． 已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
21． 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为　 　，点的“横负纵变点”为　 　；
（2）化简：；
（3）已知a为常数，点，且，则　 　，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是　 　．
22． 如图，在中，于点，，连接交于点．
（1）如图1所示，，，求的值；
（2）如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接．
证明：；
当，时，求的长．
23． 在等腰中，，，点是线段的中点，点是线段中垂线上的一点，连接、、、，点是线段上的一点．
（1）如图，当点在边上时，连接，若，，求的长度；
（2）如图，当点在内部时，延长至点，点是线段的中点，连接、、，若平分，，求证：；
（3）如图，当点在外（下方）时，与交于点，连接、、，若，点是线段的中点，当线段取得最小值时，请直接写出四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：选项 A：，被开方数50含能开方的因数25，不是最简二次根式；
选项 B：，被开方数5不含分母，且没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式要求；
选项 C：，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项 D：，被开方数12含能开方的因数4，不是最简二次根式.
故答案为：B.
【分析】由最简二次根式的两条判定标准，依次核对四个选项；对 A、D，分解被开方数，找出平方因数化简，判定不满足条件；对 C，观察被开方数存在分母，直接判定不满足条件；对 B，同时满足两条判定条件，确定为最简二次根式.
2．【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：函数y=的被开方数为x 5，
因此列不等式： x 5≥0 ，
解得： x≥5.
故答案为：C.
【分析】由二次根式有意义的核心条件，确定被开方数必须非负；把代数式x 5代入条件，列出一元一次不等式；通过移项求解不等式，得到自变量x的取值范围，匹配对应选项.
3．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：选项 A：÷===3，计算正确；
选项 B：===13≠17，计算错误；
选项 C：完全平方公式展开，=++=2++3=5+≠5，计算错误；
选项 D：=2×3=6≠，计算错误。
故答案为：A.
【分析】由二次根式除法运算法则验证 A 选项；先计算根号内平方和，再开算术平方根验证 B 选项；由完全平方和公式展开含根式的平方，合并化简验证 C 选项；由二次根式乘法法则，先算再乘系数验证 D 选项；对比结果，选出计算无误的选项.
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意完整条件：CA=AD，CB=BE，即A是CD中点，B是CE中点。
∴AB是△CDE的中位线，
∴AB=DE。
已知DE=26m，
代入计算： AB=×26=13 .
故答案为：B.
【分析】由CA=AD、CB=BE，判定点A、B分别为CD、CE两条边的中点；由三角形中位线定义，确定线段AB是△CDE的中位线；由中位线长度等于第三边一半的定理，代入DE=26直接算出AB长度.
5．【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象可知，这一天气温最高的时刻是14时．
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：选项 A：AB∥CD，则∠ABC+∠BCD=180 ，又∠ABC=∠ADC，可得∠ADC+∠BCD=180 ，推出AD∥BC；两组对边分别平行，四边形ABCD是平行四边形.
选项 B：OA=OC，OB=OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定.
选项 C：AD∥BC，AB=CD，一组对边平行、另一组对边相等，无法判定平行四边形，反例：等腰梯形满足该条件但不是平行四边形.
选项 D：AB=CD，AD=BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形五条判定定理，依次核对四个选项给出的条件；A 利用平行线同旁内角互补推导两组对边平行完成判定；B 直接匹配 “对角线互相平分” 判定定理；C 识别该条件存在反例等腰梯形，不满足判定要求；D 直接匹配 “两组对边分别相等” 判定定理；筛选出无法判定的选项.
7．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：选项 A：k= 1<0，因此y随x的增大而减小，该结论错误；
选项 B：令y<0，即 x+3<0，移项得 x< 3，两边同乘 1变号，解得x>3，结论正确；
选项 C：直线y= x+3与y= x的k值均为 1，斜率相等、截距不等，两直线互相平行，结论正确；
选项 D：k=-1<0，b=3>0，直线经过一、二、四象限，不经过第三象限，结论正确.
故答案为：A.
【分析】由一次函数y=kx+b中k、b的符号，先判断增减性，验证 A；由y<0列出一元一次不等式，解不等式验证 B；由两条直线斜率k相等、截距不等则平行的规律，验证 C；由k<0、b>0确定直线经过的象限，验证 D；筛选出表述错误的选项.
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=×46 =23 ，
∴∠BAD=180 ∠ABC=180 46 =134 .
∵EF垂直平分BC，
∴EB=EC，即△EBC为等腰三角形，
∴∠ECB=∠EBC=23 .
菱形对角线BD是对称轴，
∴△ABE △CBE，
∴AE=CE，
结合EB=EC，
得AE=EB，△ABE为等腰三角形，
∴∠EAB=∠EBA=23 .
∴∠DAE=∠BAD ∠EAB=134 23 =111 .
故答案为：C.
【分析】由菱形性质，先求出对角线平分内角的度数、邻角互补得到∠BAD；由线段垂直平分线性质得到EB=EC，推出底角∠ECB=∠EBC；由菱形对角线的轴对称性，证明△ABE与△CBE全等，得到AE=EB；根据等腰三角形两底角相等得到∠EAB=23 ，用∠BAD减去∠EAB求出∠DAE.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：在Rt△ECD中，
DE===
由题意EF=DE=，
∵EF=EC+CF，
∴变形得CF=EF EC，
代入数值： CF= 1
故答案为：A.
【分析】由正方形边长与中点定义，得到直角三角形两条直角边EC=1、CD=2；由勾股定理算出圆半径DE，结合同圆半径相等得到EF=DE；由线段和差EF=EC+CF，变形求出CF；利用黄金分割比例验证结果，确认答案正确.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；勾股树模型
【解析】【解答】解：设Rt△ABC中，∠ACB=90 ，分别以AC、BC、AB为边向外作正方形ACMN、正方形BCGF、正方形ABED.
∵ 四边形ACMN、BCGF均为正方形
∴ CM=AC，CG=BC，(∠ACM=∠BCG=90 )
∵(∠ACB=90 )，点C处周角为(360 )
∴(∠MCG=360 90 90 90 =90 )，
即△CMG为直角三角形，S3= CM CG= AC BC，
又∵S△ABC= AC BC
∴S3=S△ABC.
过点N作NH⊥AD，交DA的延长线于点H；过点C作CQ⊥AB于点Q.
∵ 四边形ACMN是正方形
∴ AN=AC，∠CAN=90
∵ ∠NAH+∠HAC=90 ，∠CAQ+∠HAC=90
∴ ∠NAH=∠CAQ（同角的余角相等）
在△ANH和△ACQ中：
∠H=∠AQC=90 ，∠NAH=∠CAQ，AN=AC.
∴ △ANH △ACQ (AAS)，
得对应高 NH=CQ
∵ 四边形ABED是正方形
∴ AD=AB
S1= AD NH， S△ABC= AB CQ
∵ 底AD=AB，高NH=CQ，
∴S1=S△ABC.
