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(2)∵BE 平 分∠ABC,∴∠CBE=∠EBA, ∴CE=EF,∵E 是BC 的中点,∴BE=CE,
∵AD∥BC,∴ ∠DAB + ∠CBA =180°, ∴BE=EF,又∵∠B=90°,EF⊥AD,∴AE 平
∵∠DAE=∠BAE,∴∠EAB+∠EBA=90°, 分∠BAD;
∴∠AEB=90°,∴AB2=AE2+BE2. (2)∵DE 平 分 ∠ADC,AE 平 分 ∠BAD;
24.(1)证 明:∵DF∥AC,DE∥AB,∴ 四 边 形 1 1
∴∠ADE= ∠ADC,∠DAE= ∠DAB,又
AFDE 是平 行 四 边 形.∴AF=DE.∵DF∥ 2 2
AC,∴∠FDB=∠C.又∵AB=AC,∴∠B= ∵∠B=∠C=90°,∴AB∥CD,∴∠ADC+
∠C.∴∠FDB=∠C.∴DF=BF.∴DE+ ∠DAB = 180°,∴ ∠ADE + ∠DAE =
DF=AB=AC; 1 1 1
2∠ADC+ 2 ∠DAB =
(
2 ∠ADC +
(2)解:图②中:AC+DF=DE;图③中:AC+
∠DAB)=90°,∴∠AED=90°,即AE⊥DE;
DE=DF.
(3)∵∠C=∠DFE=90°,∴在 Rt△DFE 和
(3)当如图①的情况,DF=AC-DE=6-4=
DE=DE,
2;当如图③的情况,DF=AC+DE=6+4=10. Rt△DCE 中, ∴Rt△DFE≌EF=EC,
故答案是2或10.
Rt△DCE(HL),∴DC=DF,同理 AF=AB,
第二部分 融汇跃升 ∵AD=AF+DF,∴AD=CD+AB,∴AB+
CD=AD.
专项训练一 三角形 12.(1)解:如图,AF 即为所求:
1.D 2.B 3.C 4.B
5.60° 6.(1)30° (2)略
7.(1)是等边三角形,理由略;
(2)27.
8.(1)略 (2)AC=10
() , , ; (2)证明:∵AB=AC,9.1AC=2 5CD= 5 AD=5 AE=AB
,∴AC=AB=
() ; AE,∠E=∠ABE,由(1)知:AF 平分∠EAC,2 ∠ACD=90°
(3)13. ∴∠EAF=∠CAF
,在△EAF 和△CAF 中,
10.(1)22.5; AE=AC,
(2)是 直 角,BC2=40,CD2=10,BD2=50, ∠EAF=∠CAF,∴△EAF≌△CAF(SAS),
BC2+CD2 =BD2,△BCD 是 直 角 三 角 形, AF=AF,
∠BCD=90°. ∴∠E=∠ACF,∴∠ABE=∠ACF.
11.证明:(1)如图,过点E 作EF⊥DA 于点F, 13.解:(1)如图,点P 即为所作;
∵∠C =90°,DE 平 分 ∠ADC,EF ⊥DA, (2)由作图知,CB=CB',∠PCB=∠PCB',
6


PC=PC,∴△PCB≌△PCB'(SAS),∴PB= 25.x<2 26.A 27.x≥-2
PB',设PB=PB'=x,则AP=8-x,∵长方形 28.(1)①0;②画图略,该函数图象是轴对称图形,对
纸片 ABCD,∴∠A=∠D=90°,AD=CB= 称轴为直线x=2(答案不唯一);
CB'=10,CD=AB=8,∴B'D= 102-82=6, (2)①m+n=4;②x<1或x>5.
∴AB'=10-6=4,在Rt△APB'中,由勾股定 专项训练三 图形的平移与旋转
理得AP2+AB'2=PB'2,即(8-x)2+42=x2,
1.D 2.24 3.B 4.C
解得x=5,∴BP 的长为5.
