资源简介

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专题01 集合、逻辑用语与复数
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
考点01 集合 2026 年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；
2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；
2024年：新课标卷、全国Ⅰ卷、北京卷、天津卷、上海卷；题型包含选择、填空、解答题，为连年必考考点 以交、并、补、子集等基础运算为基础；新定义、点集类创新题占比提升；常结合函数、数列、平面区域跨模块命题，重点考查数形结合，部分试卷设置难度较高的压轴小题与综合大题。
考点02常用逻辑用语 2026年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；2024年：新课标Ⅱ卷、全国甲卷、北京卷、天津卷、上海卷；以选择题为主，部分试卷结合解答题综合设问 核心考查充分必要条件、命题真假与命题否定；素材融合向量、数列、函数、立体几何等知识；新定义题型频繁出现，着重考查逻辑推理能力，题目灵活性较强。
考点03复数 2026年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；2024年：全国甲卷、新课标Ⅱ卷、全国Ⅰ卷、北京卷、天津卷、上海卷；仅考查选择、填空题，部分试卷设置多选题，年年必考 基础考点为复数四则运算、虚部、共轭复数、模长计算；复数几何意义成为考查热点，新增距离、最值类综合小题；整体计算难度适中，注重数形结合思想的运用。
考点01 集合
1．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题可得,又因，
则.
2．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为，则.
3．（2026·全国I卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，，，
即集合，且集合，所以.
4．（2026·全国II卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由题可得，所以
5．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ）
A．若和都有最小值，则有最低点；
B．若有最低点，则和都有最小值；
C．若或有最小值，则有最低点；
D．若有最低点，则或有最小值.
【答案】D
【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可.
【详解】对于A项，取，，取，，
则，；而无最低点，故A错误；
对于B项，取，，取，，
则无最小值，；而有最低点，故B错误；
对于C项，取，，取，，
则无最小值，；
因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误；
对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且，
所以或，
若，则且对任意的，总有，即；
若，同理可知；
所以若有最低点，则或有最小值，故D正确.
故选：D.
6．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再根据集合的交集运算即可解出.
【详解】因为，所以，
故选：D.
7．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解.
【详解】由，则，
集合，
故
故选：D.
8．（2025·全国II卷·高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】求出集合后结合交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：D.
9．（2025·全国I卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【分析】根据补集的定义即可求出．
【详解】因为，所以， 中的元素个数为，
故选：C．
10．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】先以t为变量，分析可知所求集合表示的图形即为平面区域，结合图形分析求解即可.
【详解】对任意给定，则，且，
可知，即，
再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
可知任意两点间距离最大值，
阴影部分面积.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维．使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解．
11．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】直接根据并集含义即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
12．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合交集的概念直接求解即可.
【详解】因为集合，，
所以，
故选：B
13．（2024·全国I卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】化简集合，由交集的概念即可得解.
【详解】因为，且注意到，
从而.
故选：A.
14．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________．
【答案】
【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意.
15．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________.
【答案】
【分析】利用子集的定义求解.
【详解】，，，
集合中所有的元素都在集合中，
集合中的元素在集合中，
.
故答案为：.
16．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________．
【答案】/
【分析】根据补集的含义即可得到答案.
【详解】根据补集的含义知.
故答案为：.
17．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则______．
【答案】
【分析】根据补集的定义可求.
【详解】由题设有，
故答案为：
18．（2025·上海·高考真题）已知集合，，则等于________．
【答案】
【详解】试题分析：
考点：集合运算
【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．
2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．
3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
19．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列．
(1)对于第1项为的K列，写出它的第2项．
(2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由；
(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
【答案】(1)或
(2)不能，理由见解析
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据新定义即可得解；
（2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论；
（3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论.
【详解】（1）根据题目定义可知，或，
若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或；
（2）假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前.
显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的，所以从到必定要向下一项走奇数次.
但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次.
这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中.