同理，过点F作FP⊥BE，交EB的延长线于点P，可证△BFP △BCQ (AAS)，得高FP=CQ；
又底BE=AB，
因此 S2= BE FP= AB CQ，
即S2=S△ABC。
由 S1=S△ABC，S2=S△ABC，S3=S△ABC，
可得 S1=S2=S3.
故答案为：D.
【分析】先从直角顶点处的△CMG入手，由正方形的直角性质与周角定义，判定其为直角三角形，直接通过面积公式推出它与原直角三角形面积相等；对斜边上的两个阴影三角形，通过作高构造直角三角形，利用 “同角的余角相等” 推导等角，结合 AAS 证明三角形全等，得到对应高相等；结合正方形边长相等的性质，依据 “等底等高的三角形面积相等”，推出两个斜边上的阴影三角形都与原三角形面积相等；以原直角三角形面积为中间等量，得到三个阴影三角形面积相等的结论.
11．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：已知原一次函数解析式：y=2x+3 ，
根据一次函数上下平移 “上加下减” 规则，
向下平移 2 个单位，常数项减2，
即y=2x+3 2 ，
化简得：y=2x+1.
故答案为：y=2x+1.
【分析】一次函数图象上下平移遵循 “上加下减” 的规律，上下平移只改变解析式中的常数项，自变量x的系数（斜率）保持不变。原函数为y=2x+3，图象向下平移 2 个单位，只需在常数项3的基础上减去2，即可得到平移后的函数解析式.
12．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
13．【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
【分析】过点作于点E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E，再根据平行四边形面积即可求出答案.
14．【答案】0
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：从数轴看出 b<0=b+∣b a∣ ∣a∣
∵b a<0，
则|b a|= (b a)=a b；
∵a>0，则|a|=a；
代入得：b+a b a=0
故答案为：0.
【分析】先根据数轴上a、b的位置判断正负与大小关系，再利用二次根式性质=|x|将根式转化为绝对值；接着依据绝对值内代数式的正负去掉绝对值符号，最后合并同类项完成化简。 由数轴可得：b<015．【答案】6
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：小正方形ABCD边长3：SABCD=3×3=9；
大正方形BEFG边长4：SBEFG=4×4=16；
总面积：9+16=25；
① 左上角△DGC：底4 3=1，高3；
S△DGC=×3×1=1.5，
② 左下角△ABD：底3，高3；
S△ABD=×3×3=4.5；
③ 右下角△BEF：底4，高4；
S△BEF=×4×4=8；
空白总面积：1.5+4.5+8=6+8=14；
S△BDF=两个正方形总面积 三块空白面积；
S△BDF=25 14=12；
H为DF中点，BH是△BDF的中线，中线分三角形为面积相等两部分：
S阴影=S△BDF=×12=6.
故答案为：6.
【分析】先算出两个正方形总面积，减去外围三个空白三角形面积，得到△BDF的面积；再根据三角形中线平分面积，H是DF中点，阴影面积是△BDF面积的一半。由正方形面积公式，求全部空白三角形面积，求△BDF面积减半得阴影面积.
16．【答案】解：原式=+-3
=4-7-3
=-6.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；二次根式的除法
【解析】【分析】本题是二次根式混合运算，分为三部分分步计算：第一部分利用二次根式除法法则计算÷；第二部分套用平方差公式(a b)(a+b)=a2 b2展开计算；第三部分根据二次根式性质=|a|化简；最后将三部分结果合并，完成整式加减。由二次根式乘除法则、平方差公式、化简性质分步运算，再合并常数得到最终结果.
17．【答案】（1）解：观察图 1，阴影正方形位于4×4的方格中，每个小正方形边长为 1，因此外围大正方形面积为 4×4=16。
阴影正方形四周有 4 个全等的直角三角形，每个三角形的两条直角边长分别为 1 和 3，
单个直角三角形面积 =×1×3=，
4 个三角形总面积 =4×=6.
因此阴影正方形面积： S=16 6=10.
设正方形边长为a，由正方形面积公式S=a2，
结合算术平方根定义得： a==.
（2）解：利用勾股定理，取直角边长为 1 和 2 的直角三角形，斜边即为√5。在方格中依次截取对应线段，首尾相连，即可作出边长为的正方形。
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1) 由网格小正方形边长为 1，确定外围规则大正方形的面积；由阴影四周直角三角形的格点直角边长，计算四个三角形的总面积；由割补法（大面积减小面积）求出阴影正方形面积；再由正方形面积与边长的关系，结合算术平方根求出边长.
(2) 由勾股定理逆向拆分，将无理数边长转化为两个整数的平方和，确定对应直角三角形的直角边长度；由网格格点构造对应斜边，利用 “横纵交换” 的格点位移保证邻边垂直，依次首尾连接得到符合要求的正方形.
18．【答案】（1）解：已知一次函数的图象经过点 A(2，3)，将 x=2， y=3 代入解析式： 3=×2+b ，
计算得 3=1+b，
解得 b=2.
因此一次函数的解析式为：.
（2）解：先求直线与x轴交点B的坐标：令y=0，代入解析式0=x+2
解得 x= 4，即点B坐标为 ( 4， 0)，
设点C坐标为 (x， 0)，点C在x轴上，因此△ABC的底边BC的长度为 |x ( 4)|=|x+4|；
点A纵坐标为3，即△ABC中BC边上的高为3.
由三角形面积公式 S=×底×高，结合S△ABC=3，列方程：×|x+4|×3=3
化简得 |x+4|=2，分两种情况：
当 x+4=2 时，x= 2；
当 x+4= 2 时，x= 6。
因此点C的坐标为 ( 2， 0) 或 ( 6， 0).
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】 (1) 由一次函数图象经过已知点A的条件，将点坐标代入含参数的函数解析式，解一元一次方程求出参数b，得到完整的一次函数解析式；
(2) 由x轴上点的纵坐标为0的特征，代入解析式求出交点B的坐标；由点C在x轴上的条件，用横坐标差的绝对值表示底边BC的长度，以点A的纵坐标为三角形的高，结合三角形面积公式列绝对值方程，分类求解得到点C的两个坐标.
19．【答案】（1）解：
根据二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于 0，因此对
列不等式组：，
解得 a≥21 且 a≤21，
因此 a=21.
将a=21代入b的表达式，得：b=0+0+16=16，
由AB∥OC，OC在x轴上，可知AB为水平线段，A(0，12)，
因此B点纵坐标与A点相同，即c=12，
综上，B点坐标为(21， 12)，C点坐标为(16， 0).
（2）解：时，，此时；时，，此时，.
动点P从A(0，12)出发，沿AB以每秒 2 个单位长度向右运动，运动时间为t秒， 因此P点坐标为 (2t， 12)（0≤t≤）.
动点Q从C(16，0)出发，沿CO以每秒 1 个单位长度向左运动， 因此Q点坐标为 (16 t， 0)（0≤t≤16）。 结合P的停止时间，t的取值范围为 0≤t≤10.5.
