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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.2 等腰三角形（解析版）
一、等腰三角形的定义与各部分名称
1. 定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle）。
2. 腰：相等的两条边；底边：第三条边。
3. 顶角：两腰所夹的角；底角：腰与底边的夹角。
4. 边长计算关键：需分类讨论（腰或底），并用三边关系验证每种情况。
二、等腰三角形的边长计算
1. 已知两边求第三边/周长：分两种情况——已知边为腰或为底，分别代入验证。
2. 含非负条件时：先由非负性质求出两边长，再按等腰分类讨论。
3. 含方程/方程组时：先解方程得边长，再按等腰分类验证三边关系。
三、等腰三角形的角度计算
1. 三角形内角和180°是角度计算的基础。
2. 已知一个内角：需分该角是顶角还是底角两种情况讨论。
3. 已知外角：先求内角（外角=与它不相邻的两个内角和），再分类讨论。
4. 注意：等腰三角形中，底角必为锐角，顶角可以是锐角/直角/钝角。
四、等腰三角形的轴对称性
1. 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
2. 等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线所在的直线是同一条直线（即对称轴）。
3. 等边三角形：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形，有3条对称轴。
4. 利用轴对称性可以判断图形中哪些线段相等、哪些三角形全等。
考点一 等腰三角形的定义与边长计算
例1．等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
【答案】C
【分析】本题考查等腰三角形的定义和三角形的三边关系，分两种情况讨论：当腰为3时和当腰为7时，根据三角形两边之和大于第三边，判断哪种情况成立，从而计算周长即可．
【详解】解：∵等腰三角形的两边分别为3和7，
∴可能情况：①腰为3，底为7；②腰为7，底为3；
对于①：因为，不满足三角形三边关系，舍去；
对于②：因为，满足三角形三边关系；
故周长为，
故选：C．
变式1．等腰三角形的一边长为4，它的周长为16，则它的腰长为（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．10或12
【答案】B
【分析】根据等腰三角形的定义，三角形的存在性解答即可．
本题考查了等腰三角形的定义，三角形的存在性问题，正确分类计算是解题的关键．
【详解】解：∵等腰三角形的一边长为4，周长为16，
∴等腰三角形的三边长为4，4，8或6，6，4，
当三边为4，4，8时，，三角形不存在；
当三边为6，6，4时，，三角形存在，
故腰长为：6；
故选：B．
变式2．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2
【答案】C
【分析】本题考查三角形三边关系．结合等腰三角形的定义与三角形三边关系，逐一判断各选项是否能构成等腰三角形．
【详解】解：A、，不满足三边关系，
∴无法构成三角形，该选项不符合题意；
B、，不满足三边关系，
∴无法构成三角形，该选项不符合题意；
C、有两边长为2，符合等腰三角形定义，且，满足三边关系，
∴可构成等腰三角形，该选项符合题意；
D、，不满足三边关系，
∴无法构成三角形，该选项不符合题意；
故选：C．
考点二 含条件的边长计算
例2．设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是（ ）
A．11 B．13 C．12或13 D．11或13
【答案】D
【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三边关系，先根据绝对值非负数的性质求出，，再根据等腰三角形的定义分情况解答即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得，，
根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论：
（1）当3为底边长时，腰长为5，
∵，能组成三角形，
此时三角形的周长为；
（2）当5为底边长时，腰长为3，
∵，能组成三角形，
此时三角形的周长为．
综上可知，此三角形的周长为11或13．
故选：D．
变式1．一个等腰三角形的两条边分别是和，则第三条边的边长是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分腰长为和腰长为两种情况，根据构成三角形的条件讨论求解即可．
【详解】解：当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，，
∵，
∴此时不能构成三角形，不符合题意；
当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，，
∵，
∴此时能构成三角形，符合题意，
∴此时第三条边的边长是；
综上所述，第三条边的边长是，
故选：B．
变式2．已知一个等腰三角形的两边长分别是和，且满足：，则该等腰三角形的周长是（ ）
A． B．或 C． D．以上都不正确
【答案】B
【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算、等腰三角形的定义与性质、三角形的三边关系，掌握二项式乘二项式的展开技巧及等腰三角形的定义与性质是解题关键．通过展开等式确定 和 的值，再根据等腰三角形的性质分类讨论可能的情况，并利用三角形三边关系验证即可得出答案．
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ 等腰三角形的两边长为 和．
当腰长为 时，底边为 ，三边为，，，
∵， ， ，
∴ 满足三角形三边关系，周长为．
当腰长为 时，底边为 ，三边为 ，， ，
∵，，，
∴ 满足三角形三边关系，周长为 ．
∴ 该等腰三角形的周长为 或，
故选 B．
考点三 等腰三角形的角度计算
例3．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等．先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得．
【详解】解：等腰三角形有一个内角为，
∴这个等腰三角形的底角是，
故选：C．
变式1．若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）．
