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专项训练四 因式分解
【题型1】已知因式分解的结果求参数
1.若多项式x2+mx+n 能因式分解为 x-2 x+3 ,则mn 的值是 ( )
A . - 1 B . 1 C . - 6 D.6
2.若x2-ax-1可以因式分解为 x-2 x+b ,那么a-b的值为 ( )
A.-1 B.1 C.-2 D.2
3.用因式分解法解方程x2-mx-6=0,若将左边因式分解后有一个因式是 x-3 ,则 m 的
值是 ( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
【题型2】提公因式
4.把多项式2ab+4ab2 分解因式,应提取的公因式是 ( )
A.ab B.2ab C.2ab2 D.4ab2
5.已知边长为a,b的矩形的周长为14,面积为10,则a2b+ab2 的值为 ( )
A.70 B.60 C.35 D.24
6.已知a+b=4,ab=3,则a2b+ab2 的值为 ( )
A.12 B.7 C.4 D.3
7.已知a+b=3,a-b=2,则a2-b2 等于 ( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【题型3】运用公式法分解因式
8.分解因式4x2-4x+1= .
9.把多项式x3-25x 分解因式的结果是 .
10.若a-b=2,则a2-b2-4a= .
【题型4】提公因式与公式法分解因式
11.因式分解:x2y-8xy+16y= .
12.因式分解:3a2-12= .
13.因式分解:-a2-5b2+6ab.
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【题型5】十字相乘法分解因式
14.因式分解:x2-2x-35= .
15.因式分解:a2+a-12= .
16.下面是小华学习数学的一篇日记,请认真阅读,并完成后面的任务.
2024年12月12日 阴转晴 今天我有一个新发现,真是震撼! 通过认真阅读“阅读与思考”的内容介
绍,我发现在因式分解中有一类形如二次三项式x2+ p+q x+pq 的分解因式的方法叫“十字相乘
法”,因式分解二次三项式的公式为x2+ p+q x+pq= x+p x+q .例如:将二次三项式x2+
7x+10因式分解,这个式子的二次项系数是1,常数项10=2×5,一次项系数7=2+5,则x2+7x+
10=(x+2) x+5 ,如图所示.
任务:
(1)因式分解:x2-8x+15= ;
(2)若二次三项式x2+ax-8可以分解成两个一次因式乘积的形式,求整数a 的所有可能
的值.
17.阅读下列材料:
将x2+2x-35分解因式,我们可以按下面的方法解答:
解:步骤:①竖分二次项与常数项:x2=x·x,-35= -5 × +7 .
②交叉相乘,验中项:
7x-5x=2x.
③横向写出两因式:x2+2x-35= x+7 x-5 .
我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫作十字相乘法.
试用上述方法分解因式:
(1)x2+5x+4;
(2)x2-6x-7.
45
18.阅读 理 解 题:我 们 知 道 因 式 分 解 与 整 式 乘 法 是 互 逆 的 关 系,那 么 逆 用 乘 法 公 式
x+a x+b =x2+ a+b x+ab,即x2+ a+b x+ab= x+a x+b 是否可以分解因
式呢 当然可以,而且也很简单.如x2+5x+4=x2+ 1+4 x+1×4= x+1 x+4 ;
x2-3x-4=x2+ 1-4 x+1× -4 = x+1 x-4 .
请你仿照上述方法,把下列多项式分解因式:
(1)x2+7x+6;
(2)x2+3x-10;
(3)x2-10x+16;
(4)x2-7x-18.
【题型6】分组分解法分解因式
19.分解因式:mn+2m-n-2= .
20.八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:将2a+3ab-4-6b分解因式.
【观察】经过小组合作与交流,小明得到了如下的解决方法:
原式= 2a-4 + 3ab-6b
=2 a-2 +3b a-2
= a-2 2+3b
【类比】(1)请用分组分解法将x2-a2+x+a 分解因式;
【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a2-2ab-bx+b2 分解因式.