由C(16，0)、B(21，12)，根据勾股定理（两点间距离公式）：
CB===13.
当PQ=CB=13时，由两点间距离公式：
PQ==.
令PQ=13，列方程：
=13.
两边平方得：
(3t 16)2+144=169.
整理得 (3t 16)2=25，开平方得两种情况：
情况 1：3t 16=5 解得 3t=21，t=7，符合0≤t≤10.5.
此时P(2×7， 12)=(14， 12)，Q(16 7， 0)=(9， 0).
情况 2：3t 16= 5 解得 3t=11，t=113，符合0≤t≤10.5.
此时，.
综上，时，，此时；时，，此时，.
【知识点】解一元一次不等式组；勾股定理；平面直角坐标系的构成；四边形-动点问题
【解析】【分析】(1) 由二次根式 “被开方数非负” 的定义出发，发现两个被开方数互为相反数，推出二者只能同时为 0，进而锁定a的唯一取值；代入计算得到b的值；再由 “平行于 x 轴的直线纵坐标处处相等”的坐标规律，结合A点坐标确定B点纵坐标，最终得到两点坐标.
(2) 由动点的运动参数（起点、速度、方向），将 “动态的运动过程” 转化为 “含t的静态坐标代数式”，完成动中取静的转化；由勾股定理算出定线段CB的长度，同时观察到PQ与CB的竖直高度一致，将 “斜边相等” 的条件简化为 “水平距离相等”，降低计算难度；最后通过绝对值方程分类讨论，得到两个符合运动范围的解，回代坐标式得到最终结果.
20．【答案】（1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是矩形
∴ ∠DAB=∠B=90°，AD∥BC
∵ AE 平分∠DAB
∴ ∠BAE=45°
∴ △ABE 是等腰直角三角形，AB=BE
∵ F 为 AE 中点
∴ BF⊥AE
（2）解：过点F作FG⊥AB于点G.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D=∠DAB=90 ，即AD⊥AB，
∴ FG∥AD，结合AB∥CD，可得四边形ADFG是矩形，
因此 FG=AD，AG=DF.
∵F是DE的中点，DE=4，
∴ DF=DE=2，
∴ AG=2。
∵ ∠ABF=45 ，FG⊥AB，
∴ △BGF是等腰直角三角形，
∴ FG=BG。
设AB=x，由 (1) 知AE=AB=x， 则 BG=AB AG=x 2，
∴ FG=x 2，即 AD=x 2。
在Rt△ADE中，∠D=90 ，
由勾股定理： AD2+DE2=AE2
代入AD=x 2，DE=4，AE=x，
(x 2)2+42=x2
展开化简： x2 4x+4+16=x2 4x+20=0
解得 x=5。
∴ AB=5，AD=5 2=3，
由矩形性质得 BC=AD=3，EC=CD DE=AB DE=5 4=1.
在Rt△BCE中，∠C=90 ，
由勾股定理： BE===.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)由矩形对边平行的性质推出内错角相等；结合角平分线定义，通过等量代换得到△ABE的两个底角相等；最后依据 “等角对等边” 证明AE=AB.
(2) 过F作AB的垂线，构造矩形与等腰直角三角形；利用线段中点性质得到AG的长度，由45 角推出等腰直角三角形直角边相等，得到AD与AB的数量关系；结合 (1) 的结论与勾股定理建立方程，解出矩形的长与宽；最后在Rt△BCE中用勾股定理求出BE的长度.
21．【答案】（1）；
（2）解：
==
由二次根式性质=|a|，且>0，
因此===.
（3）；
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；化简含绝对值有理数；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】（1）对于点(， )： 横坐标x=>0，纵坐标保持不变， 其 “横负纵变点” 为(， )；
对于点( ， 2)： 横坐标x= <0，纵坐标取相反数，原纵坐标 2的相反数为2， 其 “横负纵变点” 为.
故答案为：(， )；.
（3）设t=a 1，由1≤a<2得0≤t<1，则a=t2+1.
，
，
由0≤<1，可知<0，开方后去绝对值得：
，，
两式相加得
=2，
代入m的表达式并分母有理化：
m= ×2==.
点M(， m)即M(，)，
横坐标x=<0，根据 “横负纵变点” 定义，纵坐标取相反数，得y'=， 因此点M'的坐标为 (，).
故答案为：；.
【析分】(1)解题基本思路为读懂新定义坐标变换规则，分类判断横坐标正负再处理纵坐标，由题干给出的 “横负纵变点” 分段定义出发，到分别判断两个已知点横坐标正负，再对应执行纵坐标不变 、 取反操作，最终得到变换后的点坐标.
(2)模仿材料一的配方法化简双重根式，逆向拆分常数构造完全平方，由双重二次根式的化简模板出发，到拆分常数7为5+2匹配完全平方公式，再利用=|a|去绝对值化简，得到最简根式结果.
(3)先换元配方化简含参双重根式求出m，再套用坐标新定义求变换点，由参数a的取值范围限定根式符号出发，到换元配平方消去内层根号，合并化简算出m，再结合点M横坐标正负套用坐标变换规则，最终得到M'坐标.
22．【答案】（1）解：∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEB=90 .
在Rt△ABE中，AB=10，BE=1，
由勾股定理： AE====3，
已知AE=EC，
∴ EC=3，
BC=BE+EC=1+3=4
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，
∴ AD=4.
（2）解：平行四边形ABCD，AB∥CD，
∴AB∥DH，∠B=∠ECH；
∵EG⊥AB，AB∥DH，
∴EH⊥DH，∠AGE=∠EHC=90 ；
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90 ，即∠AEG+∠GEC=90 ，∠CEH+∠GEC=90 ，
根据同角的余角相等，得∠AEG=∠CEH；
∵AE=EC，
在△AGE和△EHC中：
∠AGE=∠EHC，∠AEG=∠CEH，AE=EC.
∴△AGE △EHC (AAS).
由△AGE △EHC，得对应边相等： AG=EH=3，GE=CH=1.
∵EG⊥AB，
∴△AGE为直角三角形，
在Rt△AGE中，由勾股定理：AE==
∵AE=EC，
∴EC=.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线BD与AC互相平分，又F是BD的中点，
∴F也是AC的中点。
以E为坐标原点，BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系：
E(0，0)，A(0，)，C(，0)；
∵F是AC中点，由中点坐标公式得：，
由∠CEH=∠GAE，△EHC为直角三角形，EH=3，CH=1，
可得H点坐标：水平分量：=，竖直分量：=， 即 H（，）.
由两点间距离公式（勾股定理）：
FH====.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】(1) 利用直角三角形勾股定理求高，结合AE=EC算出底边BC，再用平行四边形对边相等转化AD；由AE⊥BC得到直角三角形条件出发，到代入AB、BE算出AE，结合AE=EC求出BC，最后由平行四边形性质AD=BC得到AD长度.