5.解:(1)∵点B 的坐标是(0,4),点D 的坐标是(5,
14.作线段AB 的垂直平分线交∠MON 的角平分
4),由平移的性质得BD=AC=5,∵点A 的坐标
线于点P,点P 即为所求.
(-3,0),∴C(2,0);由题意得,AE=3+5=8,
专项训练二 不等式与不等式组 ED=4,∵点P 的运动速度为每秒2个单位长
度,∴出发5秒时,运动的距离为 个单位长度,1.D 2.D 3.C 4.B 10
此时点P 在ED 上,且EP=2,∴点P 的坐标为
5.解:∵2(3x+1)≥x-3(1-2x),∴6x+2≥x-
(5,2),故答案为(2,0),(5,2);
3+6x,∴6x-x-6x≥-3-2,∴-x≥-5,
(2)当点P 在, ,,,, AE
上运动时,∵AP=2t,∴点P
∴x≤5 ∴正整数解有12345.
的坐标为(
( -3+2t
,0);当点P 在ED 上运动时,
6.1)x>3 (2)x<-2
∵EP=2t-8,∴点 P 的坐标为(5,2t-8),
7.不等式组的解集为-1≤x<2,数轴略.
(-3+2t,0)( 0≤t≤4
),
8.-3≤x<2 ∴点P 的坐标为
(5,2t-8)(49.-1(3)∵ 四 边 形 ABDC 的 面 积 为 5×4=20,
10.-31
11.-612.B 13.C 14.m≤1 15.m≤5
边上的高为 ,即1CP 4 CP×4=4,解得 CP=2,
16.4≤m<5 17.a≤1 18.0或-1 19.m>1 2
20.-123.()(
1 0.2n+1) (2)16 6.A 7. 3 8.C 9.C
(3)解:有3种方案,设用扶手电梯运输x 次,则 10.解:(1)△ADD' 60° 90° 150°
直立电梯运输(5-x)次,由(2)得:直立电梯一 (2)过点A 作AE⊥BE 交BD 延长线与点E,
次 性 最 多 可 以 运 输 16 辆 购 物 车,
24x+16
(5-x)≥100,
∴ 解得:
5
2≤x≤5
,∵x
5-x≥0,
为正整数,∴x=3,4,5,∴共有3种运输方案:
①扶手电梯运3次,直立电梯运2次;
由( )知 , ,
②扶手电 1 ∠ADB =150° ∴ ∠ADE =30°
梯运4次,直立电梯运1次;③扶手电梯运5次. 1∵∠AED=90°,AD=4,∴AE=2AD=2
,
24.(1)y=20x+10000(50≤x≤60) 1
(2)2300元 (3) ∵BD=3
,∴△ABD 的面积为: ·1.5 2BD AE=
7

1
×3×2=3;(3)由旋转的性质得2 BE=BE'= 专项训练四 因式分解
,CE AE' 1 = = 3,∠EBE'=90°,△BEC≌ 1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 6.A 7.D
, △BE'A ∴ △EBE' 是 等 腰 直 角 三 角 形, 8.(2x-1)2 9.x(x+5)(x-5) 10.-4
∠AE'B=∠BEC,∴∠BE'E=45°,∴E'E= 11.y(x-4)2 12.3(a+2)(a-2)
BE2+BE'2 = 2,∵在△AEE'中,AE'2+ 13.-(a-b)(a-5b) 14.(x+5)(x-7)
EE'2 ( = 3)
2 ( + 2)
2
=5=AE2,∴∠AE'E= 15.(a+4)(a-3)
, ()( )( );90° ∴∠AE'B=∠AE'E+ ∠BE'E=135°= 16.1 x-3 x-5
(2)若x2+ax-8可分解为两个一次因式的积,∠BEC.
() : 则整数a 的所有可能的值:11.1 如图所示 -8+1=-7
;-1+
8=7;-2+4=2;-4+2=-2,即整数a 的所
有可能的值:±7,±2.