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21.常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法.但有更多的多项式只用上述方法无法分解,
如x2-4y2-2x+4y,细心观察这个式子就会发现,前两项符合平方差公式,后两项可提取
公因式,前后两部分分别分解因式后会产生公因式,然后提取公因式就可以完成整个式子的
分解因式了.过程如下:
x2-4y2-2x+4y= x-2y x+2y -2 x-2y = x-2y x+2y-2 .
这种分解因式的方法叫作分组分解法,利用这种方法解决下列问题:
(1)分解因式:x2-2xy+y2-16;
(2)已知△ABC 的三边长a,b,c满足条件:a4-b4+b2c2-a2c2=0,判断△ABC 的形状,并
说明理由.
22.因式分解:8ax-by+4ay-2bx.
【题型7】因式分解的应用
23.我们知道形如x2+ a+b x+ab 的二次三项式可以分解因式为 x+a x+b ,所以x2+
6x-7=x2+ 7+ -1 x+7× -1 = x+7 x+ -1 = x+7 (x-1),但小明在学习
中发现,对于x2+6x-7还可以使用以下方法分解因式.
x2+6x-7=x2+6x+9-7-9= x+3 2-16= x+3 2-42= x+3+4 x+3-4 =
x+7 (x-1)
教科书中这样写道:“形如a2±2ab+b2 的式子称为完全平方式”,如果一个多项式不是完全
平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个
项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法,配方法是一种重要的解决问题的数学方法,
不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求
代数式最大值、最小值等问题.
例如:求代数式2x2+4x-6的最小值.
解:2x2+4x-6=2 x2+2x-3 =2 x2+2x+1-3-1 =2 x+1 2-8.
因为 x+1 2≥0,所以2 x+1 2-8≥-8,
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所以当x=-1时,2x2+4x-6有最小值,最小值是-8.
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:①x2-10x+9;②x2-8xy+7y2;
(2)当x 为何值时,多项式-2x2-8x+3有最大值 并求出这个最大值;
(3)利用配方法,尝试求出等式a2+2b2-2ab-2b+1=0中a,b的值.
24.如图1,有正方形纸片A,B 和长方形纸片C 各若干张,小王用1张A 纸片,2张B 纸片,3张
C 纸片拼出了如图2所示的一个大长方形.在拼图过程中他发现,图2所示大长方形的面积
可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示,也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得
出,由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法.
图1 图2 图3
(1)结合图1、图2试着分解因式:a2+3ab+2b2= ;
(2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法:
①请你利用图1中A,B,C 三种纸片拼出面积为3a2+4ab+b2 的一个长方形,在图3的
方框中画出拼好后的图形;
②你的拼图共用了 张A 纸片, 张B 纸片, 张C 纸片;
③结合你的拼图过程,分解因式3a2+4ab+b2= .
48
25.【阅读材料】把代数式通过配凑等手段,得到局部完全平方式,再进行有关运算和解题,这种
解题方法叫作配方法.配方法在因式分解、最值等问题中都有着广泛的应用.
例如:①用配方法分解因式:
x2+4x-5
=x2+4x+4-4-5
=(x+2)2-9
= y+2+3 x+2-3
= x+5 (x-1).
②求a2-6a+8的最小值.
a2-6a+8= a-3 2-1.
∵ a-3 2≥0,
∴ a-3 2-1≥-1,
即a2-6a+8的最小值为-1.
【解决问题】请根据上述材料,解答下列问题.
(1)用配方法分解因式:y2-2y-15;
(2)如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,BC=8,AB=6,点P 从点A 出发,以每秒1个单位长
度的速度向点B 运动,同时,点Q 从点B 出发,以每秒2个单位长度的速度向点C 运动,
当其中任何一点到达终点时,两点均停止运动.设运动时间为t s ,△BPQ 的面积为
S cm2 .
