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4.用因式分解法求解一元二次方程
1.用因式分解法解一元二次方程的步骤
(1)将方程右边化为0;
(2)将方程左边分解为两个一次式的积;
(3)令这两个一次式分别为0,得到两个一元一次方程;
(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.
2.常用的因式分解法
提取公因式法,公式法(平方差公式、完全平方公式),十字相乘法等.
例1 解方程:x(x-1)=2(x-1).
解析:x(x-1)=2(x-1).x(x-1)-2(x-1)=0.(x-1)(x-2)=0,∴x-1=0,x-2=0,
∴x1=1,x2=2.
例2 如果(x2+y2)(x2+y2-2)=3,请你求出x2+y2 的值.
解析:设x2+y2=z,∴z(z-2)=3.整理得:z2-2z-3=0,∴(z-3)(z+1)=0.∴z1=3,z2=
-1.∵z=x2+y2>0,∴z=-1(不合题意,舍去),∴z=3.即x2+y2 的值为3.
一、选择题
1.方程(x-3)(x+2)=1的解为 ( )
A.x=3 B.x=-2 C.x1=3,x2=-2 D.以上结论都不对
2.方程x-2=x(x-2)的解为 ( )
A.x=0 B.x1=0,x2=2 C.x=2 D.x1=1,x2=2
3.如果x2+x-1=0,那么代数式x3+2x2-7的值为 ( )
A.6 B.8 C.-6 D.-8
4.若关于x 的一元二次方程(m-1)x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0,则m 的值等于
( )
A.1 B.2 C.1或2 D.0
(x-2)(若代数式 x-1
)
5. 的值为零,则x 的取值是 (|x|-1
)
A.x=2或x=1 B.x=2且x=1 C.x=2 D.x=-1
6.三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2-12x+35=0的根,则该三角形的周长为
( )
A.14 B.12 C.12或14 D.以上都不对
79
二、填空题
7.已知实数x 满足4x2-4x+1=0,则代数式
1
2x+ 的值为2x .
8.已知y=x2+x-6,当x= 时,y 的值是24.
9.若方程x2+mx+n可以分解成(x-3)与(x+4)的积的形式,则m= ,n= .
10.方程8x2-72=0解为 .
11.阅读材料,解答问题.
材料:为解方程(x2-1)-5(x2-1)+4=0,我们可以将(x2-1)视为一个整体,然后设
(x2-1)=y,
原方程可化为:y2-5y+4=0. ①
解这个方程,得:y1=1,y2=4.
当y1=1时,x2-1=1,即x2=2,∴x=± 2;
当y2=4时,x2-1=4,即x2=5,∴x=± 5.
∴原方程的解为:x1= 2,x2=- 2,x3= 5,x4=- 5.
解答问题:
(1)填空:在由原方程得到①的过程中利用 法,达到了降次的目的,体现 的
数学思想;
(2)方程:x4-x2-6=0的解为 .
12.若方程(2026x)2-2025×2027x-1=0的较大根为a,方程x2-2026x-2027=0的较小根
为b,则(a+b)2027= .
三、解答题
13.已知m,n 都是方程x2+2026x-2027=0的根,试求代数式(m2+2026m-2026)(n2+
2026n+1)的值.
14.解方程:(2x+3)2-25=0.
15.计算下列各题.
(1)x2-2x-3=0; (2)(x-1)2+2x(x-1)=0.
80 ∠AGB=∠CHD, AC 的对称点是D ,连接 DE,DE 与AC 交于
△AGB 和 △CHD 中, ∠ABG=∠CDH, P,DE⊥AB,PB=PD;DE 的长就是PB+PE
AB=CD, 的最 小 值 3;设 AE =x,AD =2x,DE =
∴△AGB≌△CHD(AAS),∴BG=DH =4, (2x)2-x2= 3x= 3,所 以 x=1,AB=
1
∵∠ABD=30°,∴GL=2BG=2
,∴点G 到 2x=2.
AB 的距离是2.
11.A 12.A 13. 3
14.(1)证明:连接EF,AE.