(2)①利用平行线的垂直传递性推导直角相等，结合同角的余角相等得到等角，搭配AE=EC用 AAS 证全等；由平行四边形AB∥CD推出双直角相等，再由垂直关系推导余角相等得到一组对应角，结合已知等边，完成 AAS 全等证明.
②先由全等转化线段，用勾股定理求AE，再结合平行四边形对角线中点性质，通过建系用坐标法求线段长；由全等三角形对应边相等得到GE、EH长度，在直角三角形中算出AE即EC的长，由平行四边形对角线互相平分确定F为AC中点，最后建立坐标系用两点间距离公式（勾股定理）求出FH.
23．【答案】（1）解：∵ 点E在BC的中垂线上，
∴ EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴ ∠EBC=∠ECB.
∵ △ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90 ，
∴ ∠ACB=∠BAC=45 ，即∠ECB=45 ，
∴ ∠EBC=45 ，
∴∠BEC=180 45 45 =90 ，即BE⊥AC.
已知∠BCG=15 ，
∴∠ECG=∠ECB ∠BCG=45 15 =30 .
在Rt△GEC中，∠GEC=90 ，∠ECG=30 ，EG=，
由tan∠ECG=，得： EC===3，
∵ 等腰直角三角形ABC中，BE⊥AC，
∴ E是AC中点，AC=2EC=6.
由勾股定理，AB2+BC2=AC2，又AB=BC，
∴ 2AB2=36，
解得AB=.
（2）证明：∵ E在BC中垂线上，
∴ EB=EC，∠EBC=∠ECB。
∵ ∠ECB=∠ACB ∠ACE=45 ∠ACE，
∴ ∠EBC=45 ∠ACE。
∵ AC平分∠ECF，
∴ ∠ACE=∠ACF，
∴ ∠BCF=∠ACB+∠ACF=45 +∠ACE。
又∠ABG=∠ABC ∠EBC=90 (45 ∠ACE)=45 +∠ACE，
∴ ∠ABG=∠BCF。
在△ABG和△BCF中：
AB=BC，∠ABG=∠BCF，BG=CF.
∴ △ABG △BCF (SAS)，
得AG=BF，∠BAG=∠CBF。
∵ △ABC是等腰直角三角形，H是AC中点，
∴ BH=AH=CH，BH⊥AC，∠HBC=∠HCB=45 .
∠HBG=∠HBC ∠EBC=45 (45 ∠ACE)=∠ACE， ∠HCF=∠ACF=∠ACE，
∴ ∠HBG=∠HCF。
在△HBG和△HCF中：
BH=CH，∠HBG=∠HCF，BG=CF.
∴ △HBG △HCF (SAS)，
得HG=HF，∠BHG=∠CHF。
∵ BH⊥AC，
∴ ∠BHC=90 ，
即∠BHG+∠GHC=90 ，
∴ ∠CHF+∠GHC=∠GHF=90 ，
∴ △GHF是等腰直角三角形，
∴GF=HG。
∵ BF=BG+GF，结合AG=BF，BG=CF，
∴AG=CF+HG.
（3）解：∵ E在BC的中垂线上，D是BC中点，
∴ 直线DE是BC的中垂线，为定直线；
DE⊥BC，结合AB⊥BC，得DE∥AB.
∵ D是BC中点，DE∥AB，
由平行线分线段成比例得：N是AC中点，为定点.
取BE中点G，由中点轨迹性质：定点B与定直线上动点E的中点G，轨迹为平行于DE的定直线.
当AG垂直于G的轨迹直线时，AG取得最小值（垂线段最短），此时AG∥BC，G的纵坐标与A相同.
已知AB=，则BC=，AC=4，N为AC中点，AN=NC=2。
由G是BE中点，结合AG最小时的位置，可得E到BC的距离为2AB=， EN的长度为.
∵ AB∥EN，AB与EN均垂直于BC，
∴ 四边形AENB是直角梯形。 上底AB=，下底EN=，梯形的高为BC方向的水平距离.
由梯形面积公式：
SAENB=×高=×2=.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；多边形的面积
【解析】【分析】(1)利用垂直平分线性质得等腰三角形，结合等腰直角三角形角度推导出直角，再用三角函数求边长，最后用勾股定理算AB；由线段垂直平分线性质出发，到推导△EBC为等腰直角三角形，再结合已知角度在直角三角形中求出EC，最后由等腰直角三角形三边关系算出AB.
(2)先通过角度推导证第一组全等得到AG=BF，再连接斜边中线证第二组全等推出等腰直角三角形，最后等量代换得到线段和结论；由已知的角平分线、垂直平分线性质出发，到推导等角证明△ABG △BCF，再结合等腰直角三角形斜边中线性质证明△HBG △HCF，推出等腰直角△GHF得到2HG的线段，最终通过线段和完成结论证明.
(3)先确定N为定点、G的轨迹为定直线，由垂线段最短找到AG最小值的位置，再用梯形面积公式计算；由E在定直线上运动出发，到推导G点的轨迹为平行直线，结合垂线段最短确定AG最小时E的位置，再识别四边形为直角梯形，代入上下底和高计算面积.
1 / 1广东省珠海市香洲区珠海市九洲中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题
1． 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：选项 A：，被开方数50含能开方的因数25，不是最简二次根式；
选项 B：，被开方数5不含分母，且没有能开得尽方的因数，符合最简二次根式要求；
选项 C：，被开方数含有分母，不是最简二次根式；
选项 D：，被开方数12含能开方的因数4，不是最简二次根式.
故答案为：B.
【分析】由最简二次根式的两条判定标准，依次核对四个选项；对 A、D，分解被开方数，找出平方因数化简，判定不满足条件；对 C，观察被开方数存在分母，直接判定不满足条件；对 B，同时满足两条判定条件，确定为最简二次根式.
2． 函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：函数y=的被开方数为x 5，
因此列不等式： x 5≥0 ，
解得： x≥5.
故答案为：C.
【分析】由二次根式有意义的核心条件，确定被开方数必须非负；把代数式x 5代入条件，列出一元一次不等式；通过移项求解不等式，得到自变量x的取值范围，匹配对应选项.
3． 下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：选项 A：÷===3，计算正确；
选项 B：===13≠17，计算错误；
选项 C：完全平方公式展开，=++=2++3=5+≠5，计算错误；
选项 D：=2×3=6≠，计算错误。
故答案为：A.
【分析】由二次根式除法运算法则验证 A 选项；先计算根号内平方和，再开算术平方根验证 B 选项；由完全平方和公式展开含根式的平方，合并化简验证 C 选项；由二次根式乘法法则，先算再乘系数验证 D 选项；对比结果，选出计算无误的选项.