（3）法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项，
这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个，
而，因为只能6由2来，3只能由7来，
横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点，
即对于16个，有12个与之相对应，矛盾．
综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列．
法2：假设全体元素构成一个K列，则.
设，.
则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中.
如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目，
所以至多存在一对相邻的项属于.
如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和，
否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时.
从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于；
这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于.
如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况.
这意味着必定存在，使得.
由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）.
但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点，所以，得.
从而有.
这就得到.
再设，.
则同理有.
这意味着.
从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾.
所以由M的全部元素组成的序列都不是K列．
20．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
【答案】(1)不是；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接代入计算和即可；
（2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案；
（3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可.
【详解】（1）（1），，则不是中的元素.
（2）法一：因为，则存在实数使得，且，
当时，，其在上严格单调递增，
当时，，其在上也严格单调递增，
则，则，
令，解得，则，
则.
法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点，
由图知，假设交点分别为，，
联立方程组得
（3）对任意，因为其是偶函数，
则，而，
所以，
所以，因为，则，
所以，所以，
所以当时，，，则，
，则，
而，，
则，则，
所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下：
其中，但其对应的值均未知.
首先说明，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，即，
令，则，
当时，即使让，此时最多7个零点，
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有5个零点，
故此时最多5个零点；
当时，若，此时有3个零点，
若，则，易知此时，
则，所以，而时，，
所以，与矛盾，所以，
则最多在之间取得6个零点，
以及在处成为零点，故不超过9个零点.
综上，零点不超过9个.
21．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．
(1)，求；
(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．
【答案】(1)
(2)证明见详解
(3)
【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解；
（2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性；
（3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解.
【详解】（1）由定义得，.
（2）证明：
必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，，
对任意，若，即，则，
所以，所以对任意，是对称集.
充分性：若对任意，是对称集，
因为对任意，，所以，即①，
又，所以，即②.
由①②得，对任意，，
所以函数是偶函数.
综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证.
（3）因为对于任意，都有，
所以若，则，即若，则，
所以，所以在上单调不减，
所以对任意，恒成立.
当时，显然成立，；
当时，恒成立，令，，
所以在单调递减，单调递增，所以；
当时，恒成立，此时
因为在上单调递减，当时，，
时，，
所以；
综上，.
【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立.
考点02常用逻辑用语
1．（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论.
【详解】由题意，
，是无穷数列，
验证充分性：
当存在常数，使时，
，，
显然成立，
验证必要性：
当，时，此时满足,
假设存在常数，使成立，
当时，，，
此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”，
但不存在这样的固定常数，
∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立，
∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件.
2．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数，，如果满足“”或“”，那么就称和伴随．则当和伴随，则和伴随的充要条件是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设，，，，由条件结合伴随的定义可判断结论.
【详解】设，，，，
则，，
当和伴随，有或，
又，，
若和伴随，则或，
所以和伴随的充要条件是，即.
3．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由，解得：或，
即时，成立，反之不成立，
所以“”是“”的充分而不必要条件.
4．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.
【详解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得，
取，则，充分性成立；
取，，则对任意，一定存在，使得，
取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立；
所以“的值域为”是“对任意，存在，使得”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过判断是否能相互推出，由充分条件与必要条件的定义可得.
【详解】由，则“”是“”的充分条件；
又当时，，可知，
故“”不是“”的必要条件，
综上可知，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
6．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】首先分析出三个向量共面，显然当时，三个向量构成空间的一个基底，则即可分析出正确答案.
【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由能推出，
对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，
则当无法推出，故D错误.
故选：C．
7．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据向量数量积分析可知等价于，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.
故选：B.
8．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
9．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
10．（2024·新课标II卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
11．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”.
(1)判断函数是否具有“性质”；
(2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；
(3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
【答案】(1)没有，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）运用特例法，结合指数函数的单调性进行判断即可；
（2）根据一次函数的单调性，结合“性质”的特性进行求解即可；
（3）根据充要条件的定义，结合偶函数的性质、“性质”的特性进行运算证明即可.