14.解:四边形BFDE 是菱形,理由:∵AD⊥BD,
∴△ABD 是直角三角形,且 AB 是斜边,∵E
为 的中点, 1AB ∴DE=2AB=BE
,∵四边形
∵点E,F 分别为BC,AC 的中点,∴EF∥AB, ABCD 是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB,
1
EF= AB.又
1
2 ∵AD=2AB
,∴EF=AD.又 1∵F 为DC 中点,E 为AB 中点,∴DF=2DC
,
∵EF∥AD,∴四边形 AEFD 是平行四边形. 1
BE= AB,2 ∴DF=BE
,DF∥BE,∴四边形
∴AF 与DE 互相平分;
(2)解:在Rt△ABC 中,∠ABC=60°,BC=4,E DFBE 是平行四边形,∵DE=EB,∴四边形
1 BFDE 是菱形.为BC 的中点,∴BE=2BC=2
,∠ACB=30°,
15.(1)证明:∵∠ABC=90°,BD 为AC 的中线,
1
∴AB=2BC=2
,∴AB=BE,∴△ABE 为等 1∴BD=2AC
,∵AG∥BD,BD=FG,∴四边形
边三角形,∴AE=BE=2,又∵四边形AEFD BGFD 是平行四边形,∵CF⊥BD,∴CF⊥
是平行四边形,∴DF=AE=2. 1
AG,又∵点 D 是 AC 中 点,∴DF=2AC
,
第三部分 探究先飞
∴BD=DF;
(2)证明:∵BD=DF,∴四边形BGFD 是菱形;
一 特殊平行四边形 (3)解:设GF=x,则 AF=13-x,AC=2x,
∵在 Rt△ACF 中,∠CFA =90°,∴AF2 +
1.菱形的性质与判定 CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=
1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 5,∴四边形BDFG 的周长=4GF=20.
24
7.103 8.1∶ 3 9.5cm 10.4 11.60 2.矩形的性质与判定
12.(3,4) 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.A
13.解:∵∠ABC=120°,∴ ∠BCD = ∠BAD =
34 53
60°;∵菱形ABCD 中,AB=AD,∴△ABD 是 7.5 53 8. 2 9.5.8 10. 2 11.3
等边三角形;又∵E 是AB 边的中点,B 关于 12.12
11


13.解:由矩形的性质可知 OD=OC.又由 OE∶ 14.解:①正确,连接PC,可得PC=EF,PC=PA,
BE=1∶3可知E 是OD 的中点.又因为CE⊥ ∴AP=EF;
OD,根 据 三 线 合 一 可 知 OC=CD,即 OC=
CD =OD,即 △OCD 是 等 边 三 角 形,故
∠CDB=60°.所以∠ADB=30°.又因为CD=
2OF=8,即BD=2OD=2CD=16.
14.解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AD∥BC,DC=
②正确;延长AP,交EF 于点N,则∠EPN=
AB.∴∠DAE=∠AFB.∵DE=DC,∴DE=
∠BAP=∠PCE=∠PFE,可 得 AP⊥EF;
AB.∵DE⊥AG,∴∠DEA=∠ABF=90°.
③正确;∠PFE=∠PCE=∠BAP;④错 误,
∴△ABF≌△DEA.
PD= 2PF= 2CE;⑤正确,PB2+PD2=
15.证 明:在△ADB 和△AEC 中,∵AD =AE,
2PA2.所以正确的有4个:①②③⑤.
∠BAD = ∠CAE,AB =AC.∴ △ADB ≌
15.解:如图,连接CH,
△AEC,∴BD=CE.又∵DE=BC,∴四边形
BCED 是 平 行 四 边 形.∵ ∠BAD = ∠CAE,
∴∠BAD + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC,即
∠DAC= ∠BAE.在 △DAC 和 △EAB 中,
∵DA=EA,∠DAC = ∠EAB,AC =AB.
∴△DAC≌△EAB,∴DC=EB.∴ 四 边 形
∵正方形 ABCD 绕点C 按顺时针方向旋转
BCED 是矩形(对角线相等的平行四边形是矩
) 30°
,∴ ∠BCF =30°,则 ∠DCF =60°,在
形 .
