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第四章过关测试卷
(因式分解)
一、选择题
1.下列式子从左到右的变形是因式分解的是 ( )
A . a 2- 4a + 3 = a -1 a - 3 B . 2a 2- a b -a = a 2a -b
C.8a5b2=4a3·2a2b D. a+b 2=a2+2ab+b2
2.若x2+px-3=(x-1) x+3 ,则常数p 的值是 ( )
A.2 B.-2 C.4 D.-4
3.下列各组多项式中,没有公因式的是 ( )
A.ax-by 和by-ax B.3x-9xy 和6y2-2y
C.x2-y2 和x-y D.a+b和a2-2ab+b2
4.下列各式中,不能用完全平方公式分解因式的是 ( )
A.x2-2xy+y2 B.-x2+2xy-y2 C.-x2-2xy+y2 D.x2+4y2+4xy
5.下列各个多项式中,不能用平方差公式进行因式分解的是 ( )
A.-m2+n2 B.-m2-n2 C.4m2-1 D.(m+n)2-9
6.因式分解“16m2- ”得(4m+5n)(4m-5n),则“ ”是 ( )
A.5n2 B.25n2 C.75n2 D.125n2
7.运用公式a2+2ab+b2= a+b 2 直接对整式4x2-4x+1进行因式分解,公式中的a 可以是
( )
A.2x B.2x2 C.4x D.4x2
8.把多项式2x2-4x+2因式分解的最后结果是 ( )
A.2 x2-2x B.2 x2-2x+1 C.2 x+1 2 D.2(x-1)2
9.对于:①x2
1
-4= x-2 2;②-x2+1= x+1 1-x ;③x3+2x-4=(x+2)2;④ 24x -x+
1= 1
2
2x-1 .
其中因式分解正确的是 ( )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
10.将几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一
个等式,例如,由图1可得等式:x2+ p+q x+pq= x+p x+q .将图2所示的卡片若
干张进行拼图,可以将二次三项式a2+3ab+2b2 分解因式为 ( )
图1 图2
A. a+b 2a+b B. a+b 3a+b C. a+b a+3b D. a+b a+2b
20
二、填空题
11.多项式6a2+5ab3x 的公因式是 .
12.若关于x 的多项式x2+kx+b因式分解为(x-2)2,则k+b的值为 .
13.整式2x2-8xy 分解因式的结果是 .
14.如果x+y=4,xy=3,那么代数式x2y+xy2 的值是 .
15.因式分解:11x2-11= .
16.计算:512-51×98+492= .
17.因式分解4(a-b)2-8a+8b的结果是 .
18.因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,是解决许多数学问题的有力工具,七中育才帅
虎同学设计了一种“因式分解密码”:对多项式2x2y+4xy进行因式分解得到2xy(x+2),若取
x=12,y=7,则2→2,x→12,y→7,x+2→14,可得密码为212714,对于代数式3a3-12a2b+
9ab2,若取a=15,b=4,可能得到的密码是 .(写出满足条件的一个答案即可)
三、解答题
19.因式分解.
(1)a2-25; (2)4x3-4x2y+xy2.
20.因式分解.
(1)2m3-12m2+18m; (2)a2-b2+2a+1.
21.(1)利用分解因式计算:1.22×9-1.32×4;
(2)已知x2+x-1=0,求x3+x2-x+3的值.
22.已知:整式A=x(x+3)+5,整式B=ax-1.
(1)若A+B 是完全平方式,求a 的值;
(2)若A-B 可以分解为(x-1)(x-6),求a.
21
23.观察下列算式:
22-12=(2-1)(2+1)=2+1;
32-22=(3-2)(3+2)=3+2;
43-32=(4-3)(4+3)=4+3;
……
(1)可以得到:152-142= ( )+( );
(2)可以发现: n+1 2-n2= ( )+( );
(3)请你证明你的发现.
24.教科书中这样写道:“形如a2±2ab+b2 的式子称为完全平方式”,如果一个多项式不是完全
平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个
项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方法.
配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因
式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值、最小值等问题.
例如:分解因式:x2+2x-3
解:原式= x2+2x+1 -1-3= x+1 2-4= x+1+2 x+1-2 = x+3 (x-1)
再如:求代数式x2+2x-3的最小值.