【详解】（1）函数不具有“性质”，理由如下：
例如当时，显然成立，
，根据指数函数的单调性可知，
所以有，这与“性质”矛盾，故函数不具有“性质”；
（2）因为函数具有“性质”，所以取，有，
于是有，
当时，由，
当时，由，
若，若，则有，
取，
此时，但是，不符合“性质”，所以不符合题意，
故，此时，
若时，则，
由，
若时，则，
由，
因此，
综上所述：当且仅当时，满足条件；
（3）充分性：若具有“性质”，则是偶函数.
若存在，，不妨设，
记，即，
因为函数的值域为，
所以，
若，则有，
若，则有，
故对任意，，这与的值域为矛盾，
所以不成立，则有，因此函数是偶函数；
必要性：若是偶函数，则具有“性质”.
当时，因为在上是严格增函数，
所以，
又因为函数是偶函数，
所以由，因此具有“性质”.
所以是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
考点03复数
1．（2026·全国II卷·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
2．（2026·北京·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．8
【答案】A
【详解】由题意，
则.
3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
【答案】B
【分析】先求出复数，再根据复数模的公式即可求出．
【详解】由可得，，所以，
故选：B.
4．（2025·全国II卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由复数除法即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：A.
5．（2025·全国I卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出.
【详解】因为，所以其虚部为1，
故选：C.
6．（2024·北京·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
7．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】先根据共轭复数的定义写出，然后根据复数的乘法计算.
【详解】依题意得，，故.
故选：D
8．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．10 D．
【答案】A
【分析】结合共轭复数与复数的基本运算直接求解.
【详解】由，则.
故选：A
9．（2024·新课标II卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】由复数模的计算公式直接计算即可.
【详解】若，则.
故选：C.
10．（2024·全国I卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
11．（2026·全国I卷·高考真题）（多选）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确.
对于B选项，复数的模，因此，B选项错误.
对于C选项，∵ ，
∴ ，该选项正确.
对于D选项，
∵ 分子，分母，
∴ ，是实数，故，该选项正确.
12．（2026·天津·高考真题）化简__________．
【答案】
【详解】.
13．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________.
【答案】3
【分析】根据复数的几何意义分析求解即可.
【详解】由得复数对应的点的集合为以原点为圆心，2为半径的圆，
因为表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为1，
则的最小值为，
而表示点到圆上一点的距离，且点到圆心的距离为，
则的最小值为，
又因为的最小值与的最小值相同，
所以，，解得.
故答案为：3.
14．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________．
【答案】
【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解.
【详解】先由题得，所以.
故答案为：
15．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________．
【答案】
【分析】先设，利用复数的乘方运算及概念确定，再根据复数的几何意义数形结合计算即可.
【详解】设，
由题意可知，则，
又，由复数的几何意义知在复平面内对应的点在单位圆内部（含边界）的坐标轴上运动，如图所示即线段上运动，
设，则，由图象可知，
所以.
故答案为：
16．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________．
【答案】
【分析】根据复数的除法运算和复数模的计算公式即可.
【详解】，
故．
故答案为：.
17．（2024·上海·高考真题）已知，则_______.
【答案】/
【分析】借助复数的乘法运算与共轭复数定义计算即可得.
【详解】由题意可得，故.
故答案为：.
18．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．
【答案】2
【分析】设且，直接根据复数的除法运算，再根据复数分类即可得到答案.
【详解】设，且.
则，
，，解得，
故答案为：2.
19．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______．
【答案】
【分析】借助复数的乘法运算法则计算即可得.
【详解】.
故答案为：.