CH=CH,
3.正方形的性质与判定 Rt△CDH 和 Rt △CFH 中
, CD=CF,
,
1.D 2.D 3.B 4.A 5.D 6.C ∴Rt△CDH≌ Rt △CFH ∴ ∠DCH =
1
7.2a 2∶1 8.AC=BD 或AB⊥BC ∠FCH= ∠DCF=30°,在 Rt△CDH 中,2
9.1 10.1 11.2-1 12.5 DH=x,CH=2x,CD= 3x=3,∴DH= 3.
13.解:作NF⊥BC 于F.
二 一元二次方程
1.认识一元二次方程
1.C 2.C 3.D 4.B 5.B 6.D
∵ABCD 是正方形,∴CD=BC=FN,则在 7.x2-5x-4=0 1 -5 -4
Rt△BEC 和 Rt△FMN 中,∠B=∠NFM = 8.(1)m≠±2 (2)m=-2
CE=NM
, 9.①⑥ 10.m=3 11.1 12.2011
90°, ∴Rt△BEC≌ Rt△FMN,
BC=FN, 13.(1)m=4,二次项系数2,一次项系数为5,常数
∴∠MNF=∠MCE=35°,∴∠ANM =90°- 项为11;
∠MNF=55°. (2)m=3或m=2.
12

14.(1)x=0,b=3. 8.x1=1,x2=-2,x3=3
(2)由(1)知a=b=3,∴c=10-6=4,S△ABC= -2+ 2
9.x1= ,
-2- 2
x2=
1 2 2
2×4× 3
2-22=25.
10.4(答案不唯一) 11.2
15.解:把x=a 代入方程,可得:a2-2006a+1=0, 12.(1)x=5或x=-2
∴a2-2006a=-1,a2+1=2006a,∴a2-
3+ 69 3- 69
a2
(
+1 2
) 或x=
2007a=-a-1,∴a2-2007a+ 2 22006=-a-
13.解:(1)在方程x2-3x-7=0中,a=1,b=-3,
2006a a2+1
1+ =-1,即 22006 a -2007a+
2
2006=-1. c=-7.∵b -4ac =9+28=37>0,∴x=
-b± b2-4ac 3± 37 3± 37
2.用配方法求解一元二次方程 2a = 2×1 = ,2 ∴ x1=
1.D 2.C 3.C 4.A 5.C 6.B 3+ 37, 3- 37
2 x2=
;
2
7.(1)4 2 (2)9 3 (3)16 4
(2)方程整理得:x2-2x-7=0,这里a=1,
33
8.-4 9.±4 10.-8 11.-1 1 12.4
b=-2,c=-7,∵b2-4ac =4+28=32>0,
13.解:(1)-x2+4x+1=0,x2-4x-1=0,x2- 2± 32
∴x= 2 =1±22
,∴x1=1+22,x2=
4x+22=1+22,(x-2)2=5,x-2=± 5,x1=
;
2+ 5,x2=2- 5;
1-22
2
()2 2 1 , 2 , 2 1
(3)这里a=2,b= 5,c=-5,∵b -4ac=5+
2 3x +3x=22x +x=6x +2x=3
,
- 5±35 5
1 1 2 1 2 1 2 49 40=45>0
,∴ x= ,4 ∴x1=
,
x2 x , , 2+2 + 4 =3+ 4 x+4 =16
x2=- 5.
