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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.1 图形的轴对称（原卷版）
一、轴对称图形与对称轴
1. ______：把一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够______，这个图形叫做轴对称图形。
2. ______：折叠时的那条直线叫做对称轴。轴对称图形的对称轴可能有一条，也可能有______。
3. 常见轴对称图形：等腰三角形（______条）、矩形（______条）、等边三角形（______条）、正方形（______条）、圆（______条）。
4. ______：折叠后互相重合的点叫做______。
二、图形的轴对称
1. ______：把一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够______，这两个图形关于这条直线______。
2. 轴对称图形与成轴对称的区别：轴对称图形是______自身的特性；成轴对称是______之间的关系。
3. 对称点的位置：关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点在______或______。
三、轴对称的性质
1. ______：对称轴______连结两个对称点的线段。即如果A与A'关于直线m对称，则直线m⊥AA'且m平分AA'。
2. ______：关于轴对称的两个图形是______（形状大小完全相同，只是位置不同）。
3. ______：利用性质1可证明线段相等；利用性质1和性质2可将______问题转化为______问题。
四、作对称图形与最短路径
1. ______：过已知点作对称轴的______，延长至另一侧使______，即得对称点。
2. ______：分别作出图形各顶点的______，再依次连接。
3. ______：如图2-8，在直线l上找一点P使PA+PB最小。方法：作A关于l的对称点A'，连接______交l于点P。依据：______。
考点一 轴对称图形与对称轴
例1．下列轴对称图形中，对称轴最少的图形是（　　）
A． B．
C． D．
变式1．下面图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2条的图形的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
考点二 图形的轴对称
例2．下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点一定在（ ）
A．对称轴上 B．对称轴的异侧
C．对称轴的同侧 D．对称轴上或对称轴的异侧
考点三 轴对称的性质
例3．如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③连接，，则．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
变式2．如图，D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
考点四 作对称图形与最短路径
例4．如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
变式1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ）
A．A B．B C．C D．D
变式2．如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小．
解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是__________．
一、选择题
1．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26八年级上·重庆·期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线对称， ，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（24-25七年级下·江苏·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（24-25八年级上·全国·期中）下列图形中，是轴对称图形的有_____．
①角 ②线段 ③等腰三角形 ④平行四边形⑤圆
8．（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，该轴对称图形有________条对称轴．
9．（2025·山东济南·三模）如图，与关于所在直线对称，若，，则的度数为_____．
三、解答题
10．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，将沿直线折叠，使点与点重合，连接．

(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的周长．
11．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明．
∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴ ， ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】
如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.1 图形的轴对称（解析版）
一、轴对称图形与对称轴
1. 轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠，直线两侧的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
2. 对称轴：折叠时的那条直线叫做对称轴。轴对称图形的对称轴可能有一条，也可能有多条。
3. 常见轴对称图形：等腰三角形（1条）、矩形（2条）、等边三角形（3条）、正方形（4条）、圆（无数条）。
4. 对称点：折叠后互相重合的点叫做对称点。
二、图形的轴对称
1. 定义：把一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这两个图形关于这条直线成轴对称。
2. 轴对称图形与成轴对称的区别：轴对称图形是一个图形自身的特性；成轴对称是两个图形之间的关系。
3. 对称点的位置：关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点在对称轴上或对称轴的异侧。
三、轴对称的性质
1. 性质1：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。即如果A与A'关于直线m对称，则直线m⊥AA'且m平分AA'。
2. 性质2：关于轴对称的两个图形是全等图形（形状大小完全相同，只是位置不同）。