解:原式= x2+2x+1 -1-3= x+1 2-4
又∵ x+1 2 是一个非负数,
∴ x+1 2≥0.
∴ x+1 2-4≥-4.
可知当x=-1时,x2+2x-3有最小值,最小值是-4.
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:x2-4x-5= ;(直接写出结果)
当x= 时,多项式x2-4x-5有最小值,这个最小值是 ;
(2)利用配方法,已知a,b,c为△ABC 的三条边,a2+5b2+c2-4ab-6b-10c+34=0,求
△ABC 的周长.
22第一部分 回溯精学 17.解:(1)在 Rt△CDG 中,CD= DG
2+CG2 =
102+242=26(米);
八年级上册 (2)∵CE⊥GB,AB⊥GB,∴∠BAC=∠ECA=
45°,∴∠BCA=90°-45°=45°,∴BC=AB=
八年级上册过关测试卷 36米,∴BG=BC+24=60米,如图,过 D 作
1.D 2.D 3.C 4.D 5.D 6.A 7.D 8.B DH⊥AB 于点H,∵DG⊥GB,CE⊥GB,∴四
1 边形BHDG 是矩形,∴BH=DG=10米,DH=
9.a ≥-4 10.79
分 11.(200 3+100 5)
BG=60米,AH=36-10=26(米),在Rt△ADH 中,
(
12.2 2 4 2)n 13.57.5° AD DH2 AH2 2 2 = + = 60+26=2 1069(米).
解:( 2 2× 3 2 314. 1) = = ;
3 3 3 3× 3 9
(2)
1 1 2+ 3
+ = +
2- 3 3- 2 (2- 3)(2+ 3)
3+ 2
(
=2+ 3+ 3+ 2=
3- 2)(3+ 2) 18.解:(1)(5,2)不是“平衡数对”;
2+2 3+ 2; (2)(8.5,2.5);
( ) 1 115 803 ∵ 2024 - 2023 = , (3)m= ,n= .
2024+ 2023 33 33
1 19.【新知应用】35° 40°;
2025- 2024= .又∵ 2025+
2025+ 2024 【尝试探究】证明:如图,延长CD 到点E,使得
1
2024> 2024+ 2023,∴ < DE=BC,连 接 AE,∴ ∠ADC+ ∠ADE =
2025+ 2024
180°,∵∠B+∠ADC=180°,∴∠B=∠AED,
1
,即 2025- 2024< 2024-
2024+ 2023 AB=AD
,
在 △ABC 和 △ADE 中, ∠B=∠AED,
2023.
, , BC=ED
,
x=2 x=2
15.解:(1) (2)=-1 =1 ∴△ABC≌△ADE(SAS),∴∠ACB=∠E,y y
:( ,16.解 1)87.5 88 40; AC =AE ∴ ∠ACD = ∠E
,∴ ∠ACD =
(2)九年级的成绩更好,因为两个年级的平均数 ∠ACB,∴CA 平分∠BCD;
相同,而九年级的成绩的中位数和众数均大于
八年级;
(3)
6
600×20+800×40% =180+320=
500(人). 【拓展应用】解:CA 平分∠BCD,理由如下:
1


如图,延长 DE 到点F,使得 EF=BC,连接 20.解:∵AB=AC,∠C=70°,∴∠ABC=∠C=
AF,AD.∴∠AED+∠AEF=180°,∵∠B+ 70°,∵AB=AC,AE 是中线,∴AE⊥BC,即
∠AED=180°,∴∠B=∠AEF,∵AB=AE, ∠AEB=90°.∴ ∠BAE =90°-70°=20°.
∴△ABC≌△AEF(SAS),∴AC=AF,∠ACB= ∵∠ABC=70°,BF 是 ∠ABC 的 平 分 线,
∠F,∵BC+DE=CD,BC=EF,∴CD=FD, ∴∠CBF=35°.∵ ∠1= ∠CBF + ∠BEA,
AC=AF, ∴∠1=35°+90°=125°.