1 7 3
x+ =± , 4 4 x1=
,
2 x2=-2. 14.解:(1)
14.解:∵a2+b2-4a+6b+13=0,∴a2-4a+4+ b2-4ac的 x1,x2 的关系
b2-4ac
b2+6b+9=0,∴(a-2)2+(b+3)2=0,∴a- 方程 符号(填>0, (填“相等”“不
的值
2=0,b+3=0,∴a=2,b=-3,∴a+b=2- =0,<0) 等”或“不存在”)
3=-1. x2-2x-
16 >0 不等
15.解:(1)由a2+b2+c2-6a-8b-10c+50=0, 3=0
得(
2
a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,又(a- x -2x+ 0 =0 相等
3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0,∴a-3=0, 1=0
2
b-4=0,c-5=0,∴a=3,b=4,c=5; x -2x+ -8 <0 不存在
(2)∵32+42=52,即a2
3=0
+b2=c2,∴△ABC 是
以c为斜边的直角三角形. (2)①当b
2-4ac>0时,方程有两个不相等的实
数根;②当b2-4ac=0时,方程有两个相等的实
3.用公式法求解一元二次方程
数根;③当b2-4ac<0时,方程没有实数根;
1.D 2.C 3.A 4.C 5.D 6.C (3)b2-4ac=20m-15,①当原方程有两个不相
7.x1=0,x2=4 等的实数根时,b2-4ac=20m-15>0,即m>
13

3 2且 ; 当原方程有两个相等的实数根 9.6 10.y -13y+4=0≠
4 m 2 ②
11.x1=4,x2=2 12.25或36
时,b2
3
-4ac=20m-15<0,即m= ;4 ③
当原方 13.解:x2-(2k-1)x=-k2+2k+3化为一般形
2
程没有实数根时,2 式为: ( )b -4ac=20m-15<0,即 x - 2k-1x+k
2-2k-3=0,∴a=1,
3 b=-
(2k-1),c=k2-2k-3.∴Δ=b2-4ac=
m<4. [-(2k-1)]2-4×1×(k2-2k-3)=4k2-
15.解:(1)两根之和等于一次项系数除以二次项系 4k+1-4k2+8k+12=4k+13.
数的相反数,两根之积等于常数项除以二次项 (1)若方程有两个不相等的实数根,则Δ>0,即
系数 ; ; ; ; 3+ 13 13.① -1 -1 -2 1 ② ; 4k+13>0.∴k>- ;2 4
3- 13 7 4 7 (2)若方程有两个相等的实数根,则Δ=0,即;;
2 3 -1
;③- ;3 1
;- ;- ;3 3 13
4k+13=0,∴k=- ;4
()-b+ b
2-4ac 2
2 ;
-b- b -4ac; b;c;
2a 2a -a a (3)若方程没有实数根,则Δ<0,即4k+13<0,
() 3, · 1 1 1
13
3x1+x2=-2 x1 x2=-2.①
∴k<- .
x + =1 x2 4
3 14.解:令A=a2+b2,B=-2c,C=1,Δ=4c2-
x1+x -2 2= =3;xx 1 ②x
2
1 +x 22 =(x1+x2)2- 4(a
2+b2),∵方程有两个相等实数根,∴Δ=0,
1 2 -2 ∴c2=a2+b2,∴△ABC 为直角三角形.
9 1 9 13 15.解:∵实数a,b 是方程x
2-x-1=0的两根,
2x1x2=4-2× -2 =4+1=4. 2 2
∴a+b=1, ,
b a b +a
ab=-1 ∴a +b = ab =
4.用因式分解法求解一元二次方程 (a+b)2-2ab
=-3.
1.D 2.D 3.C 4.B 5.C 6.B ab
7.2 8.5或-6 9.1 -12 10.x=±3 6.应用一元二次方程
11.(1)换元 转化 (2)x1= 3,x2=- 3 12.0
1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.D
13.2028
7.25% 8.-5和7 9.x(x+10)=300 10.16
14.x1=1,x2=-4.
