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3.用公式法求解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
2
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当 2 时,
-b± b -4ac
b -4ac≥0 x= 2a .
2.用公式法解一元二次方程的步骤
用公式法解关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步骤:
①把一元二次方程化为一般形式;
②确定a,b,c的值(要注意符号);
③求出b2-4ac的值;
若 2 -b± b
2-4ac
④ b -4ac≥0,则利用公式x= 求出原方程的解;2a
若b2-4ac<0,则原方程无实根.
例1 用公式法解下列方程.
(1)x2-3x+1=0;(2)x2-12x-4=0.
解析:(1)∵a=1,b=-3,c=1, 2 ,
3± 5 3+ 5 3- 5
∴b -4ac=5 ∴x= 故2 . x1=
, ;
2 x2= 2
(2)∵a=1,b=-12,c=-4,∴b2-4ac=(-12)2-4×1×(-4)=160>0,∴x=
12± 160 12±4 10
2 = 2 =6±2 10
,∴x1=6+2 10,x2=6-2 10.
例2 用公式法解下列方程.
(1)x2-4 3x+10=0;(2)(x+1)(x-1)=22x.
解析:(1)∵a=1,b=-4 3,c=10,b2-4ac=(-4 3)2-4×1×10=8>0,∴x=
-(-43)± 8 43±22
2×1 = 2 =23± 2.∴x1=23+ 2
,x2=23- 2;
(2)原方程可化为x2-22x-1=0.∵a=1,b=-22,c=-1,b2-4ac=(-22)2-4×
( )
1×(-1)=12>0,
- -22 ± 12 22±23
∴x= ,2×1 = 2 =2±3 ∴x1=2+3
,x2=2-3.
例3 解关于x 的方程(m+n)x2+(4m-2n)x+n-5m=0.
解析:(1)当m+n=0且m≠0,n≠0时,n=-m 代入原方程,原方程可化为(4m+2m)x-m-
5m=0.6mx=6m,∵m≠0,解得x=1;
(2)当m+n≠0时,∵a=m+n,b=4m-2n,c=n-5m,∴b2-4ac=(4m-2n)2-4(m+
76
)( ) 2 , 2n-4m± 36m
2 2n-4m±|6m|, , n-5mn n-5m =36m ≥0 ∴x= 2(m+n) = 2(m+n) ∴x1=1x2=m+n .
例4 用公式法解方程:(m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)=4m.
解析:方程整理为m2-4m-21+m2+4m-5-4m=0,∴m2-2m-13=0,∴a=1,b=-2,c=
2
-13,∴b2-4ac=(-2)2
-b± b -4ac -(-2)± 56
-4×1×(-13)=56,∴m= 2a = 2×1 =
2±2 14
=1± 14,∴m1=1+ 14,2 m2=1- 14.
一、选择题
1.方程x2-3=0的根是 ( )
A.x=3 B.x1=3,x2=-3 C.3 D.x1= 3,x2=- 3
2.方程x(x-1)=2的解是 ( )
A.x=-1 B.x=-2 C.x1=-1,x2=2 D.x=1,x2=-2
3.一元二次方程x2+3x-4=0的解是 ( )
A.x1=1,x2=-4 B.x1=-1,x2=4 C.x1=-1,x2=-4 D.x1=1,x2=4
4.一元二次方程x2+22x-6=0的根是 ( )
A.x1=x2= 2 B.x1=0,x2=-22
C.x1= 2,x2=-32 D.x1=- 2,x2=32
5.方程(x-5)(x-6)=x-5的解是 ( )
A.x=5 B.x=5或x=6 C.x=7 D.x=5或x=7
6.已知x2-x-1=0,则-x3+2x2+2012的值为 ( )
A.2011 B.2012 C.2013 D.2014
二、填空题
7.方程x2-4x=0的解是 .
8.方程(x-1)(x+2)(x-3)=0的根是 .
9.方程2x2+4x+1=0的解是x1= ;x2= .
10.若方程x2-m=0的根为整数,则m 的值可以是 .(只填符合条件的一个即可)
11.已知实数x,y 满足(x2+y2)(x2+y2-1)=2,则x2+y2= .
12.已知y=(x-5)(x+2).(1)当x 为 值时,y 的值为0;
(2)当x 为 值时,y 的值为5.
三、解答题
13.用公式法解下列方程.
(1)x2-3x-7=0; (2)x2-5=2(x+1); (3)2x2+ 5x-5=0.