在△ACD 和△AFD 中, AD=AD,∴△ACD≌ 21.(1)二 (2)略
CD=FD, 22.(1)证 明:∵BD 是 △ABC 的 角 平 分 线,
△AFD(SSS),∴∠ACD=∠F,∴∠ACD= ∴∠CBD=∠EBD.∵DE∥BC,∴∠CBD=
∠ACB,∴CA 平分∠BCD. ∠EDB,∴∠EBD=∠EDB;
(2)解:CD =ED.理 由 如 下:∵AB =AC,
∴∠C=∠ABC.∵DE∥BC,∴∠ADE=∠C,
∠AED=∠ABC,∴∠ADE=∠AED,∴AD=
AE,∴AC-AD=AB-AE,即CD=BE.由(1)
得∠EBD=∠EDB,∴BE=ED,∴CD=ED.
20.解:(1)y=x,y=x-1;
23.(() , 1
)AB=6;
2 ①把x=-1代入y=|x|-1得y=0
(2)∠CDE=45°.
∴a=0,故答案为:0;②图略;
24.解:(1)ED=EB,理由如下,∵△CDE 是等边三
(3)②;(4)点C 的坐标为(0,5)或(0,-3)或 0, 角形,∴∠CDE=∠ECD=60°,∵∠BAC=
17 , 7 60°,∴∠ACD=30°,∠B=30°,则或 0 - . ∠ADC=5 5
90°,∴∠EDB=30°,∴∠EDB=∠B,∴ED=
八年级下册 EB;
(2)ED=EB 成立,理由如下:
第一章过关测试卷 取AB 的中点O,连接OC,EO,如图,
(三角形的证明及其应用)
1.B 2.A 3.C 4.B 5.B 6.C 7.B
8.D 9.B 10.A ∵ ∠ACB =90°,∠A =60°,∴OC =OA,
11.22 12.120cm2 13.45° 14.8 15.9 ∴△ACO 为等边三角形,∴CA=CO=BO,
16.4 17.线段的垂直平分线的性质定理的逆定理 ∠ACO =60°,∵ △CDE 是 等 边 三 角 形,
18.14 ∴∠DCE=60°,CD=CE,∵∠ACD+∠DCO=
BD=CD, ∠DCO+∠OCE=60°,∴∠ACD=∠OCE,则
19.证 明:在 △ADB 和 △ADC 中, AB=AC, △ACD≌△OCE(SAS),∴∠COE=∠A=60°,
AD=AD, ∴∠BOE=60°,∵CO = BO,OE = OE,
∴△ADB≌△ADC(SSS),∴∠BAD=∠CAD, ∴△COE≌△BOE(SAS),∴EC=EB,∴ED=
∴AD 是∠BAC 的平分线. EB;
2



(3)取AB 的中点O,连接OC,EO,EB,如图, 22.(1)k=1,m=1 (2)9 (3)x<3
23.(1)a=50-2b,15;
(2)12≤b≤16
24.(1)厨具店在该买卖中赚了1400元;
由(2)得△ACD≌△OCE,∴∠COE=∠A= (2)共有三种进货方案:①购买电饭煲23台,购
60°,∴ ∠BOE =60°,同 理 可 证,△COE ≌ 买电压锅27台;②购买电饭煲24台,购买电压
△BOE,∴EC=EB,∴ED=EB,∵EH⊥AB, 锅26台;③购买电饭煲25台,购 买 电 压 锅
∴DH=BH,∵GE∥AB,∴∠G=180°-∠A= 25台;
120°,∠GCD=∠GCE+60°=∠CDA+60°, (3)购买电饭煲25台,购买电压锅25台时,该厨
∴∠GCE=∠CDA,∴△CEG≌△DCO(AAS), 具店赚钱最多.
∴CG=DO,设 CG=a,则 AG=5a,OD=a,
, 第三章过关测试卷∴AC=OA=OB=4a ∵OB=OD +DH +
(图形的平移与旋转)
3
BH,即4a=a+2DH,∴DH= ,2a ∵AH=
1.A 2.D 3.D 4.B 5.C 6.A 7.D
3 6
AO+OD+DH,即3=4a+a+ a,∴a= ,2 13 8.D 9.D 10.D
11.林(答案不唯一)6 12.80° 13.60°即CG=13. 1
14.3第二章过关测试卷 17.(22024,22024)
(不等式与不等式组)
18.解:(1)图略;点B1 的坐标为(1,0);
1.A 2.C 3.C 4.A 5.A 6.A 7.B (2)图略.