17.(1)(x+1)(x+4) (2)(x+1)(x-7)
18.(1)x2+7x+6=x2+(1+6)x+1×6=(x+
1)(x+6)
(2)x2+3x-10=x2+(5-2)x+5×(-2)=
(x+5)(x-2)
(3)x2-10x+16=x2+(-2-8)x+(-2)×
(2)如图所示: (-8)=(x-2)(x-8)
(4)x2-7x-18=x2+(-9+2)x+(-9)×
2=(x-9)(x+2)
19.(m-1)(n+2)
20.(1)(x+a)(x-a+1) (2)(a-b)(x+a-b)
21.解:(1)(x-y+4)(x-y-4);
(2)∵a4-b4+b2c2-a2c2=0,∴(a2+b2)(a2-
b2)+c2(b2-a2)=0,∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
∴a2-b2 2 2 2(3)如图所示,点P 即为所求作的点,其坐标是 =0或a +b -c =0,∴a
2=b2 或a2+
2 2
(,) ,故答案为:(,) b=c ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形31 . 31 . .
22.(2x+y)(4a-b)
23.解:(1)①x2-10x+9=(x-1)(x-9);②x2-
8xy+7y2=(x-y)(x-7y);
(2)由题意得,-2x2-8x+3=-2(x+2)2+
11,∴当x=-2时,多项式-2x2-8x+3有最
大值11;
(3)a2+2b2-2ab-2b+1=0,∴(a2-2ab+
b2)+(b2-2b+1)=0,配 方 得 (a-b)2+
8

(b-1)2=0,解得:a=1,b=1. 以A 型充电桩的单价为0.9万元,B 型充电桩
24.(1)(a+2b)(a+b); 的单价为1.2万元;
(2)① ; (2)解:设购买A 型充电桩m 个,则购买B 型充
电桩(25-m)个.
0.9m+1.2(25-m)≤26,
根据 题 意,得 1 解 得,
②3,1,4; (a 25-m≥ m③ 3 +b)(a+b). 2
25.解:(1)(y+3)(y-5); 40 50≤m≤ .∵m 为整数,∴m=14,15或16.
(2)①∵BC=8,AB=6,∴8÷2=4<6÷1=6, 3 3
, : , , ∴该停车场有3种购买方案.方案一:购买 型∴0( ) , , 充电桩14个、B 型充电桩11个;方案二:购买∴BP=AB-AP= 6-tcm ∵∠ABC=90° A
型充电桩15个、B 型充电桩10个;方案三:购买A
∴△BPQ 的面积为
1 1
S=2BQ
·BP=2×2t× 型充电桩16个,B 型充电桩9个.∵A 型充电桩的
(6-t)=-t2+6t(0-t2+6t=-(t2-6t+9)+9=-(t-3)2+ 费用最少,最少费用=16×0.9+1.2×9=25.2(万
9(0的值最大,最大值是9. 15.解:(1)设B 型汽车的进价为每辆x 万元,则A
型汽车的进价为每辆1.5x 万元,依题意得:
专项训练五 分式与分式方程
1200 1500
- =20,解得: ,经检验, 是
1 x 1.5x
x=10 x=10
1.B 2.D 3.1 4.1 5.- 3 方程的解,答:B 型汽车的进价为每辆10万元;
x-1,16. (答案不唯一) (2)设购买m 辆A 型汽车,则购买(100-m)辆x 2
B 型汽车,A 型车每辆进价:1.5×10=15(万
7.(1)无解 (2)x=1
元),依题意得:15m+10(100-m)≤1182,解
8.()
7
1x=1 (2)x=6 得:m≤36.4,答:最 多 可 以 购 买36辆 A 型
9.C 10.A 11.C 12.A 汽车.
13.(1)康乃馨花束的单价为70元,玫瑰花束的单价 专项训练六 平行四边形
为50元;
1800 900 1.D 2.A 3.A 4.2cm(2)依题意得: ,解得: 70-2m =50-m ×1.5 5.(1)证 明:∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,
m=5. ∴AB∥CD,∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°,
14.解:设A 型充电桩的单价为x 万元,则B 型充电 ∵∠ABC,∠BCD 的平分线BE,CF 分别与AD 相
桩的单价为( 15x+0.3)万元.根据题意,得 = 交于点E,F,
1
x ∴∠EBC+∠FCB=2∠ABC+
20
.解得:x=0.9.经检验,x=0.9是所列 1x+0.3 2∠DCB=90°
,∴BE⊥CF;
分式方程的解且符合题意.则x+0.3=1.2.所 (2)解:如图,过A 作AM∥FC,交AE 于点O,
9


(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∠ADB=
90°,
1
∴ ∠DBC =90°,∴S四边形ABCD = 2BD
·
1
AD+2BD
·BC=BD·AD=10×12=120.