77
14.(1)利用求根公式完成下表:
b2-4ac的符号 x1,x2 的关系
方程 b2-4ac的值
(填>0,=0,<0) (填“相等”“不等”或“不存在”)
x2-2x-3=0
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
(2)请观察上表,结合b2-4ac的符号,归纳出一元二次方程的根的情况;
(3)利用上面的结论解答下题.
当m 取什么值时,关于x 的一元二次方程(m-2)x2+(2m+1)x+m-2=0,
①有两个不相等的实数根;
②有两个相等的实数根;
③没有实数根.
15.(1)利用求根公式计算,结合①②③你能得出什么猜想
①方程x2+2x+1=0的根为x1= ,x2= ,x1+x2= ,
x1·x2= ;
②方程x2-3x-1=0的根为x1= ,x2= ,x1+x2= ,
x1·x2= ;
③方程3x2+4x-7=0的根为x1= ,x2= ,x1+x2= ,
x1·x2= .
(2)利用求根公式计算:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,且b2-4ac≥0)的两根为x1=
,x2= ,x1+x2= ,x1·x2= .
(3)利用上面的结论解决下面的问题:
设x1,x2 是方程2x2+3x-1=0的两个根,根据上面的结论,求下列各式的值:
1 1
①x +
;②x2 21+x2.
1 x2
78 ∠AGB=∠CHD, AC 的对称点是D ,连接 DE,DE 与AC 交于
△AGB 和 △CHD 中, ∠ABG=∠CDH, P,DE⊥AB,PB=PD;DE 的长就是PB+PE
AB=CD, 的最 小 值 3;设 AE =x,AD =2x,DE =
∴△AGB≌△CHD(AAS),∴BG=DH =4, (2x)2-x2= 3x= 3,所 以 x=1,AB=
1
∵∠ABD=30°,∴GL=2BG=2
,∴点G 到 2x=2.
AB 的距离是2.
11.A 12.A 13. 3
14.(1)证明:连接EF,AE.
14.解:四边形BFDE 是菱形,理由:∵AD⊥BD,
∴△ABD 是直角三角形,且 AB 是斜边,∵E
为 的中点, 1AB ∴DE=2AB=BE
,∵四边形
∵点E,F 分别为BC,AC 的中点,∴EF∥AB, ABCD 是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB,
1
EF= AB.又
1
2 ∵AD=2AB
,∴EF=AD.又 1∵F 为DC 中点,E 为AB 中点,∴DF=2DC
,
∵EF∥AD,∴四边形 AEFD 是平行四边形. 1
BE= AB,2 ∴DF=BE
,DF∥BE,∴四边形
∴AF 与DE 互相平分;
(2)解:在Rt△ABC 中,∠ABC=60°,BC=4,E DFBE 是平行四边形,∵DE=EB,∴四边形
1 BFDE 是菱形.为BC 的中点,∴BE=2BC=2
,∠ACB=30°,
15.(1)证明:∵∠ABC=90°,BD 为AC 的中线,
1
∴AB=2BC=2
,∴AB=BE,∴△ABE 为等 1∴BD=2AC
,∵AG∥BD,BD=FG,∴四边形
边三角形,∴AE=BE=2,又∵四边形AEFD BGFD 是平行四边形,∵CF⊥BD,∴CF⊥
是平行四边形,∴DF=AE=2. 1
AG,又∵点 D 是 AC 中 点,∴DF=2AC
,
第三部分 探究先飞
∴BD=DF;
(2)证明:∵BD=DF,∴四边形BGFD 是菱形;
一 特殊平行四边形 (3)解:设GF=x,则 AF=13-x,AC=2x,
∵在 Rt△ACF 中,∠CFA =90°,∴AF2 +
1.菱形的性质与判定 CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=
1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 5,∴四边形BDFG 的周长=4GF=20.
24
7.103 8.1∶ 3 9.5cm 10.4 11.60 2.矩形的性质与判定
12.(3,4) 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.A
13.解:∵∠ABC=120°,∴ ∠BCD = ∠BAD =
34 53
60°;∵菱形ABCD 中,AB=AD,∴△ABD 是 7.5 53 8. 2 9.5.8 10. 2 11.3
等边三角形;又∵E 是AB 边的中点,B 关于 12.12
11


13.解:由矩形的性质可知 OD=OC.又由 OE∶ 14.解:①正确,连接PC,可得PC=EF,PC=PA,
BE=1∶3可知E 是OD 的中点.又因为CE⊥ ∴AP=EF;
OD,根 据 三 线 合 一 可 知 OC=CD,即 OC=
CD =OD,即 △OCD 是 等 边 三 角 形,故
∠CDB=60°.所以∠ADB=30°.又因为CD=
2OF=8,即BD=2OD=2CD=16.