①用含有t的代数式表示S;
②当t为何值时,S 的值最大,最大值是多少
49(2)∵BE 平 分∠ABC,∴∠CBE=∠EBA, ∴CE=EF,∵E 是BC 的中点,∴BE=CE,
∵AD∥BC,∴ ∠DAB + ∠CBA =180°, ∴BE=EF,又∵∠B=90°,EF⊥AD,∴AE 平
∵∠DAE=∠BAE,∴∠EAB+∠EBA=90°, 分∠BAD;
∴∠AEB=90°,∴AB2=AE2+BE2. (2)∵DE 平 分 ∠ADC,AE 平 分 ∠BAD;
24.(1)证 明:∵DF∥AC,DE∥AB,∴ 四 边 形 1 1
∴∠ADE= ∠ADC,∠DAE= ∠DAB,又
AFDE 是平 行 四 边 形.∴AF=DE.∵DF∥ 2 2
AC,∴∠FDB=∠C.又∵AB=AC,∴∠B= ∵∠B=∠C=90°,∴AB∥CD,∴∠ADC+
∠C.∴∠FDB=∠C.∴DF=BF.∴DE+ ∠DAB = 180°,∴ ∠ADE + ∠DAE =
DF=AB=AC; 1 1 1
2∠ADC+ 2 ∠DAB =
(
2 ∠ADC +
(2)解:图②中:AC+DF=DE;图③中:AC+
∠DAB)=90°,∴∠AED=90°,即AE⊥DE;
DE=DF.
(3)∵∠C=∠DFE=90°,∴在 Rt△DFE 和
(3)当如图①的情况,DF=AC-DE=6-4=
DE=DE,
2;当如图③的情况,DF=AC+DE=6+4=10. Rt△DCE 中, ∴Rt△DFE≌EF=EC,
故答案是2或10.
Rt△DCE(HL),∴DC=DF,同理 AF=AB,
第二部分 融汇跃升 ∵AD=AF+DF,∴AD=CD+AB,∴AB+
CD=AD.
专项训练一 三角形 12.(1)解:如图,AF 即为所求:
1.D 2.B 3.C 4.B
5.60° 6.(1)30° (2)略
7.(1)是等边三角形,理由略;
(2)27.
8.(1)略 (2)AC=10
() , , ; (2)证明:∵AB=AC,9.1AC=2 5CD= 5 AD=5 AE=AB
,∴AC=AB=
() ; AE,∠E=∠ABE,由(1)知:AF 平分∠EAC,2 ∠ACD=90°
(3)13. ∴∠EAF=∠CAF
,在△EAF 和△CAF 中,
10.(1)22.5; AE=AC,
(2)是 直 角,BC2=40,CD2=10,BD2=50, ∠EAF=∠CAF,∴△EAF≌△CAF(SAS),
BC2+CD2 =BD2,△BCD 是 直 角 三 角 形, AF=AF,
∠BCD=90°. ∴∠E=∠ACF,∴∠ABE=∠ACF.
11.证明:(1)如图,过点E 作EF⊥DA 于点F, 13.解:(1)如图,点P 即为所作;
∵∠C =90°,DE 平 分 ∠ADC,EF ⊥DA, (2)由作图知,CB=CB',∠PCB=∠PCB',
6


PC=PC,∴△PCB≌△PCB'(SAS),∴PB= 25.x<2 26.A 27.x≥-2
PB',设PB=PB'=x,则AP=8-x,∵长方形 28.(1)①0;②画图略,该函数图象是轴对称图形,对
纸片 ABCD,∴∠A=∠D=90°,AD=CB= 称轴为直线x=2(答案不唯一);
CB'=10,CD=AB=8,∴B'D= 102-82=6, (2)①m+n=4;②x<1或x>5.
∴AB'=10-6=4,在Rt△APB'中,由勾股定 专项训练三 图形的平移与旋转
理得AP2+AB'2=PB'2,即(8-x)2+42=x2,
1.D 2.24 3.B 4.C
解得x=5,∴BP 的长为5.