∵AM∥FC,∴∠AOB=∠FGB,∵BE⊥CF,
8.(1)证 明:∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,
∴∠FGB=90°,∴ ∠AOB=90°,∵BE 平 分
∴AB=CD,AB∥CD,∵E,F 分别是AB,DC
∠ABC,∴ ∠ABE = ∠EBC,∵ AD ∥BC,
1
∴∠AEB=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB= 边上的中点,∴AE=BE=2AB
,CF=DF=
AE=5,∵AO⊥BE,∴BO=EO,在△AOE 和 1
CD,2 ∴DF =BE
,∵DF∥BE,∴ 四 边 形
∠AEO=∠MBO,
△MOB 中, EO=BO, ∴ △AOE≌ DEBF 是平行四边形;
∠AOE=∠MOB, (2)解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=
△MOB(ASA),∴AO=MO,∵AF∥CM,AM∥ BC=3,AB∥CD,∴∠DFA=∠FAB,∵AF 平
CF,∴四边形 AMCF 是平行四边形,∴AM= 分∠DAB,∴ ∠DAF = ∠BAF,∴ ∠DAF =
∠DFA,, , 2 2 , ∴DF=AD=3
,∵四边形DEBF 是平
CF=6 ∴AO=3 ∴EO= AE -AO =4
行四边形,∴EB=DF=3.
∴BE=8.
9.(1)证明:∵∠ACB=∠CAD=90°,∴AD∥BC,
6.(1)解:∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,
又∵AE∥DC,∴四边形AECD 是平行四边形;
∠ABC=70°,∴∠BAD=180°-70°=110°,又
()解:
AE 平 分 BAD, DAM BAM 2 ∵∠B=30°
,AB=8 3,∠ACB=90°,
∵ ∠ ∴ ∠ = ∠ =
1
1 , ∴AC=2AB=4 3
,∠BAC=60°,∵AE 平分
∠BAD=55°又∵四边形ABCD 是平行四边2
形,
1
∴AD∥BC,∴∠AMB=∠DAM=55°; ∠BAC,∴∠EAC=2∠BAC=30°
,∴2EC=
(2)证 明:∵四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形, AE,由 勾 股 定 理 得 AC2 +EC2 =AE2,即
∴∠BAD=∠BCD,又∵CF 平分∠BCD,AE 平分 ( )24 3 +EC2=(2EC)2,解得EC=4,∵四边形
1
∠BAD,∴ ∠DCF = ∠BCD,∠BAE = AECD 是平行四边形,∴AD=EC=4.2
10.(1)证 明:∵四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,
1
2∠BAD
,∴∠BAE=∠DCF,又∵四边形ABCD ∴AB∥CD,CD=AB,∵E,F 分别为CD,AB
是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠ABE=∠CDF, 上两点,且DE=BF,∴CD-DE=AB-BF,
∠ABE=∠CDF, ∴CE∥AF,CE=AF,∴四边形AFCE 为平行
在 △ABE 和 △CDF 中, AB=CD, 四边形;
∠BAE=∠DCF, (2)解:作GL⊥AB 于点L,
∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.