4． 如图，为了测量池塘边A、B两地之间的距离，在的同侧取一点C，连接并延长至点D，连接并延长至点E，使得，．若测得，则A、B间的距离为（　　）m
A．52 B．13 C．18 D．20
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意完整条件：CA=AD，CB=BE，即A是CD中点，B是CE中点。
∴AB是△CDE的中位线，
∴AB=DE。
已知DE=26m，
代入计算： AB=×26=13 .
故答案为：B.
【分析】由CA=AD、CB=BE，判定点A、B分别为CD、CE两条边的中点；由三角形中位线定义，确定线段AB是△CDE的中位线；由中位线长度等于第三边一半的定理，代入DE=26直接算出AB长度.
5．如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是（　　）
A．0时 B．4时 C．14时 D．24时
【答案】C
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由函数图象可知，这一天气温最高的时刻是14时．
故答案为：C
【分析】根据函数图象信息即可求出答案.
6． 如图，在四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：选项 A：AB∥CD，则∠ABC+∠BCD=180 ，又∠ABC=∠ADC，可得∠ADC+∠BCD=180 ，推出AD∥BC；两组对边分别平行，四边形ABCD是平行四边形.
选项 B：OA=OC，OB=OD，对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定.
选项 C：AD∥BC，AB=CD，一组对边平行、另一组对边相等，无法判定平行四边形，反例：等腰梯形满足该条件但不是平行四边形.
选项 D：AB=CD，AD=BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可判定.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形五条判定定理，依次核对四个选项给出的条件；A 利用平行线同旁内角互补推导两组对边平行完成判定；B 直接匹配 “对角线互相平分” 判定定理；C 识别该条件存在反例等腰梯形，不满足判定要求；D 直接匹配 “两组对边分别相等” 判定定理；筛选出无法判定的选项.
7． 对于一次函数，下列结论错误的是（　　）
A．y随x的增大而增大 B．当时，
C．直线与直线平行 D．函数的图象不经过第三象限
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：选项 A：k= 1<0，因此y随x的增大而减小，该结论错误；
选项 B：令y<0，即 x+3<0，移项得 x< 3，两边同乘 1变号，解得x>3，结论正确；
选项 C：直线y= x+3与y= x的k值均为 1，斜率相等、截距不等，两直线互相平行，结论正确；
选项 D：k=-1<0，b=3>0，直线经过一、二、四象限，不经过第三象限，结论正确.
故答案为：A.
【分析】由一次函数y=kx+b中k、b的符号，先判断增减性，验证 A；由y<0列出一元一次不等式，解不等式验证 B；由两条直线斜率k相等、截距不等则平行的规律，验证 C；由k<0、b>0确定直线经过的象限，验证 D；筛选出表述错误的选项.
8． 如图，是菱形的对角线，作的垂直平分线分别交、于点E、F，连接、，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=×46 =23 ，
∴∠BAD=180 ∠ABC=180 46 =134 .
∵EF垂直平分BC，
∴EB=EC，即△EBC为等腰三角形，
∴∠ECB=∠EBC=23 .
菱形对角线BD是对称轴，
∴△ABE △CBE，
∴AE=CE，
结合EB=EC，
得AE=EB，△ABE为等腰三角形，
∴∠EAB=∠EBA=23 .
∴∠DAE=∠BAD ∠EAB=134 23 =111 .
故答案为：C.
【分析】由菱形性质，先求出对角线平分内角的度数、邻角互补得到∠BAD；由线段垂直平分线性质得到EB=EC，推出底角∠ECB=∠EBC；由菱形对角线的轴对称性，证明△ABE与△CBE全等，得到AE=EB；根据等腰三角形两底角相等得到∠EAB=23 ，用∠BAD减去∠EAB求出∠DAE.
9． 摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点E，以点E为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点F，过点F作，交的延长线于点G，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：在Rt△ECD中，
DE===
由题意EF=DE=，
∵EF=EC+CF，
∴变形得CF=EF EC，
代入数值： CF= 1
故答案为：A.
【分析】由正方形边长与中点定义，得到直角三角形两条直角边EC=1、CD=2；由勾股定理算出圆半径DE，结合同圆半径相等得到EF=DE；由线段和差EF=EC+CF，变形求出CF；利用黄金分割比例验证结果，确认答案正确.
10． 就实证科学而言，宇宙这部著作是用数学语言写成的．其中勾股定理是我们的祖先在“立竿见影，以正农时”，探索天地相对运动周期时捕捉到的数学原理．它所蕴含的“天道之数”，被人们用以作为沟通天地、与自然对话的凭借，最早被“放之四海”，构筑起中华文明的大厦．如图，在中，，以其三边为边分别向外作正方形，连接，，，设，，的面积分别是，，，则下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；正方形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-AAS；勾股树模型
【解析】【解答】解：设Rt△ABC中，∠ACB=90 ，分别以AC、BC、AB为边向外作正方形ACMN、正方形BCGF、正方形ABED.
∵ 四边形ACMN、BCGF均为正方形
∴ CM=AC，CG=BC，(∠ACM=∠BCG=90 )
∵(∠ACB=90 )，点C处周角为(360 )
∴(∠MCG=360 90 90 90 =90 )，
即△CMG为直角三角形，S3= CM CG= AC BC，
又∵S△ABC= AC BC
∴S3=S△ABC.
过点N作NH⊥AD，交DA的延长线于点H；过点C作CQ⊥AB于点Q.
∵ 四边形ACMN是正方形
∴ AN=AC，∠CAN=90
∵ ∠NAH+∠HAC=90 ，∠CAQ+∠HAC=90
∴ ∠NAH=∠CAQ（同角的余角相等）
在△ANH和△ACQ中：
∠H=∠AQC=90 ，∠NAH=∠CAQ，AN=AC.
∴ △ANH △ACQ (AAS)，
得对应高 NH=CQ
∵ 四边形ABED是正方形
∴ AD=AB
S1= AD NH， S△ABC= AB CQ
∵ 底AD=AB，高NH=CQ，
∴S1=S△ABC.
同理，过点F作FP⊥BE，交EB的延长线于点P，可证△BFP △BCQ (AAS)，得高FP=CQ；
又底BE=AB，
因此 S2= BE FP= AB CQ，
即S2=S△ABC。
由 S1=S△ABC，S2=S△ABC，S3=S△ABC，
可得 S1=S2=S3.
故答案为：D.
【分析】先从直角顶点处的△CMG入手，由正方形的直角性质与周角定义，判定其为直角三角形，直接通过面积公式推出它与原直角三角形面积相等；对斜边上的两个阴影三角形，通过作高构造直角三角形，利用 “同角的余角相等” 推导等角，结合 AAS 证明三角形全等，得到对应高相等；结合正方形边长相等的性质，依据 “等底等高的三角形面积相等”，推出两个斜边上的阴影三角形都与原三角形面积相等；以原直角三角形面积为中间等量，得到三个阴影三角形面积相等的结论.