3. 应用：利用性质1可证明线段相等；利用性质1和性质2可将折线问题转化为直线问题。
四、作对称图形与最短路径
1. 作对称点：过已知点作对称轴的垂线段，延长至另一侧使距离相等，即得对称点。
2. 作对称图形：分别作出图形各顶点的对称点，再依次连接。
3. 将军饮马模型：如图2-8，在直线l上找一点P使PA+PB最小。方法：作A关于l的对称点A'，连接A'B交l于点P。依据：两点之间线段最短。
考点一 轴对称图形与对称轴
例1．下列轴对称图形中，对称轴最少的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查轴对称图形，正确找出各个图形的对称轴是解题的关键．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．根据对称轴的概念、结合图形分别找出各个图形的对称轴，即可得到答案．
【详解】解：A．图中有四条对称轴；
B．图中有三条对称轴；
C．图中有四条对称轴；
D．图中有四条对称轴；
综上分析可知：对称轴最少的图形是B选项中的图形．
故选：B．
变式1．下面图形中，对称轴条数最多的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形的对称轴，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是它的对称轴．
先根据对称轴的定义确定各图形对称轴的条数，进而完成解答．
【详解】
解：有4条对称轴；
有3条对称轴；
有2条对称轴；
有2条对称轴；
所以对称轴数量最多的是．
故选：A．
变式2．下列四个图形，其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2条的图形的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别和轴对称图形的对称轴条数问题，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，据此逐一判断即可．
【详解】解：从左边起，第一幅图是轴对称图形，对称轴有2条；
第二幅图是轴对称图形，对称轴有2条；
第三幅图是轴对称图形，对称轴有2条；
第四幅图是轴对称图形，对称轴有3条．
故选：D．
考点二 图形的轴对称
例2．下列每幅图形中的两个图案成轴对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可．
【详解】A．两个图形不成轴对称，不符合题意；
B．两个图形不成轴对称，不符合题意；
C．两个图形不成轴对称，不符合题意；
D．两个图形成轴对称，符合题意．
故选：D．
变式1．关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点一定在（ ）
A．对称轴上 B．对称轴的异侧
C．对称轴的同侧 D．对称轴上或对称轴的异侧
【答案】D
【分析】本题考查成轴对称图形的性质，根据成轴对称的两个图形，它们的对称点在对称轴上或对称轴的异侧，判断即可．
【详解】解：关于某条直线成轴对称的两个图形，它们的对称点一定在对称轴上或对称轴的异侧；
故选D．
考点三 轴对称的性质
例3．如图，和关于直线l 对称，若，，则∠B 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质，三角形内角和定理，先根据轴对称图形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：∵和关于直线l 对称，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
变式1．如图，和关于直线m对称，则下列结论：①直线m是线段的垂直平分线；②直线m被线段垂直平分；③连接，，则．其中结论正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【分析】本题考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质逐项分析即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．
【详解】解：如图：
，
由轴对称的性质可得：①直线m是线段的垂直平分线，故正确；
②直线m不会被线段垂直平分，故错误；
③连接，，则，故正确；
综上所述，正确的有：①③，
故选：C．
变式2．如图，D为的边上一点，点A关于直线对称的点E恰好在线段上，连接，若，，，则的周长是（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【答案】D
【分析】本题主要考查了轴对称的性质．先根据轴对称的性质得出，，进而得到得出，然后根据三角形的周长公式及线段的和差即可解答．
【详解】解：∵点A关于直线的对称点E恰好在线段上，连接，，
∴，，
，
∴的周长
．
故选：D．
考点四 作对称图形与最短路径
例4．如图，在正方形网格中，，为小正方形顶点，直线经过小正方形顶点，，，，在直线上求一点使最短，则点应位于（ ）
A．点处 B．点处 C．点处 D．点处
【答案】C
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最短，据此结合图形可得答案．
【详解】解：如图所示，作点M关于直线l的对称点，连接交直线l于点P，此时最短，
由图可知，交直线l于点P，
∴点应选在C点，
故选：C．
变式1．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在点（ ）
A．A B．B C．C D．D
【答案】C
【分析】本题围绕最短路径问题展开，掌握利用轴对称性质，将折线转化为线段求最短路径是解题的关键．
要在直线上找一点使最短，根据两点之间线段最短及轴对称的性质，需作出其中一点关于直线l的对称点，连接对称点与另一点，与直线的交点即为所求点．
【详解】解：作出点关于直线的对称点，连接与直线的交点即为使最短的点；
通过观察图形，可知该交点为点．
故选：C．
变式2．如图，将军在图中点处，现在他要带马去河边l喝水，之后返回军营处，问：将军怎么走能使得路程最短？将实际问题转化成数学问题，即：在直线上找一点使得最小．
解决方法是：作点关于直线的对称点，连接，则，所以，连接，则线段的长度即为的最小值，这样做依据的基本事实是__________．
【答案】两点之间，线段最短
【分析】本题考查了两点之间，线段最短、线段垂直平分线的性质，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型．依据是两点之间线段最短得出答案．
【详解】解：点与点关于直线对称，
，
，
两点之间，线段最短，
当点、、三点共线时，的值最小为．
故答案为：两点之间，线段最短．
一、选择题
1．（24-25九年级上·河北廊坊·期中）将长方形纸片沿竖直虚线对折，用针尖在上面扎出“L”，然后展平，则可得到（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查轴对称．根据轴对称的性质判定即可．