7.解:(1)∵∠ADB=90°,∴AO= AD2+OD2=
122+52=13.∴CO=AC-AO=13.∴CO=
AO.又∵DO=BO,∴四边形ABCD 是平行四边 则 ∠BLG =90°,∵AB ∥CD,∴ ∠ABG =
形.∴BC=AD=12; ∠CDH,∵AE∥CF,∴∠AGB=∠CHD,在
10



∠AGB=∠CHD, AC 的对称点是D ,连接 DE,DE 与AC 交于
△AGB 和 △CHD 中, ∠ABG=∠CDH, P,DE⊥AB,PB=PD;DE 的长就是PB+PE
AB=CD, 的最 小 值 3;设 AE =x,AD =2x,DE =
∴△AGB≌△CHD(AAS),∴BG=DH =4, (2x)2-x2= 3x= 3,所 以 x=1,AB=
1
∵∠ABD=30°,∴GL=2BG=2
,∴点G 到 2x=2.
AB 的距离是2.
11.A 12.A 13. 3
14.(1)证明:连接EF,AE.
14.解:四边形BFDE 是菱形,理由:∵AD⊥BD,
∴△ABD 是直角三角形,且 AB 是斜边,∵E
为 的中点, 1AB ∴DE=2AB=BE
,∵四边形
∵点E,F 分别为BC,AC 的中点,∴EF∥AB, ABCD 是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB,
1
EF= AB.又
1
2 ∵AD=2AB
,∴EF=AD.又 1∵F 为DC 中点,E 为AB 中点,∴DF=2DC
,
∵EF∥AD,∴四边形 AEFD 是平行四边形. 1
BE= AB,2 ∴DF=BE
,DF∥BE,∴四边形
∴AF 与DE 互相平分;
(2)解:在Rt△ABC 中,∠ABC=60°,BC=4,E DFBE 是平行四边形,∵DE=EB,∴四边形
1 BFDE 是菱形.为BC 的中点,∴BE=2BC=2
,∠ACB=30°,
15.(1)证明:∵∠ABC=90°,BD 为AC 的中线,
1
∴AB=2BC=2
,∴AB=BE,∴△ABE 为等 1∴BD=2AC
,∵AG∥BD,BD=FG,∴四边形
边三角形,∴AE=BE=2,又∵四边形AEFD BGFD 是平行四边形,∵CF⊥BD,∴CF⊥
是平行四边形,∴DF=AE=2. 1
AG,又∵点 D 是 AC 中 点,∴DF=2AC
,
第三部分 探究先飞
∴BD=DF;
(2)证明:∵BD=DF,∴四边形BGFD 是菱形;
一 特殊平行四边形 (3)解:设GF=x,则 AF=13-x,AC=2x,
∵在 Rt△ACF 中,∠CFA =90°,∴AF2 +
1.菱形的性质与判定 CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=
1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 5,∴四边形BDFG 的周长=4GF=20.
24
7.103 8.1∶ 3 9.5cm 10.4 11.60 2.矩形的性质与判定
12.(3,4) 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.A
13.解:∵∠ABC=120°,∴ ∠BCD = ∠BAD =
34 53
60°;∵菱形ABCD 中,AB=AD,∴△ABD 是 7.5 53 8. 2 9.5.8 10. 2 11.3
等边三角形;又∵E 是AB 边的中点,B 关于 12.12
11

专项训练三 图形的平移与旋转
【题型1】利用平移的性质求解
1.如图,两个直角三角形重叠在一起,将其中一个三角形沿着点B 到点C 的方向平移到△DEF
的位置.若∠B=90°,AB=8,DH=3,阴影部分的面积为26,则BE 的长是 ( )
A . 1 B . 2
C.3 D.4
2.如图,Rt△ABC 中,AC=6,BC=8,则其内部五个小直角三角形的周长之和为 .
【题型2】点坐标平移的变化
3.如图,在直角坐标系中,△ABC 各点坐标分别为A -2,1 ,B -1,3 ,C -4,4 .先作△ABC
关于原点中心对称的△A1B1C1,再把△A1B1C1 平移后得到△A2B2C2.若B2 1,0 ,则点A2
坐标为 ( )
A. -2,4 B. 2,2
C. 2,-4 D. 5,-1
4.若将点A 先向左平移1个单位,再向上平移4个单位,得到的B -3,2 ,则点A 的坐标为
( )
A. -2,6 B. -4,6
C. -2,-2 D. -4,-2
40
【题型3】平移综合题(几何变换)
5.如图,在平面直角坐标系中,点A 的坐标是 -3,0 ,点B 的坐标是 0,4 ,将线段AB 向右平
移得到线段CD,点D 的坐标为 5,4 ,过点D 作DE⊥x 轴,垂足为E,动点P 以每秒2个单
位长度的速度匀速从点A 出发,沿着A→E→D 的方向向终点D 运动,设运动时间为t秒.