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专题01 集合、逻辑用语与复数
考点分类 三年考情（2024-2026） 命题规律
考点01 集合 2026 年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；
2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；
2024年：新课标卷、全国Ⅰ卷、北京卷、天津卷、上海卷；题型包含选择、填空、解答题，为连年必考考点 以交、并、补、子集等基础运算为基础；新定义、点集类创新题占比提升；常结合函数、数列、平面区域跨模块命题，重点考查数形结合，部分试卷设置难度较高的压轴小题与综合大题。
考点02常用逻辑用语 2026年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；2024年：新课标Ⅱ卷、全国甲卷、北京卷、天津卷、上海卷；以选择题为主，部分试卷结合解答题综合设问 核心考查充分必要条件、命题真假与命题否定；素材融合向量、数列、函数、立体几何等知识；新定义题型频繁出现，着重考查逻辑推理能力，题目灵活性较强。
考点03复数 2026年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；2025年：全国Ⅰ/Ⅱ卷、北京卷、天津卷、上海卷；2024年：全国甲卷、新课标Ⅱ卷、全国Ⅰ卷、北京卷、天津卷、上海卷；仅考查选择、填空题，部分试卷设置多选题，年年必考 基础考点为复数四则运算、虚部、共轭复数、模长计算；复数几何意义成为考查热点，新增距离、最值类综合小题；整体计算难度适中，注重数形结合思想的运用。
考点01 集合
1．（2026·天津·高考真题）已知全集，集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·全国I卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·全国II卷·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·上海·高考真题）对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（ ）
A．若和都有最小值，则有最低点；
B．若有最低点，则和都有最小值；
C．若或有最小值，则有最低点；
D．若有最低点，则或有最小值.
6．（2025·北京·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·天津·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·全国II卷·高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025·全国I卷·高考真题）已知集合，，则中元素个数为（ ）
A．0 B．3 C．5 D．8
10．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．（2024·北京·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（2024·天津·高考真题）集合，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2024·全国I卷·高考真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________．
15．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________.
16．（2025·上海·高考真题）已知全集，集合，则_________．
17．（2024·上海·高考真题）设全集，集合，则______．
18．（2025·上海·高考真题）已知集合，，则等于________．
19．（2025·北京·高考真题）已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列．
(1)对于第1项为的K列，写出它的第2项．
(2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由；
(3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列．
20．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合．
(1)若，判断是否是中的元素，请说明理由；
(2)若，求a的取值范围；
(3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点．
21．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域是．对于，定义集合．
(1)，求；
(2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”；
(3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有．
考点02常用逻辑用语
1．（2026·北京·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2026·上海·高考真题）对于任意两个复数，，如果满足“”或“”，那么就称和伴随．则当和伴随，则和伴随的充要条件是（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2026·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域为D，则“的值域为”是“对任意，存在，使得”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025·天津·高考真题）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024·上海·高考真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·北京·高考真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．（2024·全国甲卷·高考真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
9．（2024·天津·高考真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（2024·新课标II卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
11．（2026·上海·高考真题）设是定义在上的函数.定义性质：若对任意，当时，，则称函数具有“性质”.
(1)判断函数是否具有“性质”；
(2)若分段函数具有“性质”，求所有满足条件的实数和的解；
(3)已知的值域为，且在上是严格增函数，证明：是偶函数的充要条件是：具有“性质”.
考点03复数
1．（2026·全国II卷·高考真题）（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·北京·高考真题）已知，，则（ ）
A． B． C．2 D．8
3．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（ ）
A． B． C．4 D．8
4．（2025·全国II卷·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．1
5．（2025·全国I卷·高考真题）的虚部为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
6．（2024·北京·高考真题）已知，则（ ）．
A． B． C． D．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．2
8．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C．10 D．
9．（2024·新课标II卷·高考真题）已知，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
10．（2024·全国I卷·高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2026·全国I卷·高考真题）（多选）设，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2026·天津·高考真题）化简__________．
13．（2026·上海·高考真题）已知，对于所有满足的复数，都有的最小值与的最小值相同，则____________.
14．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则 ________．
15．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是_________．
16．（2025·上海·高考真题）已知复数，其中i为虚数单位，则__________．
17．（2024·上海·高考真题）已知，则_______.
18．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为______．
19．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数______．
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