【详解】解：根据题意，选项B中的图形关于直线对称，
故选：B．
2．（25-26八年级上·重庆·期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键是掌握轴对称图形的定义．
根据轴对称图形的定义逐项进行判断即可，即平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形称为轴对称图形．
【详解】解：A、该选项不是轴对称图形，不符合题意；
B、 该选项不是轴对称图形，不符合题意；
C、该选项不是轴对称图形，不符合题意；
D、该选项是轴对称图形，符合题意；
故选：D．
3．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图是一个轴对称图形，对称轴是直线（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，能使图形完全重合的直线叫做该图形的对称轴，据此即可解题．
【详解】解：由图知，该图形的对称轴是直线．
故选：A．
4．（25-26八年级上·河南开封·期中）如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查折叠的性质与三角形周长计算，运用折叠全等思想，关键是利用折叠后对应边相等转化线段，易错点是折叠后线段对应关系混淆；思路是根据折叠性质得、，将的周长转化为，代入边长计算．
【详解】解：沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，
∵，，，
∴，，
∴，
的周长，
故选：A．
5．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，与关于直线对称， ，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了轴对称图形的性质，结合与关于直线对称，结合三角形内角和进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵与关于直线对称，
∴
∵，
∴，
故选：B．
6．（24-25七年级下·江苏·期中）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，利用轴对称的性质解答．
【详解】解：∵为镜像显示的时间，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵1、0的对称数字为1、0；2的对称数字是5；镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反，
∴这时的时刻应是，
故选：A
二、填空题
7．（24-25八年级上·全国·期中）下列图形中，是轴对称图形的有_____．
①角 ②线段 ③等腰三角形 ④平行四边形⑤圆
【答案】①②③⑤
【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：①角，②线段，③等腰三角形，⑤圆能找到到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
④平行四边形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
故答案为：①②③⑤．
8．（24-25七年级下·山西太原·阶段检测）如图，该轴对称图形有________条对称轴．
【答案】4
【分析】本题考查了轴对称图形对称轴数量．
根据图形作答即可．
【详解】解：该轴对称图形有4条对称轴，
故答案为：4．
9．（2025·山东济南·三模）如图，与关于所在直线对称，若，，则的度数为_____．
【答案】30
【分析】本题主要考查轴对称图形的性质，三角形内角和定理，掌握轴对称图形对应角相等是解题关键．根据轴对称图形的性质可知，再结合，可求出．
【详解】解：∵与关于所在直线对称，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
三、解答题
10．（22-23七年级下·山西临汾·期末）如图，在中，将沿直线折叠，使点与点重合，连接．

(1)若，，求的度数；
(2)若，，求的周长．
【答案】(1)．
(2)
【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握性质和三角形的内角和定理是解题的关键．
（1）先由三角形的内角和定理求得，再根据折叠的性质，得到，从而即可求解．
（2）根据折叠的性质，得到，进而计算周长即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴．
由折叠可知，．
∵，
∴．
（2）解：由折叠可知，．
∴的周长．
11．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段检测）综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河，”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸点P饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？
【分析问题】
小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的．（如图2）
小慧：你能详细解释为什么吗？
小亮：如图3，在直线l上另取任一点，连接，，，我只要证明．
∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴ ， ，
请完整地写出小亮的证明过程．
【解决问题】
如图4，将军牵马从军营P处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到P处，试分别在边和上各找一点E、F，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线．）
【答案】分析问题：见解析；解决问题：见解析
【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题：
（1）先由轴对称的性质得到，，则，，再由两点之间线段最短即可证明结论；
（2）如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求．
【详解】解：分析问题：∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，
∴，，
∴，，
由两点之间线段最短可知，，
∴，
∴作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方；
解决问题：如图所示，分别作点P关于的对称点C、D，连接分别交于E、F，则路线即为所求．
易证明，则，根据两点之间线段最短可得路线即为所求．
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