8.A 9.B 10.B 19.证明:∵△AGB 与△CGD 关于点G 中心对称,
11.x≥-1 12.4 13.x≤3 14.6≤a<8 ∴BG=DG,AG=CG,∵AE=CF,∴AG-AE=
15.四
11 ,
16.8 17.-1≤b≤2 18.a≤- CG-CF ∴EG=FG,又∵∠DGE=∠BGF,4
∴△DGE≌△BGF(SAS),∴BF=DE.
19.(1)
2
x>-3
(2)-1≤x<5 20.解:(1)补全图形如下:
20.(1)x<4 (2)
8
-1≤x< 数轴略3
21.(1)AB=(m+1)-(2-m)=2m-1;
() 12 ∵BC 与AB 的差不小于 ,2 ∴BC-AB≥ (2)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠BAC=
1,∵BC=2-m-(2 9-4m
)=3m-7,AB= 60°,AB=AC.∵线段AD 绕点A 顺时针旋转
60°,得到线段AE,∴∠DAE=60°,AE=AD.
, 1 132m-1 ∴3m-7-(2m-1)≥ ,∴m≥ ,2 2 m ∴ ∠BAD + ∠EAB = ∠BAD + ∠DAC.
的最小整数值为7. ∴∠EAB=∠DAC.在△EAB 和△DAC 中,
3

AB=AC, AB=AC,
∠EAB=∠DAC,∴△AEB≌△ADC(SAS); △BAD 和 △CAE 中, ∠BAD=∠CAE,
AE=AD, AD=AE,
(3)解:如图, ∴△BAD≌△CAE(SAS),∴∠ACE=∠B=
60°,BD=CE,∴BC=BD+CD=CE+CD,
∴AC=BC=CE+CD;故答案为:60°,AC=
CD+CE;
(2)∠ACE=45°,BD2+CD2=2AD2,理由如
∵∠DAE=60°,AE=AD,∴△EAD 为等边三 下:由(1)得,△BAD≌△CAE,∴BD=CE,
角形.∴∠AED =60°,∵ △AEB≌ △ADC, ∠ACE=∠B=45°,∴∠DCE=90°,∴CE2+
∴∠AEB=∠ADC=105°.∴∠BED=∠AEB- CD2=ED2,在 Rt△ADE 中,AD2+AE2=
∠AED=45°. ED2,又AD=AE,∴BD2+CD2=2AD2.
21.(1)A(-2,0),B(3,0),C(0,2),D(5,2);
第四章过关测试卷
( 52)存在,P(0, )4 . (因式分解)
22.(1)解:△CDE 是等边三角形,证明:∵将线段
1.A 2.A 3.D 4.C 5.B 6.B 7.A
CD 绕点C 按顺时针方向旋转60°后得到CE,
8.D 9.D 10.D 11.a
∴∠ECD=60°,CE=CD,∴△CDE 是等边三
12.0 13.2x(x-4y) 14.12
角形;
15.11(x+1)(x-1) 16.4
(2)证明:∵△ABC 是等边三角形,∴∠B=
17.4(a-b)(a-b-2) 18.315311(答案不唯一)
∠ACB=60°,AC=BC,∴∠ECD=∠ACB= 19.(1)(a+5)(a-5) (2)x(2x-y)2
60°,∴∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD,即 20.(1)2m(m-3)2 (2)(a+b+1)(a-b+1)
∠ACE = ∠BCD,在 △ACE 和 △BCD 中, 21.(1)6.2 (2)3
CE=CD, 22.(1)a=1或a=-7 (2)a=10
∠ACE=∠BCD,∴△ACE≌△BCD(SAS), 23.(1)15,14 (2)n+1,n
AC=BC, (3)证明:(n+1)2-n2=(n+1-n)(n+1+n)=
∴ ∠EAC = ∠B =60°,∵ ∠BAC =60°, 2n+1=(n+1)+n.