5.解:(1)∵点B 的坐标是(0,4),点D 的坐标是(5,
14.作线段AB 的垂直平分线交∠MON 的角平分
4),由平移的性质得BD=AC=5,∵点A 的坐标
线于点P,点P 即为所求.
(-3,0),∴C(2,0);由题意得,AE=3+5=8,
专项训练二 不等式与不等式组 ED=4,∵点P 的运动速度为每秒2个单位长
度,∴出发5秒时,运动的距离为 个单位长度,1.D 2.D 3.C 4.B 10
此时点P 在ED 上,且EP=2,∴点P 的坐标为
5.解:∵2(3x+1)≥x-3(1-2x),∴6x+2≥x-
(5,2),故答案为(2,0),(5,2);
3+6x,∴6x-x-6x≥-3-2,∴-x≥-5,
(2)当点P 在, ,,,, AE
上运动时,∵AP=2t,∴点P
∴x≤5 ∴正整数解有12345.
的坐标为(
( -3+2t
,0);当点P 在ED 上运动时,
6.1)x>3 (2)x<-2
∵EP=2t-8,∴点 P 的坐标为(5,2t-8),
7.不等式组的解集为-1≤x<2,数轴略.
(-3+2t,0)( 0≤t≤4
),
8.-3≤x<2 ∴点P 的坐标为
(5,2t-8)(49.-1(3)∵ 四 边 形 ABDC 的 面 积 为 5×4=20,
10.-31
11.-612.B 13.C 14.m≤1 15.m≤5
边上的高为 ,即1CP 4 CP×4=4,解得 CP=2,
16.4≤m<5 17.a≤1 18.0或-1 19.m>1 2
20.-123.()(
1 0.2n+1) (2)16 6.A 7. 3 8.C 9.C
(3)解:有3种方案,设用扶手电梯运输x 次,则 10.解:(1)△ADD' 60° 90° 150°
直立电梯运输(5-x)次,由(2)得:直立电梯一 (2)过点A 作AE⊥BE 交BD 延长线与点E,
次 性 最 多 可 以 运 输 16 辆 购 物 车,
24x+16
(5-x)≥100,
∴ 解得:
5
2≤x≤5
,∵x
5-x≥0,
为正整数,∴x=3,4,5,∴共有3种运输方案:
①扶手电梯运3次,直立电梯运2次;
由( )知 , ,
②扶手电 1 ∠ADB =150° ∴ ∠ADE =30°
梯运4次,直立电梯运1次;③扶手电梯运5次. 1∵∠AED=90°,AD=4,∴AE=2AD=2
,
24.(1)y=20x+10000(50≤x≤60) 1
(2)2300元 (3) ∵BD=3
,∴△ABD 的面积为: ·1.5 2BD AE=
7

1
×3×2=3;(3)由旋转的性质得2 BE=BE'= 专项训练四 因式分解
,CE AE' 1 = = 3,∠EBE'=90°,△BEC≌ 1.C 2.B 3.B 4.B 5.A 6.A 7.D
, △BE'A ∴ △EBE' 是 等 腰 直 角 三 角 形, 8.(2x-1)2 9.x(x+5)(x-5) 10.-4
∠AE'B=∠BEC,∴∠BE'E=45°,∴E'E= 11.y(x-4)2 12.3(a+2)(a-2)
BE2+BE'2 = 2,∵在△AEE'中,AE'2+ 13.-(a-b)(a-5b) 14.(x+5)(x-7)
EE'2 ( = 3)
2 ( + 2)
2
=5=AE2,∴∠AE'E= 15.(a+4)(a-3)
, ()( )( );90° ∴∠AE'B=∠AE'E+ ∠BE'E=135°= 16.1 x-3 x-5
(2)若x2+ax-8可分解为两个一次因式的积,∠BEC.
() : 则整数a 的所有可能的值:11.1 如图所示 -8+1=-7
;-1+
8=7;-2+4=2;-4+2=-2,即整数a 的所
有可能的值:±7,±2.