11． 将一次函数的图象向下平移2个单位，得到另一个函数的图象，这个函数的解析式为：　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：已知原一次函数解析式：y=2x+3 ，
根据一次函数上下平移 “上加下减” 规则，
向下平移 2 个单位，常数项减2，
即y=2x+3 2 ，
化简得：y=2x+1.
故答案为：y=2x+1.
【分析】一次函数图象上下平移遵循 “上加下减” 的规律，上下平移只改变解析式中的常数项，自变量x的系数（斜率）保持不变。原函数为y=2x+3，图象向下平移 2 个单位，只需在常数项3的基础上减去2，即可得到平移后的函数解析式.
12．若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】设多边形的边数为N，根据题意，得
（N－2） 180＝3×360，
解得N＝8．
则这个多边形的边数是8．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．N边形的内角和是（N－2） 180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
13．四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，变形后，若矩形的面积是12，则平行四边形的面积是 　 　．
【答案】6
【知识点】含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：过点作于点E，
∵，
∴，
∵，
∴．
故答案为：6．
【分析】过点作于点E，根据含30°角的直角三角形性质可得B'E，再根据平行四边形面积即可求出答案.
14． 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简　 　．
【答案】0
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：从数轴看出 b<0=b+∣b a∣ ∣a∣
∵b a<0，
则|b a|= (b a)=a b；
∵a>0，则|a|=a；
代入得：b+a b a=0
故答案为：0.
【分析】先根据数轴上a、b的位置判断正负与大小关系，再利用二次根式性质=|x|将根式转化为绝对值；接着依据绝对值内代数式的正负去掉绝对值符号，最后合并同类项完成化简。 由数轴可得：b<015． 如图，点，，在同一条直线上，正方形，的边长分别为，，为线段的中点，则图中阴影部分的面积是　 　．
【答案】6
【知识点】三角形的面积；正方形的性质
【解析】【解答】解：小正方形ABCD边长3：SABCD=3×3=9；
大正方形BEFG边长4：SBEFG=4×4=16；
总面积：9+16=25；
① 左上角△DGC：底4 3=1，高3；
S△DGC=×3×1=1.5，
② 左下角△ABD：底3，高3；
S△ABD=×3×3=4.5；
③ 右下角△BEF：底4，高4；
S△BEF=×4×4=8；
空白总面积：1.5+4.5+8=6+8=14；
S△BDF=两个正方形总面积 三块空白面积；
S△BDF=25 14=12；
H为DF中点，BH是△BDF的中线，中线分三角形为面积相等两部分：
S阴影=S△BDF=×12=6.
故答案为：6.
【分析】先算出两个正方形总面积，减去外围三个空白三角形面积，得到△BDF的面积；再根据三角形中线平分面积，H是DF中点，阴影面积是△BDF面积的一半。由正方形面积公式，求全部空白三角形面积，求△BDF面积减半得阴影面积.
16． 计算：．
【答案】解：原式=+-3
=4-7-3
=-6.
【知识点】平方差公式及应用；二次根式的性质与化简；二次根式的混合运算；二次根式的除法
【解析】【分析】本题是二次根式混合运算，分为三部分分步计算：第一部分利用二次根式除法法则计算÷；第二部分套用平方差公式(a b)(a+b)=a2 b2展开计算；第三部分根据二次根式性质=|a|化简；最后将三部分结果合并，完成整式加减。由二次根式乘除法则、平方差公式、化简性质分步运算，再合并常数得到最终结果.
17． 观察图1，每个小正方形的边均为1．可以得到每个小正方形的面积为1．
（1）图中阴影部分的面积S是多少？阴影部分正方形的边长a是多少？
（2）请你利用图2在的方格内作出边长为的正方形．
【答案】（1）解：观察图 1，阴影正方形位于4×4的方格中，每个小正方形边长为 1，因此外围大正方形面积为 4×4=16。
阴影正方形四周有 4 个全等的直角三角形，每个三角形的两条直角边长分别为 1 和 3，
单个直角三角形面积 =×1×3=，
4 个三角形总面积 =4×=6.
因此阴影正方形面积： S=16 6=10.
设正方形边长为a，由正方形面积公式S=a2，
结合算术平方根定义得： a==.
（2）解：利用勾股定理，取直角边长为 1 和 2 的直角三角形，斜边即为√5。在方格中依次截取对应线段，首尾相连，即可作出边长为的正方形。
【知识点】运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】(1) 由网格小正方形边长为 1，确定外围规则大正方形的面积；由阴影四周直角三角形的格点直角边长，计算四个三角形的总面积；由割补法（大面积减小面积）求出阴影正方形面积；再由正方形面积与边长的关系，结合算术平方根求出边长.
(2) 由勾股定理逆向拆分，将无理数边长转化为两个整数的平方和，确定对应直角三角形的直角边长度；由网格格点构造对应斜边，利用 “横纵交换” 的格点位移保证邻边垂直，依次首尾连接得到符合要求的正方形.
18． 已知一次函数的图象经过点，与x轴交于点B．
（1）求一次函数的解析式；
（2）点C是x轴上一点，若的面积为3，求点C的坐标．
【答案】（1）解：已知一次函数的图象经过点 A(2，3)，将 x=2， y=3 代入解析式： 3=×2+b ，
计算得 3=1+b，
解得 b=2.
因此一次函数的解析式为：.
（2）解：先求直线与x轴交点B的坐标：令y=0，代入解析式0=x+2
解得 x= 4，即点B坐标为 ( 4， 0)，
设点C坐标为 (x， 0)，点C在x轴上，因此△ABC的底边BC的长度为 |x ( 4)|=|x+4|；
点A纵坐标为3，即△ABC中BC边上的高为3.
由三角形面积公式 S=×底×高，结合S△ABC=3，列方程：×|x+4|×3=3
化简得 |x+4|=2，分两种情况：
当 x+4=2 时，x= 2；
当 x+4= 2 时，x= 6。
因此点C的坐标为 ( 2， 0) 或 ( 6， 0).
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】 (1) 由一次函数图象经过已知点A的条件，将点坐标代入含参数的函数解析式，解一元一次方程求出参数b，得到完整的一次函数解析式；
(2) 由x轴上点的纵坐标为0的特征，代入解析式求出交点B的坐标；由点C在x轴上的条件，用横坐标差的绝对值表示底边BC的长度，以点A的纵坐标为三角形的高，结合三角形面积公式列绝对值方程，分类求解得到点C的两个坐标.
19． 如图，在平面直角坐标系中，，并且a，b满足．动点P从点A出发，在线段上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点C出发在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，？并求出此时P、Q两点的坐标．
【答案】（1）解：
根据二次根式有意义的条件：被开方数必须大于或等于 0，因此对
列不等式组：，
解得 a≥21 且 a≤21，
因此 a=21.
将a=21代入b的表达式，得：b=0+0+16=16，
由AB∥OC，OC在x轴上，可知AB为水平线段，A(0，12)，
因此B点纵坐标与A点相同，即c=12，
综上，B点坐标为(21， 12)，C点坐标为(16， 0).