A． B． C．或 D．
【答案】B
【分析】本题考查三角形内角和定理及等腰三角形定义，根据三角形内角和定理可知，若等腰三角形中有一个角等于，则这个角只能是等腰三角形的顶角，即可得到答案，熟记三角形内角和定理及等腰三角形定义是解决问题的关键．
【详解】解：由三角形内角和定理可知，任意一个三角形三个内角和为，
当等腰三角形中有一个角等于，则这个角只能是等腰三角形的顶角，
由三角形内角和定理可知这个等腰三角形的顶角的度数为，
故选：B．
变式2．等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，利用平角定义，分的角是底角的外角和顶角的外角两种情况进行计算即可解答．
【详解】解：①当的角是底角的外角时，则底角度数为，
则它的顶角为；
②当的角是顶角的外角时，则顶角度数为；
综上，这个等腰三角形的顶角为或．
故选：D．
考点四 等腰三角形的轴对称性
例4．锐角内有一点C，它关于，的对称点分别为点M，N，那么一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【分析】本题主要考查等腰三角形的判定，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质．
根据轴对称的性质可得垂直平分，垂直平分，继而可得,根据等腰三角形的判定即可求解．
【详解】解：∵点C关于，的对称点分别为点M，N，
∴垂直平分，垂直平分，
∴,
∴是等腰三角形
故选：A．
变式1．若是等腰三角形，，则的度数是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
【答案】D
【分析】根据等腰三角形性质分情况讨论即可得到答案．
【详解】解：是等腰三角形，，
当是顶角时，；
当是底角时，
①当时， 则；
②；
综上所述，的度数是或或，
故选：D．
一、选择题
1．（23-24八年级上·浙江·期中）等腰三角形底边长为4，其中一腰的长为9，它的周长是（ ）．
A．17 B．22 C．17或22 D．13
【答案】B
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义和周长的计算，由等腰三角形的定义可知，另一个腰长也为9，然后三边相加即可得出答案．
【详解】解：等腰三角形的周长为：，
故选：B
2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查等腰三角形定义，构成三角形三边关系．根据题意分情况讨论即可．
【详解】解：∵当为等腰三角形时，
①当，在中，，
在中，，
∴此时；
②当，在中，，不符合三边关系，
∴此种情况舍去；
综上，的长为3．
故选：A．
3．（23-24八年级上·北京昌平·期末）以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．5，6，6 C．1，1，2 D．3，4，5
【答案】B
【分析】本题考查了三角形的三边关系，等腰三角形的定义，根据组成三角形的条件：任意两边之和大于第三边，以及等腰三角形的两边相等，逐一判断即可得出答案．
【详解】解：A、，不能组成三角形，不符合题意；
B、有两条边相等们可以组成等腰三角形，符合题意；
C、，不能组成三角形，不符合题意；
D、三条边都不相等，不能组成等腰三角形，
故选：B．
4．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
【答案】C
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边长关系，熟练掌握有两边相等的三角形是等腰三角形是解题的关键．分两种情况讨论，即可求解．
【详解】解：若腰长为3时，三边长为3，3，6，
此时，无法构成三角形，不符合题意；
若腰长为6时，三边长为3，6，6，
此时；
综上所述，它的周长为15．
故选：C
5．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】本题考查了等腰三角形定义．
根据等腰三角形的定义分情况进行求解即可．
【详解】解：是一个等腰三角形，，
当时，周长为：，
当时，周长为：，
的周长为或．
故选：D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·河南新乡·阶段检测）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形有以下四类线：①底边上的高②顶角的平分线③底边上的中线④底边上的垂直平分线．其中是等腰三角形的对称轴的有______个．
【答案】1
【分析】本题考查了等腰三角形以及轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，易错点是熟记对称轴是直线，不是线段．根据等腰三角形的性质已经对称轴的含义解答即可．
【详解】解：等腰三角形是轴对称图形，底边上的垂直平分线是等腰三角形的对称轴，底边上的高所在的直线，顶角的平分线所在的直线，底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴， 所以是等腰三角形的对称轴的有1个．
故答案为：1．
7．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）已知等腰三角形的一边等于，另一边等于，则它的周长为_______．
【答案】
【分析】此题考查了等腰三角形的基本性质及分类讨论的思想方法，根据腰长为和，再根据三角形的三边关系判定能否组成三角形，若能则求出其周长．
【详解】解：当为腰，为底时，
∵，
∴不能构成三角形；
当腰为时，
∵，
∴能构成三角形，
∴等腰三角形的周长为：．
故它的周长为，
故答案为：．
8．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，，，图中的等腰三角形有__________个．
【答案】/三
【分析】本题考查的是等腰三角形的定义，根据等腰三角形的定义可得答案．
【详解】解：∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，是等腰三角形，
综上：图中的等腰三角形有个．
故答案为：
三、解答题
9．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的周长是．
(1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长．
(2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长．