17.(1)(x+1)(x+4) (2)(x+1)(x-7)
18.(1)x2+7x+6=x2+(1+6)x+1×6=(x+
1)(x+6)
(2)x2+3x-10=x2+(5-2)x+5×(-2)=
(x+5)(x-2)
(3)x2-10x+16=x2+(-2-8)x+(-2)×
(2)如图所示: (-8)=(x-2)(x-8)
(4)x2-7x-18=x2+(-9+2)x+(-9)×
2=(x-9)(x+2)
19.(m-1)(n+2)
20.(1)(x+a)(x-a+1) (2)(a-b)(x+a-b)
21.解:(1)(x-y+4)(x-y-4);
(2)∵a4-b4+b2c2-a2c2=0,∴(a2+b2)(a2-
b2)+c2(b2-a2)=0,∴(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,
∴a2-b2 2 2 2(3)如图所示,点P 即为所求作的点,其坐标是 =0或a +b -c =0,∴a
2=b2 或a2+
2 2
(,) ,故答案为:(,) b=c ∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形31 . 31 . .
22.(2x+y)(4a-b)
23.解:(1)①x2-10x+9=(x-1)(x-9);②x2-
8xy+7y2=(x-y)(x-7y);
(2)由题意得,-2x2-8x+3=-2(x+2)2+
11,∴当x=-2时,多项式-2x2-8x+3有最
大值11;
(3)a2+2b2-2ab-2b+1=0,∴(a2-2ab+
b2)+(b2-2b+1)=0,配 方 得 (a-b)2+
8

(b-1)2=0,解得:a=1,b=1. 以A 型充电桩的单价为0.9万元,B 型充电桩
24.(1)(a+2b)(a+b); 的单价为1.2万元;
(2)① ; (2)解:设购买A 型充电桩m 个,则购买B 型充
电桩(25-m)个.
0.9m+1.2(25-m)≤26,
根据 题 意,得 1 解 得,
②3,1,4; (a 25-m≥ m③ 3 +b)(a+b). 2
25.解:(1)(y+3)(y-5); 40 50≤m≤ .∵m 为整数,∴m=14,15或16.
(2)①∵BC=8,AB=6,∴8÷2=4<6÷1=6, 3 3
, : , , ∴该停车场有3种购买方案.方案一:购买 型∴0( ) , , 充电桩14个、B 型充电桩11个;方案二:购买∴BP=AB-AP= 6-tcm ∵∠ABC=90° A
型充电桩15个、B 型充电桩10个;方案三:购买A
∴△BPQ 的面积为
1 1
S=2BQ
·BP=2×2t× 型充电桩16个,B 型充电桩9个.∵A 型充电桩的
(6-t)=-t2+6t(0-t2+6t=-(t2-6t+9)+9=-(t-3)2+ 费用最少,最少费用=16×0.9+1.2×9=25.2(万
9(0的值最大,最大值是9. 15.解:(1)设B 型汽车的进价为每辆x 万元,则A
型汽车的进价为每辆1.5x 万元,依题意得:
专项训练五 分式与分式方程
1200 1500
- =20,解得: ,经检验, 是
1 x 1.5x
x=10 x=10
1.B 2.D 3.1 4.1 5.- 3 方程的解,答:B 型汽车的进价为每辆10万元;
x-1,16. (答案不唯一) (2)设购买m 辆A 型汽车,则购买(100-m)辆x 2
B 型汽车,A 型车每辆进价:1.5×10=15(万
7.(1)无解 (2)x=1
元),依题意得:15m+10(100-m)≤1182,解
8.()
7
1x=1 (2)x=6 得:m≤36.4,答:最 多 可 以 购 买36辆 A 型
9.C 10.A 11.C 12.A 汽车.