14.解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AD∥BC,DC=
②正确;延长AP,交EF 于点N,则∠EPN=
AB.∴∠DAE=∠AFB.∵DE=DC,∴DE=
∠BAP=∠PCE=∠PFE,可 得 AP⊥EF;
AB.∵DE⊥AG,∴∠DEA=∠ABF=90°.
③正确;∠PFE=∠PCE=∠BAP;④错 误,
∴△ABF≌△DEA.
PD= 2PF= 2CE;⑤正确,PB2+PD2=
15.证 明:在△ADB 和△AEC 中,∵AD =AE,
2PA2.所以正确的有4个:①②③⑤.
∠BAD = ∠CAE,AB =AC.∴ △ADB ≌
15.解:如图,连接CH,
△AEC,∴BD=CE.又∵DE=BC,∴四边形
BCED 是 平 行 四 边 形.∵ ∠BAD = ∠CAE,
∴∠BAD + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC,即
∠DAC= ∠BAE.在 △DAC 和 △EAB 中,
∵DA=EA,∠DAC = ∠EAB,AC =AB.
∴△DAC≌△EAB,∴DC=EB.∴ 四 边 形
∵正方形 ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转
BCED 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩
) 30°
,∴ ∠BCF =30°,则 ∠DCF =60°,在
形 .
CH=CH,
3.正方形的性质与判定 Rt△CDH 和 Rt △CFH 中
, CD=CF,
,
1.D 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C ∴Rt△CDH≌ Rt △CFH ∴ ∠DCH =
1
7.2a 2∶1 8.AC=BD 或AB⊥BC ∠FCH= ∠DCF=30°,在 Rt△CDH 中,2
9.1 10.1 11.2-1 12.5 DH=x,CH=2x,CD= 3x=3,∴DH= 3.
13.解:作NF⊥BC 于F.
二 一元二次方程
1.认识一元二次方程
1.C 2.C 3.D 4.B 5.B 6.D
∵ABCD 是正方形,∴CD=BC=FN,则在 7.x2-5x-4=0 1 -5 -4
Rt△BEC 和 Rt△FMN 中,∠B=∠NFM = 8.(1)m≠±2 (2)m=-2
CE=NM
, 9.①⑥ 10.m=3 11.1 12.2011
90°, ∴Rt△BEC≌ Rt△FMN,
BC=FN, 13.(1)m=4,二次项系数2,一次项系数为5,常数
∴∠MNF=∠MCE=35°,∴∠ANM =90°- 项为11;
∠MNF=55°. (2)m=3或m=2.
12

14.(1)x=0,b=3. 8.x1=1,x2=-2,x3=3
(2)由(1)知a=b=3,∴c=10-6=4,S△ABC= -2+ 2
9.x1= ,
-2- 2
x2=
1 2 2
2×4× 3
2-22=25.
10.4(答案不唯一) 11.2
15.解:把x=a 代入方程,可得:a2-2006a+1=0, 12.(1)x=5或x=-2
∴a2-2006a=-1,a2+1=2006a,∴a2-
3+ 69 3- 69
a2
(
+1 2
) 或x=
2007a=-a-1,∴a2-2007a+ 2 22006=-a-
13.解:(1)在方程x2-3x-7=0中,a=1,b=-3,
2006a a2+1
1+ =-1,即 22006 a -2007a+
2
2006=-1. c=-7.∵b -4ac =9+28=37>0,∴x=
-b± b2-4ac 3± 37 3± 37
2.用配方法求解一元二次方程 2a = 2×1 = ,2 ∴ x1=
1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.B 3+ 37, 3- 37
2 x2=
;
2
7.(1)4 2 (2)9 3 (3)16 4
(2)方程整理得:x2-2x-7=0,这里a=1,
33
8.-4 9.±4 10.-8 11.-1 1 12.4
b=-2,c=-7,∵b2-4ac =4+28=32>0,
13.解:(1)-x2+4x+1=0,x2-4x-1=0,x2- 2± 32
∴x= 2 =1±22
,∴x1=1+22,x2=
4x+22=1+22,(x-2)2=5,x-2=± 5,x1=
;
2+ 5,x2=2- 5;
1-22
2
()2 2 1 , 2 , 2 1
(3)这里a=2,b= 5,c=-5,∵b -4ac=5+
2 3x +3x=22x +x=6x +2x=3
,
- 5±35 5
1 1 2 1 2 1 2 49 40=45>0
,∴ x= ,4 ∴x1=
,
x2 x , , 2+2 + 4 =3+ 4 x+4 =16
x2=- 5.