∴∠EAC=∠CAD,∴AC 平分∠BAE; 24.解:(1)x2-4x-5=(x+1)(x-5),x2-4x-
( S 33)解:∵ △ACD = ,又∵△ACE≌△BCD, 5=x
2-4x+4-9=(x-2)2-9,∵(x-2)2 是
S△ACE 2
一个非负数,∴(x-2)2≥0.∴(x-2)2-9≥
, S△ACD 3, AD 3∴S△ACE=S△BCD ∴S =
,
2 ∴BD =2 -9.可知当x=2时,x
2-4x-5有最小值,这
△BCD
AD 个最小值是-9
;故答案为:(x+1)(x-5),2,
∴ 的值为
3
DB 2. -9;
23.解:(1)∵在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=60°, (2)∵a,b,c为△ABC 的三条边,a2+5b2+c2-
∴∠BAC=∠DAE=60°,∴∠BAC-∠DAC= 4ab-6b-10c+34=0,∴a2+4b2-4ab+b2-
∠DAE - ∠DAC,即 ∠BAD = ∠CAE,在 6b+9+c2-10c+25=0,∴(a-2b)2+(b-3)2+
4



a-2b=0, a=6, 8.B 9.D 10.B
(c-5)2=0,∴ b-3=0,∴ b=3,∴△ABC 11.1800° 12.4 13.18 22 14.②③④
c-5=0, c=5,
15.AB=CD(答案不唯一) 16. 10
的周长为6+3+5=14. 17.(3,1),(5,3),(-1,1) 18.3
19.(1)60° (2)AD∥EF 理由略
第五章过关测试卷
( ) 20.(1)证 明:∵四 边 形分式与分式方程 ABCD 为 平 行 四 边 形,
∴AD∥BC,AD =BC,∴∠DAC=∠ACB,
1.A 2.C 3.B 4.B 5.D 6.B 7.C ∴∠EAD=∠FCB,在△ADE 和△CBF 中,
8.C 9.C 10.C AE=CF,
11.x≥-1且x≠2 12.m+1 13.1 14.乙每 ∠EAD=∠FCB,∴△ADE≌△CBF(SAS);
小时比 甲 多 做 个 300 2486 15. = +20 AD=CB,x x+0.1
(2)∵ △ADE ≌ △CBF,∴ ∠E = ∠F,
16.x-1 17.6 18.9999
∴ED∥BF.
19.(1)2a-2 (2)ab-b2
21.证明:(1)∵∠A=∠F,∴DE∥BC,∵∠1=
20.解:任意报一个a 的值,小明都可以用这个数加
∠2,且∠1=∠DMF,∴∠DMF=∠2,∴DB∥
上1,马上说出这个代数式的值;理由:
EC,则四边形BCED 为平行四边形;
2a+4 1 12 + 2-a ÷ a-2 + a =a (-4 2)解:∵BN 平 分 ∠DBC,∴ ∠DBN =
( ) , , , 2a+2 1 2 ∠CBN ∵EC∥DB ∴ ∠CNB = ∠DBN
(a+2)( )-
·( )
a-2 a-2 a-2 +a= a-2- ∴∠CNB=∠CBN,∴CN=BC=DE=2.
1 ·( ) 1 ·( ) 22.(1)证 明:∵四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,a-2 a-2 +a=a-2 a-2 +a=
∴OA=OC,OB=OD,∵BE=FD,∴OB-
1+a.
BE=OD-FD,∴OE=OF,又∵OA=OC,
21.(1)x=-2 (2)无解
∴四边形AECF 是平行四边形;
22.(1)
2
()x+1 2x=-3
(3)m=-3 (2)解:∵S△ABE =2,BE =EF,∴S△AEF =
1 6×8 6 S△ABE=2
,∵四 边 形 AECF 是 平 行 四 边 形,
23.(1)(6-1+ )7 ÷ 7 =8 1 1 1
∴S△CFO=
1 n(n+2) n 2
S△CEF=2S△AEF=2×2=1.