11.13 12.20%
15.解:(1)分解因式得:(x-3)(x+1)=0,x-3=
0,x+1=0,x =3,x =-1;(2)分解因式得: 13.解:(1)设长方形的宽为x m,则长为
12-2x
2 =1 2
(x-1)(x-1+2x)=0,x-1=0,x-1+2x= (6-x)m,根据题意,得x(6-x)=5,即x2-
1
0,x =1,x = . 6x+5=0,x1=1,x1 2 2=5(舍去).∴当长方形的3
宽为1m,长为6-1=5(m)时,面积为5m2.同
5.一元二次方程的根与系数的关系
样,当面积为8m2 时,有x(6-x)=8,即x2-
6x+8=0,x =2,x =4(舍去).∴当长方形的
1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.A 1 2
宽为2m,长为6-2=4m时,面积为8m2;
2 1 10 4
7.k≥-6 8.3 -3 -2 9 ±
3 (2)当面积为10m2 时,x(6-x)=10,即x2-
14

6x+10=0,此时b2-4ac=36-40=-4<0,故 (2)解:∵AC⊥BC,∴∠ACB=90°,∵AB=5,
此方程无实数根,所以这样的长方形不存在; AC=4,∴在Rt△ABC 中,BC= AB2-AC2=
(3)设围成的长方形的面积为k,则有x(6-
52-42=3,
1 1
2 ∴CE= AC,BE= BD,∴CE=x)=k,即x -6x+k=0,要使该方程有解,必 2 2
须有(-6)2-4k≥0,即k≤9.∴最大的k 只能 2,∴ 在 Rt△BCE 中,BE = BC2+CE2 =
是9,即最大的面积为9m2,此时x=3m,6- 32+22= 13,∴BD=2BE=2 13.
x=3(m).这时所围成的图形是正方形. 20.(1)用斜边,直角边证明Rt△EDB≌Rt△CDF,
14.解:设这个宽度为xcm,根据题意有:(80- 得到∠CFD=∠B,∠CDF=40°;
2x)(60-2x)=80×60÷2.解这个方程得x1= (2)由Rt△EDB≌Rt△CDF,可得EB=CF,设
10,x2=60.因为截去的小长方形的宽60-2x CF=EB=x,则AC=AF+CF=14+x,AE=
必须大于0,即60-2x>0,亦即x<30,所以 AB-EB =20-x,再 证 明 Rt△ACD ≌
x=10.答:宽度为10cm时,截去的小长方形面 Rt△AED,得AC=AE,即14+x=20-x,x=
积是原来铁片面积的一半. 3.CF 的长为3.
第四部分 新知测效 5 521.(1)5+24=5 24
暑期学情测评(一) () n+1 n+12 n+1+( =(n+1)n+1)2-1 (n+1)2-1
1.C 2.D 3.D 4.B 5.B 6.B 7.C 22.解:(1)①∵x2+x-6=0,∴(x+3)(x-2)=
8.C 9.C 10.C 0,∴x+3=0或x-2=0,解得x1=-3,x2=
11.4+43 12.x≥-3且x≠0 13.4 14.15 2,∴方程 x2+x-6=0不 是“邻 根 方 程”;
15.-3 3 3 1②∵x2-2x+ ,4=0 ∴ x-2 x-2 =0,
16.(0,-3)或(0,3-35)
3 1
17.(1)x =-3,x =1; ∴x- =0或x- =0,解得
3
1 2 2 2 x1=
,
2 x2=
(2)
1
x1= ,
3
2 x2=
; 1 3
2 ,2 ∴
方程x2-2x+ 是“邻根方程”;4=0
(3)x1= 6+2,x2=2- 6; (2)设方程的较小的一根为 x1,则另一根为
(4)x1=5,x2=-3. x1+1,∴x1+x1+1=m-2,x1(x1+1)=
-x2 +5x
18. ,当x=0时,原式=0或当x=1时, , m-3, m-3·m-1x-2 -2m ∴x1= 2 ∴ 2 2 =-2m
,
原式=-4. 解得m=-1或m=-3;
19.(1)证明:∵在四边形 ABCD 中,AD∥BC, (3)设方程的较小的一根为 x1,则另一根为
∴∠DAC= ∠ACB,∠BDA = ∠DBC,∴ 在 b 2
x1+1,∴x1+x1+1=- ,x1(x1+1)= ,
∠DAC=∠ACB,
a a
, -b-a -b-a -b+a 2△AED 和 △CEB 中 ∠BDA=∠DBC, ∴x1 = ,∴ · ,2a 2a 2a =a
AE=CE, ∴b2-a2=8a,∴b2=a2+8a≥0,∴a≥0或
∴△AED≌ △CEB (AAS),∴AD =BC, a≤-8,∵t=2-8a-b2,∴t=2-8a-a2-
∵AD∥BC,∴四边形ABCD 是平行四边形; 8a=-(a+8)2+66,∴当a=-8时,t 有最
15

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