13.(1)康乃馨花束的单价为70元,玫瑰花束的单价 专项训练六 平行四边形
为50元;
1800 900 1.D 2.A 3.A 4.2cm(2)依题意得: ,解得: 70-2m =50-m ×1.5 5.(1)证 明:∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,
m=5. ∴AB∥CD,∴ ∠ABC + ∠BCD = 180°,
14.解:设A 型充电桩的单价为x 万元,则B 型充电 ∵∠ABC,∠BCD 的平分线BE,CF 分别与AD 相
桩的单价为( 15x+0.3)万元.根据题意,得 = 交于点E,F,
1
x ∴∠EBC+∠FCB=2∠ABC+
20
.解得:x=0.9.经检验,x=0.9是所列 1x+0.3 2∠DCB=90°
,∴BE⊥CF;
分式方程的解且符合题意.则x+0.3=1.2.所 (2)解:如图,过A 作AM∥FC,交AE 于点O,
9


(2)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∠ADB=
90°,
1
∴ ∠DBC =90°,∴S四边形ABCD = 2BD
·
1
AD+2BD
·BC=BD·AD=10×12=120.
∵AM∥FC,∴∠AOB=∠FGB,∵BE⊥CF,
8.(1)证 明:∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,
∴∠FGB=90°,∴ ∠AOB=90°,∵BE 平 分
∴AB=CD,AB∥CD,∵E,F 分别是AB,DC
∠ABC,∴ ∠ABE = ∠EBC,∵ AD ∥BC,
1
∴∠AEB=∠CBE,∴∠ABE=∠AEB,∴AB= 边上的中点,∴AE=BE=2AB
,CF=DF=
AE=5,∵AO⊥BE,∴BO=EO,在△AOE 和 1
CD,2 ∴DF =BE
,∵DF∥BE,∴ 四 边 形
∠AEO=∠MBO,
△MOB 中, EO=BO, ∴ △AOE≌ DEBF 是平行四边形;
∠AOE=∠MOB, (2)解:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=
△MOB(ASA),∴AO=MO,∵AF∥CM,AM∥ BC=3,AB∥CD,∴∠DFA=∠FAB,∵AF 平
CF,∴四边形 AMCF 是平行四边形,∴AM= 分∠DAB,∴ ∠DAF = ∠BAF,∴ ∠DAF =
∠DFA,, , 2 2 , ∴DF=AD=3
,∵四边形DEBF 是平
CF=6 ∴AO=3 ∴EO= AE -AO =4
行四边形,∴EB=DF=3.
∴BE=8.
9.(1)证明:∵∠ACB=∠CAD=90°,∴AD∥BC,
6.(1)解:∵ 四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,
又∵AE∥DC,∴四边形AECD 是平行四边形;
∠ABC=70°,∴∠BAD=180°-70°=110°,又
()解:
AE 平 分 BAD, DAM BAM 2 ∵∠B=30°
,AB=8 3,∠ACB=90°,
∵ ∠ ∴ ∠ = ∠ =
1
1 , ∴AC=2AB=4 3
,∠BAC=60°,∵AE 平分
∠BAD=55°又∵四边形ABCD 是平行四边2
形,
1
∴AD∥BC,∴∠AMB=∠DAM=55°; ∠BAC,∴∠EAC=2∠BAC=30°
,∴2EC=
(2)证 明:∵四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形, AE,由 勾 股 定 理 得 AC2 +EC2 =AE2,即
∴∠BAD=∠BCD,又∵CF 平分∠BCD,AE 平分 ( )24 3 +EC2=(2EC)2,解得EC=4,∵四边形
1
∠BAD,∴ ∠DCF = ∠BCD,∠BAE = AECD 是平行四边形,∴AD=EC=4.2
10.(1)证 明:∵四 边 形 ABCD 是 平 行 四 边 形,
1
2∠BAD
,∴∠BAE=∠DCF,又∵四边形ABCD ∴AB∥CD,CD=AB,∵E,F 分别为CD,AB
是平行四边形,∴AB∥DC,∴∠ABE=∠CDF, 上两点,且DE=BF,∴CD-DE=AB-BF,
∠ABE=∠CDF, ∴CE∥AF,CE=AF,∴四边形AFCE 为平行
在 △ABE 和 △CDF 中, AB=CD, 四边形;
∠BAE=∠DCF, (2)解:作GL⊥AB 于点L,
∴△ABE≌△CDF,∴AE=CF.