(2)(n-1+ )n+1 ÷ n+1 =
n+2 23.解:(1)∵将 ABCD 沿过点A 的直线l折叠,
24.(1)一件A 型丝绸的进价为500元,一件B 型丝 使点 D 落到AB 边上的点D'处,∴∠DAE=
绸的进价为400元; ∠D'AE,∠DEA=∠D'EA,∠D=∠AD'E,
(2)①m 的取值范围为:16≤m≤25且 m 为整 ∵DE∥AD',∴∠DEA=∠EAD',∴∠DAE=
数;②销售这批丝绸的最大利润为12500元. ∠EAD'= ∠DEA = ∠D'EA,∴ ∠DAD'=
∠DED',∴四 边 形 DAD'E 是 平 行 四 边 形,
第六章过关测试卷
∴DE=AD',∵四边形ABCD 是平行四边形,(平行四边形)
∴AB∥DC,AB=DC,∴CE∥D'B,CE=D'B,
1.C 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A 7.A ∴四边形BCED'是平行四边形;
5






(2)∵BE 平 分∠ABC,∴∠CBE=∠EBA, ∴CE=EF,∵E 是BC 的中点,∴BE=CE,
∵AD∥BC,∴ ∠DAB + ∠CBA =180°, ∴BE=EF,又∵∠B=90°,EF⊥AD,∴AE 平
∵∠DAE=∠BAE,∴∠EAB+∠EBA=90°, 分∠BAD;
∴∠AEB=90°,∴AB2=AE2+BE2. (2)∵DE 平 分 ∠ADC,AE 平 分 ∠BAD;
24.(1)证 明:∵DF∥AC,DE∥AB,∴ 四 边 形 1 1
∴∠ADE= ∠ADC,∠DAE= ∠DAB,又
AFDE 是平 行 四 边 形.∴AF=DE.∵DF∥ 2 2
AC,∴∠FDB=∠C.又∵AB=AC,∴∠B= ∵∠B=∠C=90°,∴AB∥CD,∴∠ADC+
∠C.∴∠FDB=∠C.∴DF=BF.∴DE+ ∠DAB = 180°,∴ ∠ADE + ∠DAE =
DF=AB=AC; 1 1 1
2∠ADC+ 2 ∠DAB =
(
2 ∠ADC +
(2)解:图②中:AC+DF=DE;图③中:AC+
∠DAB)=90°,∴∠AED=90°,即AE⊥DE;
DE=DF.
(3)∵∠C=∠DFE=90°,∴在 Rt△DFE 和
(3)当如图①的情况,DF=AC-DE=6-4=
DE=DE,
2;当如图③的情况,DF=AC+DE=6+4=10. Rt△DCE 中, ∴Rt△DFE≌EF=EC,
故答案是2或10.
Rt△DCE(HL),∴DC=DF,同理 AF=AB,
第二部分 融汇跃升 ∵AD=AF+DF,∴AD=CD+AB,∴AB+
CD=AD.
专项训练一 三角形 12.(1)解:如图,AF 即为所求:
1.D 2.B 3.C 4.B
5.60° 6.(1)30° (2)略
7.(1)是等边三角形,理由略;
(2)27.
8.(1)略 (2)AC=10
() , , ; (2)证明:∵AB=AC,9.1AC=2 5CD= 5 AD=5 AE=AB
,∴AC=AB=
() ; AE,∠E=∠ABE,由(1)知:AF 平分∠EAC,2 ∠ACD=90°
(3)13. ∴∠EAF=∠CAF
,在△EAF 和△CAF 中,
10.(1)22.5; AE=AC,
(2)是 直 角,BC2=40,CD2=10,BD2=50, ∠EAF=∠CAF,∴△EAF≌△CAF(SAS),
BC2+CD2 =BD2,△BCD 是 直 角 三 角 形, AF=AF,
∠BCD=90°. ∴∠E=∠ACF,∴∠ABE=∠ACF.
11.证明:(1)如图,过点E 作EF⊥DA 于点F, 13.解:(1)如图,点P 即为所作;
∵∠C =90°,DE 平 分 ∠ADC,EF ⊥DA, (2)由作图知,CB=CB',∠PCB=∠PCB',
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