(1)点C 的坐标是 ,当点P 出发5秒时,则点P 的坐标是 ;
(2)当点P 运动时,用含t的式子表示出点P 的坐标;
(3)当点P 在线段AE 上运动时,是否存在点P 使得三角形BCP 的面积是四边形ABDC 面
1 积的 ,若存在,求出此时点P 的坐标;若不存在,试说明理由5 .
【题型4】根据旋转的性质求解
6.如图,已知点A 0,3 ,B 4,0 ,A 与A'关于x 轴对称,连接A'B,现将线段A'B 以B 点为中
心逆时针旋转90°得A″B,点A'的对应点A″的坐标为 ( )
A.(7,-4) B.(7,-3) C.(4,-7) D.(3,-4)
(第6题) (第7题)
7.如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=1,将△ABC 绕点C 按逆时针方向旋转
得到△A'B'C,此时点A'恰好在AB 边上,则点B'与点B 之间的距离为 .
41
【题型5】坐标与旋转规律问题
8.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB1C1 的位置,点B,O 分别落
在点B1,C1 处,点B1 在x 轴上.再将△AB1C1 绕点B1 顺时针旋转到△A1B1C2 的位置,点
C2 在x 轴上.将△A1B1C2 绕点C2 顺时针旋转到△A2B2C2 的位置,点A2 在x 轴上,依次
进行下去……若点A 3,20 ,B 0,2 ,则点A2026 的横坐标是 ( )
A.6072 B.6073.5 C.6078 D.6079.5
9.风力发电是一种常见的绿色环保发电形式,它能够使大自然的资源得到更好地利用.如图1,
风力发电机有三个底端重合、两两成120°角的叶片,以三个叶片的重合点为原点水平方向为x
轴建立平面直角坐标系,如图2所示.已知开始时其中一个叶片的外端点的坐标为A 4,3 ,在
一段时间内,叶片每秒绕原点O 顺时针转动90°,则第2025秒时,点A 的对应点A2025 的坐
标为 ( )
图1 图2
A. 4,3 B. 4,-3
C. 3,-4 D. -3,-4
【题型6】旋转综合题
10.【方法探索】
(1)如图1,已知点D 是等边△ABC 内一点,且BD=3,AD=4,CD=5.求∠ADB 的度数;
解:如图1,将△ABD 绕点A 逆时针旋转60°,得到△CD'A,连接DD',
∵BD=3,AD=4,CD=5,
∴DA=AD'=4,BD=CD'=3,∠DAD'=60°,
∴ 是等边三角形,
∴DD'=AD=4,∠AD'D= ,
∵在△CD'D 中,DD'2+CD'2=42+32=52=CD2,
∴∠DD'C= ,
42
∴∠ADB=∠AD'C= .
方法总结:通过旋转把已知线段转化在同一个三角形中,运用勾股定理逆定理解决.
【综合运用】
(2)如图1,在(1)的条件下,求△ABD 的面积;
【类比迁移】
(3)如图2,已知点E 为正方形内的一点,BE=1,CE= 3,AE= 5,把△CBE 绕着点B 逆
时针旋转90°,得到△BAE',连接EE',求∠BEC 的度数.
图1 图2
【题型7】作图-平移、旋转和中心对称综合
11.如图,平面直角坐标系内,小正方形网格的边长为1个单位长度,△ABC 的顶点均在格点上.
(1)画出将△ABC 关于原点O 的中心对称图形△A1B1C1;
(2)将△DEF 绕点E 顺时针旋转90°得到△D1EF1,画出△D1EF1;
(3)若△D1EF1 由△ABC 绕着某点旋转得到的,则这点的坐标为 .
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