7.解:(1)∵∠ADB=90°,∴AO= AD2+OD2=
122+52=13.∴CO=AC-AO=13.∴CO=
AO.又∵DO=BO,∴四边形ABCD 是平行四边 则 ∠BLG =90°,∵AB ∥CD,∴ ∠ABG =
形.∴BC=AD=12; ∠CDH,∵AE∥CF,∴∠AGB=∠CHD,在
10



∠AGB=∠CHD, AC 的对称点是D ,连接 DE,DE 与AC 交于
△AGB 和 △CHD 中, ∠ABG=∠CDH, P,DE⊥AB,PB=PD;DE 的长就是PB+PE
AB=CD, 的最 小 值 3;设 AE =x,AD =2x,DE =
∴△AGB≌△CHD(AAS),∴BG=DH =4, (2x)2-x2= 3x= 3,所 以 x=1,AB=
1
∵∠ABD=30°,∴GL=2BG=2
,∴点G 到 2x=2.
AB 的距离是2.
11.A 12.A 13. 3
14.(1)证明:连接EF,AE.
14.解:四边形BFDE 是菱形,理由:∵AD⊥BD,
∴△ABD 是直角三角形,且 AB 是斜边,∵E
为 的中点, 1AB ∴DE=2AB=BE
,∵四边形
∵点E,F 分别为BC,AC 的中点,∴EF∥AB, ABCD 是平行四边形,∴DC∥AB,DC=AB,
1
EF= AB.又
1
2 ∵AD=2AB
,∴EF=AD.又 1∵F 为DC 中点,E 为AB 中点,∴DF=2DC
,
∵EF∥AD,∴四边形 AEFD 是平行四边形. 1
BE= AB,2 ∴DF=BE
,DF∥BE,∴四边形
∴AF 与DE 互相平分;
(2)解:在Rt△ABC 中,∠ABC=60°,BC=4,E DFBE 是平行四边形,∵DE=EB,∴四边形
1 BFDE 是菱形.为BC 的中点,∴BE=2BC=2
,∠ACB=30°,
15.(1)证明:∵∠ABC=90°,BD 为AC 的中线,
1
∴AB=2BC=2
,∴AB=BE,∴△ABE 为等 1∴BD=2AC
,∵AG∥BD,BD=FG,∴四边形
边三角形,∴AE=BE=2,又∵四边形AEFD BGFD 是平行四边形,∵CF⊥BD,∴CF⊥
是平行四边形,∴DF=AE=2. 1
AG,又∵点 D 是 AC 中 点,∴DF=2AC
,
第三部分 探究先飞
∴BD=DF;
(2)证明:∵BD=DF,∴四边形BGFD 是菱形;
一 特殊平行四边形 (3)解:设GF=x,则 AF=13-x,AC=2x,
∵在 Rt△ACF 中,∠CFA =90°,∴AF2 +
1.菱形的性质与判定 CF2=AC2,即(13-x)2+62=(2x)2,解得:x=
1.D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 5,∴四边形BDFG 的周长=4GF=20.
24
7.103 8.1∶ 3 9.5cm 10.4 11.60 2.矩形的性质与判定
12.(3,4) 1.C 2.B 3.B 4.D 5.D 6.A
13.解:∵∠ABC=120°,∴ ∠BCD = ∠BAD =
34 53
60°;∵菱形ABCD 中,AB=AD,∴△ABD 是 7.5 53 8. 2 9.5.8 10. 2 11.3
等边三角形;又∵E 是AB 边的中点,B 关于 12.12
11

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