1 7 3
x+ =± , 4 4 x1=
,
2 x2=-2. 14.解:(1)
14.解:∵a2+b2-4a+6b+13=0,∴a2-4a+4+ b2-4ac的 x1,x2 的关系
b2-4ac
b2+6b+9=0,∴(a-2)2+(b+3)2=0,∴a- 方程 符号(填>0, (填“相等”“不
的值
2=0,b+3=0,∴a=2,b=-3,∴a+b=2- =0,<0) 等”或“不存在”)
3=-1. x2-2x-
16 >0 不等
15.解:(1)由a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0, 3=0
得(
2
a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,又(a- x -2x+ 0 =0 相等
3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0,∴a-3=0, 1=0
2
b-4=0,c-5=0,∴a=3,b=4,c=5; x -2x+ -8 <0 不存在
(2)∵32+42=52,即a2
3=0
+b2=c2,∴△ABC 是
以c为斜边的直角三角形. (2)①当b
2-4ac>0时,方程有两个不相等的实
数根;②当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实
3.用公式法求解一元二次方程
数根;③当b2-4ac<0时,方程没有实数根;
1.D 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C (3)b2-4ac=20m-15,①当原方程有两个不相
7.x1=0,x2=4 等的实数根时,b2-4ac=20m-15>0,即m>
13

3 2且 ; 当原方程有两个相等的实数根 9.6 10.y -13y+4=0≠
4 m 2 ②
11.x1=4,x2=2 12.25或36
时,b2
3
-4ac=20m-15<0,即m= ;4 ③
当原方 13.解:x2-(2k-1)x=-k2+2k+3化为一般形
2
程没有实数根时,2 式为: ( )b -4ac=20m-15<0,即 x - 2k-1x+k
2-2k-3=0,∴a=1,
3 b=-
(2k-1),c=k2-2k-3.∴Δ=b2-4ac=
m<4. [-(2k-1)]2-4×1×(k2-2k-3)=4k2-
15.解:(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系 4k+1-4k2+8k+12=4k+13.
数的相反数,两根之积等于常数项除以二次项 (1)若方程有两个不相等的实数根,则Δ>0,即
系数 ; ; ; ; 3+ 13 13.① -1 -1 -2 1 ② ; 4k+13>0.∴k>- ;2 4
3- 13 7 4 7 (2)若方程有两个相等的实数根,则Δ=0,即;;
2 3 -1
;③- ;3 1
;- ;- ;3 3 13
4k+13=0,∴k=- ;4
()-b+ b
2-4ac 2
2 ;
-b- b -4ac; b;c;
2a 2a -a a (3)若方程没有实数根,则Δ<0,即4k+13<0,
() 3, · 1 1 1
13
3x1+x2=-2 x1 x2=-2.①
∴k<- .
x + =1 x2 4
3 14.解:令A=a2+b2,B=-2c,C=1,Δ=4c2-
x1+x -2 2= =3;xx 1 ②x
2
1 +x 22 =(x1+x2)2- 4(a
2+b2),∵方程有两个相等实数根,∴Δ=0,
1 2 -2 ∴c2=a2+b2,∴△ABC 为直角三角形.
9 1 9 13 15.解:∵实数a,b 是方程x
2-x-1=0的两根,
2x1x2=4-2× -2 =4+1=4. 2 2
∴a+b=1, ,
b a b +a
ab=-1 ∴a +b = ab =
4.用因式分解法求解一元二次方程 (a+b)2-2ab
=-3.
1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B ab
7.2 8.5或-6 9.1 -12 10.x=±3 6.应用一元二次方程
11.(1)换元 转化 (2)x1= 3,x2=- 3 12.0
1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D
13.2028
7.25% 8.-5和7 9.x(x+10)=300 10.16
14.x1=1,x2=-4.