（2）解：时，，此时；时，，此时，.
动点P从A(0，12)出发，沿AB以每秒 2 个单位长度向右运动，运动时间为t秒， 因此P点坐标为 (2t， 12)（0≤t≤）.
动点Q从C(16，0)出发，沿CO以每秒 1 个单位长度向左运动， 因此Q点坐标为 (16 t， 0)（0≤t≤16）。 结合P的停止时间，t的取值范围为 0≤t≤10.5.
由C(16，0)、B(21，12)，根据勾股定理（两点间距离公式）：
CB===13.
当PQ=CB=13时，由两点间距离公式：
PQ==.
令PQ=13，列方程：
=13.
两边平方得：
(3t 16)2+144=169.
整理得 (3t 16)2=25，开平方得两种情况：
情况 1：3t 16=5 解得 3t=21，t=7，符合0≤t≤10.5.
此时P(2×7， 12)=(14， 12)，Q(16 7， 0)=(9， 0).
情况 2：3t 16= 5 解得 3t=11，t=113，符合0≤t≤10.5.
此时，.
综上，时，，此时；时，，此时，.
【知识点】解一元一次不等式组；勾股定理；平面直角坐标系的构成；四边形-动点问题
【解析】【分析】(1) 由二次根式 “被开方数非负” 的定义出发，发现两个被开方数互为相反数，推出二者只能同时为 0，进而锁定a的唯一取值；代入计算得到b的值；再由 “平行于 x 轴的直线纵坐标处处相等”的坐标规律，结合A点坐标确定B点纵坐标，最终得到两点坐标.
(2) 由动点的运动参数（起点、速度、方向），将 “动态的运动过程” 转化为 “含t的静态坐标代数式”，完成动中取静的转化；由勾股定理算出定线段CB的长度，同时观察到PQ与CB的竖直高度一致，将 “斜边相等” 的条件简化为 “水平距离相等”，降低计算难度；最后通过绝对值方程分类讨论，得到两个符合运动范围的解，回代坐标式得到最终结果.
20． 已知：如图，在矩形中，点E为上一点，平分，点F为的中点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：
∵ 四边形 ABCD 是矩形
∴ ∠DAB=∠B=90°，AD∥BC
∵ AE 平分∠DAB
∴ ∠BAE=45°
∴ △ABE 是等腰直角三角形，AB=BE
∵ F 为 AE 中点
∴ BF⊥AE
（2）解：过点F作FG⊥AB于点G.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠D=∠DAB=90 ，即AD⊥AB，
∴ FG∥AD，结合AB∥CD，可得四边形ADFG是矩形，
因此 FG=AD，AG=DF.
∵F是DE的中点，DE=4，
∴ DF=DE=2，
∴ AG=2。
∵ ∠ABF=45 ，FG⊥AB，
∴ △BGF是等腰直角三角形，
∴ FG=BG。
设AB=x，由 (1) 知AE=AB=x， 则 BG=AB AG=x 2，
∴ FG=x 2，即 AD=x 2。
在Rt△ADE中，∠D=90 ，
由勾股定理： AD2+DE2=AE2
代入AD=x 2，DE=4，AE=x，
(x 2)2+42=x2
展开化简： x2 4x+4+16=x2 4x+20=0
解得 x=5。
∴ AB=5，AD=5 2=3，
由矩形性质得 BC=AD=3，EC=CD DE=AB DE=5 4=1.
在Rt△BCE中，∠C=90 ，
由勾股定理： BE===.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】(1)由矩形对边平行的性质推出内错角相等；结合角平分线定义，通过等量代换得到△ABE的两个底角相等；最后依据 “等角对等边” 证明AE=AB.
(2) 过F作AB的垂线，构造矩形与等腰直角三角形；利用线段中点性质得到AG的长度，由45 角推出等腰直角三角形直角边相等，得到AD与AB的数量关系；结合 (1) 的结论与勾股定理建立方程，解出矩形的长与宽；最后在Rt△BCE中用勾股定理求出BE的长度.
21． 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”．
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简．
材料二：在直角坐标系xOy中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为．
请选择合适的材料解决下面的问题：
（1）点的“横负纵变点”为　 　，点的“横负纵变点”为　 　；
（2）化简：；
（3）已知a为常数，点，且，则　 　，若点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是　 　．
【答案】（1）；
（2）解：
==
由二次根式性质=|a|，且>0，
因此===.
（3）；
【知识点】完全平方公式及运用；分母有理化；化简含绝对值有理数；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】（1）对于点(， )： 横坐标x=>0，纵坐标保持不变， 其 “横负纵变点” 为(， )；
对于点( ， 2)： 横坐标x= <0，纵坐标取相反数，原纵坐标 2的相反数为2， 其 “横负纵变点” 为.
故答案为：(， )；.
（3）设t=a 1，由1≤a<2得0≤t<1，则a=t2+1.
，
，
由0≤<1，可知<0，开方后去绝对值得：
，，
两式相加得
=2，
代入m的表达式并分母有理化：
m= ×2==.
点M(， m)即M(，)，
横坐标x=<0，根据 “横负纵变点” 定义，纵坐标取相反数，得y'=， 因此点M'的坐标为 (，).
故答案为：；.
【析分】(1)解题基本思路为读懂新定义坐标变换规则，分类判断横坐标正负再处理纵坐标，由题干给出的 “横负纵变点” 分段定义出发，到分别判断两个已知点横坐标正负，再对应执行纵坐标不变 、 取反操作，最终得到变换后的点坐标.
(2)模仿材料一的配方法化简双重根式，逆向拆分常数构造完全平方，由双重二次根式的化简模板出发，到拆分常数7为5+2匹配完全平方公式，再利用=|a|去绝对值化简，得到最简根式结果.
(3)先换元配方化简含参双重根式求出m，再套用坐标新定义求变换点，由参数a的取值范围限定根式符号出发，到换元配平方消去内层根号，合并化简算出m，再结合点M横坐标正负套用坐标变换规则，最终得到M'坐标.
22． 如图，在中，于点，，连接交于点．
（1）如图1所示，，，求的值；
（2）如图2所示，是的中点，过点作于点，延长交的延长线于点，连接．
证明：；
当，时，求的长．
【答案】（1）解：∵ AE⊥BC，
∴ ∠AEB=90 .
在Rt△ABE中，AB=10，BE=1，
由勾股定理： AE====3，
已知AE=EC，
∴ EC=3，
BC=BE+EC=1+3=4
∵ 四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，
∴ AD=4.
（2）解：平行四边形ABCD，AB∥CD，
∴AB∥DH，∠B=∠ECH；
∵EG⊥AB，AB∥DH，
∴EH⊥DH，∠AGE=∠EHC=90 ；
∵AE⊥BC，
∴∠AEC=90 ，即∠AEG+∠GEC=90 ，∠CEH+∠GEC=90 ，
根据同角的余角相等，得∠AEG=∠CEH；
∵AE=EC，
在△AGE和△EHC中：
∠AGE=∠EHC，∠AEG=∠CEH，AE=EC.