11.13 12.20%
15.解:(1)分解因式得:(x-3)(x+1)=0,x-3=
0,x+1=0,x =3,x =-1;(2)分解因式得: 13.解:(1)设长方形的宽为x m,则长为
12-2x
2 =1 2
(x-1)(x-1+2x)=0,x-1=0,x-1+2x= (6-x)m,根据题意,得x(6-x)=5,即x2-
1
0,x =1,x = . 6x+5=0,x1=1,x1 2 2=5(舍去).∴当长方形的3
宽为1m,长为6-1=5(m)时,面积为5m2.同
5.一元二次方程的根与系数的关系
样,当面积为8m2 时,有x(6-x)=8,即x2-
6x+8=0,x =2,x =4(舍去).∴当长方形的
1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.A 1 2
宽为2m,长为6-2=4m时,面积为8m2;
2 1 10 4
7.k≥-6 8.3 -3 -2 9 ±
3 (2)当面积为10m2 时,x(6-x)=10,即x2-
14

6x+10=0,此时b2-4ac=36-40=-4<0,故 (2)解:∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∵AB=5,
此方程无实数根,所以这样的长方形不存在; AC=4,∴在Rt△ABC 中,BC= AB2-AC2=
(3)设围成的长方形的面积为k,则有x(6-
52-42=3,
1 1
2 ∴CE= AC,BE= BD,∴CE=x)=k,即x -6x+k=0,要使该方程有解,必 2 2
须有(-6)2-4k≥0,即k≤9.∴最大的k 只能 2,∴ 在 Rt△BCE 中,BE = BC2+CE2 =
是9,即最大的面积为9m2,此时x=3m,6- 32+22= 13,∴BD=2BE=2 13.
x=3(m).这时所围成的图形是正方形. 20.(1)用斜边,直角边证明Rt△EDB≌Rt△CDF,
14.解:设这个宽度为xcm,根据题意有:(80- 得到∠CFD=∠B,∠CDF=40°;
2x)(60-2x)=80×60÷2.解这个方程得x1= (2)由Rt△EDB≌Rt△CDF,可得EB=CF,设
10,x2=60.因为截去的小长方形的宽60-2x CF=EB=x,则AC=AF+CF=14+x,AE=
必须大于0,即60-2x>0,亦即x<30,所以 AB-EB =20-x,再 证 明 Rt△ACD ≌
x=10.答:宽度为10cm时,截去的小长方形面 Rt△AED,得AC=AE,即14+x=20-x,x=
积是原来铁片面积的一半. 3.CF 的长为3.
第四部分 新知测效 5 521.(1)5+24=5 24
暑期学情测评(一) () n+1 n+12 n+1+( =(n+1)n+1)2-1 (n+1)2-1
1.C 2.D 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 22.解:(1)①∵x2+x-6=0,∴(x+3)(x-2)=
8.C 9.C 10.C 0,∴x+3=0或x-2=0,解得x1=-3,x2=
11.4+43 12.x≥-3且x≠0 13.4 14.15 2,∴方程 x2+x-6=0不 是“邻 根 方 程”;
15.-3 3 3 1②∵x2-2x+ ,4=0 ∴ x-2 x-2 =0,
16.(0,-3)或(0,3-35)
3 1
17.(1)x =-3,x =1; ∴x- =0或x- =0,解得
3
1 2 2 2 x1=
,
2 x2=
(2)
1
x1= ,
3
2 x2=
; 1 3
2 ,2 ∴
方程x2-2x+ 是“邻根方程”;4=0
(3)x1= 6+2,x2=2- 6; (2)设方程的较小的一根为 x1,则另一根为
(4)x1=5,x2=-3. x1+1,∴x1+x1+1=m-2,x1(x1+1)=
-x2 +5x
18. ,当x=0时,原式=0或当x=1时, , m-3, m-3·m-1x-2 -2m ∴x1= 2 ∴ 2 2 =-2m
,
原式=-4. 解得m=-1或m=-3;
19.(1)证明:∵在四边形 ABCD 中,AD∥BC, (3)设方程的较小的一根为 x1,则另一根为
∴∠DAC= ∠ACB,∠BDA = ∠DBC,∴ 在 b 2
x1+1,∴x1+x1+1=- ,x1(x1+1)= ,
∠DAC=∠ACB,
a a
, -b-a -b-a -b+a 2△AED 和 △CEB 中 ∠BDA=∠DBC, ∴x1 = ,∴ · ,2a 2a 2a =a
AE=CE, ∴b2-a2=8a,∴b2=a2+8a≥0,∴a≥0或
∴△AED≌ △CEB (AAS),∴AD =BC, a≤-8,∵t=2-8a-b2,∴t=2-8a-a2-
∵AD∥BC,∴四边形ABCD 是平行四边形; 8a=-(a+8)2+66,∴当a=-8时,t 有最
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