∴△AGE △EHC (AAS).
由△AGE △EHC，得对应边相等： AG=EH=3，GE=CH=1.
∵EG⊥AB，
∴△AGE为直角三角形，
在Rt△AGE中，由勾股定理：AE==
∵AE=EC，
∴EC=.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，对角线BD与AC互相平分，又F是BD的中点，
∴F也是AC的中点。
以E为坐标原点，BC所在直线为x轴，AE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系：
E(0，0)，A(0，)，C(，0)；
∵F是AC中点，由中点坐标公式得：，
由∠CEH=∠GAE，△EHC为直角三角形，EH=3，CH=1，
可得H点坐标：水平分量：=，竖直分量：=， 即 H（，）.
由两点间距离公式（勾股定理）：
FH====.
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；坐标系中的中点公式
【解析】【分析】(1) 利用直角三角形勾股定理求高，结合AE=EC算出底边BC，再用平行四边形对边相等转化AD；由AE⊥BC得到直角三角形条件出发，到代入AB、BE算出AE，结合AE=EC求出BC，最后由平行四边形性质AD=BC得到AD长度.
(2)①利用平行线的垂直传递性推导直角相等，结合同角的余角相等得到等角，搭配AE=EC用 AAS 证全等；由平行四边形AB∥CD推出双直角相等，再由垂直关系推导余角相等得到一组对应角，结合已知等边，完成 AAS 全等证明.
②先由全等转化线段，用勾股定理求AE，再结合平行四边形对角线中点性质，通过建系用坐标法求线段长；由全等三角形对应边相等得到GE、EH长度，在直角三角形中算出AE即EC的长，由平行四边形对角线互相平分确定F为AC中点，最后建立坐标系用两点间距离公式（勾股定理）求出FH.
23． 在等腰中，，，点是线段的中点，点是线段中垂线上的一点，连接、、、，点是线段上的一点．
（1）如图，当点在边上时，连接，若，，求的长度；
（2）如图，当点在内部时，延长至点，点是线段的中点，连接、、，若平分，，求证：；
（3）如图，当点在外（下方）时，与交于点，连接、、，若，点是线段的中点，当线段取得最小值时，请直接写出四边形的面积．
【答案】（1）解：∵ 点E在BC的中垂线上，
∴ EB=EC（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴ ∠EBC=∠ECB.
∵ △ABC是等腰直角三角形，BA=BC，∠ABC=90 ，
∴ ∠ACB=∠BAC=45 ，即∠ECB=45 ，
∴ ∠EBC=45 ，
∴∠BEC=180 45 45 =90 ，即BE⊥AC.
已知∠BCG=15 ，
∴∠ECG=∠ECB ∠BCG=45 15 =30 .
在Rt△GEC中，∠GEC=90 ，∠ECG=30 ，EG=，
由tan∠ECG=，得： EC===3，
∵ 等腰直角三角形ABC中，BE⊥AC，
∴ E是AC中点，AC=2EC=6.
由勾股定理，AB2+BC2=AC2，又AB=BC，
∴ 2AB2=36，
解得AB=.
（2）证明：∵ E在BC中垂线上，
∴ EB=EC，∠EBC=∠ECB。
∵ ∠ECB=∠ACB ∠ACE=45 ∠ACE，
∴ ∠EBC=45 ∠ACE。
∵ AC平分∠ECF，
∴ ∠ACE=∠ACF，
∴ ∠BCF=∠ACB+∠ACF=45 +∠ACE。
又∠ABG=∠ABC ∠EBC=90 (45 ∠ACE)=45 +∠ACE，
∴ ∠ABG=∠BCF。
在△ABG和△BCF中：
AB=BC，∠ABG=∠BCF，BG=CF.
∴ △ABG △BCF (SAS)，
得AG=BF，∠BAG=∠CBF。
∵ △ABC是等腰直角三角形，H是AC中点，
∴ BH=AH=CH，BH⊥AC，∠HBC=∠HCB=45 .
∠HBG=∠HBC ∠EBC=45 (45 ∠ACE)=∠ACE， ∠HCF=∠ACF=∠ACE，
∴ ∠HBG=∠HCF。
在△HBG和△HCF中：
BH=CH，∠HBG=∠HCF，BG=CF.
∴ △HBG △HCF (SAS)，
得HG=HF，∠BHG=∠CHF。
∵ BH⊥AC，
∴ ∠BHC=90 ，
即∠BHG+∠GHC=90 ，
∴ ∠CHF+∠GHC=∠GHF=90 ，
∴ △GHF是等腰直角三角形，
∴GF=HG。
∵ BF=BG+GF，结合AG=BF，BG=CF，
∴AG=CF+HG.
（3）解：∵ E在BC的中垂线上，D是BC中点，
∴ 直线DE是BC的中垂线，为定直线；
DE⊥BC，结合AB⊥BC，得DE∥AB.
∵ D是BC中点，DE∥AB，
由平行线分线段成比例得：N是AC中点，为定点.
取BE中点G，由中点轨迹性质：定点B与定直线上动点E的中点G，轨迹为平行于DE的定直线.
当AG垂直于G的轨迹直线时，AG取得最小值（垂线段最短），此时AG∥BC，G的纵坐标与A相同.
已知AB=，则BC=，AC=4，N为AC中点，AN=NC=2。
由G是BE中点，结合AG最小时的位置，可得E到BC的距离为2AB=， EN的长度为.
∵ AB∥EN，AB与EN均垂直于BC，
∴ 四边形AENB是直角梯形。 上底AB=，下底EN=，梯形的高为BC方向的水平距离.
由梯形面积公式：
SAENB=×高=×2=.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；多边形的面积
【解析】【分析】(1)利用垂直平分线性质得等腰三角形，结合等腰直角三角形角度推导出直角，再用三角函数求边长，最后用勾股定理算AB；由线段垂直平分线性质出发，到推导△EBC为等腰直角三角形，再结合已知角度在直角三角形中求出EC，最后由等腰直角三角形三边关系算出AB.
(2)先通过角度推导证第一组全等得到AG=BF，再连接斜边中线证第二组全等推出等腰直角三角形，最后等量代换得到线段和结论；由已知的角平分线、垂直平分线性质出发，到推导等角证明△ABG △BCF，再结合等腰直角三角形斜边中线性质证明△HBG △HCF，推出等腰直角△GHF得到2HG的线段，最终通过线段和完成结论证明.
(3)先确定N为定点、G的轨迹为定直线，由垂线段最短找到AG最小值的位置，再用梯形面积公式计算；由E在定直线上运动出发，到推导G点的轨迹为平行直线，结合垂线段最短确定AG最小时E的位置，再识别四边形为直角梯形，代入上下底和高计算面积.
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