【答案】(1)
(2)与，或与
【分析】本题考查一元一次方程的应用，等腰三角形的定义等知识，掌握分类讨论思想是解题的关键．
（1）设等腰三角形的底边长为，则腰长为，根据“周长是”列方程求解即可；
（2）根据等腰三角形的定义，分腰为与底为两种情况分别求出其他两边即可；
【详解】（1）解：设等腰三角形的底边长为，则腰长为，
由题意得：，
解得：
∴，这个等腰三角形的底边长为，腰长分别为，，
即各边长分别是；
（2）当腰为时，底边长为： ，
∴其余两边分别为，此时能构成三角形；
当底为时，腰长为：，
∴其余两边分别为，此时能构成三角形；
综上所述：其余两边分别为与，或与．
10．（25-26八年级上·甘肃陇南·阶段检测）某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米．求花坛各边的长度．
【答案】11米，11米，8米
【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，设腰为米，则底边为米，根据三角形周长公式建立方程求出腰长和底边长，再根据构成三角形的条件验证即可得到答案．
【详解】解：设腰为米，则底边为米，
由题意得，，
解得．
腰为11米．
底边米．
∵，
∴此时能构成三角形．
答：花坛各边的长度为11米，11米，8米．
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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.2 等腰三角形（原卷版）
一、等腰三角形的定义与各部分名称
1. ______：有______的三角形叫做等腰三角形（isosceles triangle）。
2. ______：相等的两条边；______：______。
3. ______：______；______：______。
4. ______：需______（腰或底），并用______验证每种情况。
二、等腰三角形的边长计算
1. 已知两边求第三边/周长：分两种情况——已知边为______或为______，分别代入验证。
2. 含______时：先由非负性质求出两边长，再按等腰______讨论。
3. 含______时：先解方程得边长，再按等腰分类验证______。
三、等腰三角形的角度计算
1. ______是角度计算的基础。
2. 已知一个内角：需分该角是______还是______两种情况讨论。
3. 已知外角：先求______（外角=与它不相邻的两个内角和），再分类讨论。
4. 注意：等腰三角形中，______必为锐角，顶角可以是锐角/直角/钝角。
四、等腰三角形的轴对称性
1. 等腰三角形是______，______是它的对称轴。
2. 等腰三角形底边上的______、______和______所在的直线是同一条直线（即对称轴）。
3. ______：三条边都相等的三角形，是特殊的等腰三角形，有______条对称轴。
4. 利用______可以判断图形中哪些线段相等、哪些三角形全等。
考点一 等腰三角形的定义与边长计算
例1．等腰三角形的两条边长分别为3和7，则这个等腰三角形的周长是（ ）
A．10 B．13 C．17 D．13或17
变式1．等腰三角形的一边长为4，它的周长为16，则它的腰长为（ ）
A．4 B．6 C．4或6 D．10或12
变式2．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（　　）
A．1，2，3 B．1，2，1 C．2，2，3 D．2，5，2
考点二 含条件的边长计算
例2．设a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足，则该三角形的周长是（ ）
A．11 B．13 C．12或13 D．11或13
变式1．一个等腰三角形的两条边分别是和，则第三条边的边长是（ ）
A． B． C．或 D．不能确定
变式2．已知一个等腰三角形的两边长分别是和，且满足：，则该等腰三角形的周长是（ ）
A． B．或 C． D．以上都不正确
考点三 等腰三角形的角度计算
例3．若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A． B． C． D．
变式1．若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为（ ）．
A． B． C．或 D．
变式2．等腰三角形一个外角为，则它的顶角为（ ）
A． B． C． D．或
考点四 等腰三角形的轴对称性
例4．锐角内有一点C，它关于，的对称点分别为点M，N，那么一定是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
变式1．若是等腰三角形，，则的度数是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或或
变式2．如图，在中，，点D在线段上，，则图中共有等腰三角形（ ）
A．2个 B．3个 C．1个 D．0个
一、选择题
1．（23-24八年级上·浙江·期中）等腰三角形底边长为4，其中一腰的长为9，它的周长是（ ）．
A．17 B．22 C．17或22 D．13
2．（25-26八年级上·山东泰安·期末）如图，和如图所示放置，当为等腰三角形时，的长为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．无法确定
3．（23-24八年级上·北京昌平·期末）以下列长度的三条线段为边，能组成一个等腰三角形的是（ ）
A．2，4，7 B．5，6，6 C．1，1，2 D．3，4，5
4．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段检测）如果等腰三角形的两边长分别3和6，则它的周长为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．12或15
5．（24-25八年级上·甘肃白银·期末）将一台带有保护套的平板电脑按图1所示的方式放置在水平桌面上，其侧面示意图如图2所示，经测量，得到，．若移动支点C的位置，使是一个等腰三角形，则的周长为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
6．（23-24八年级上·河南新乡·阶段检测）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形有以下四类线：①底边上的高②顶角的平分线③底边上的中线④底边上的垂直平分线．其中是等腰三角形的对称轴的有______个．
7．（25-26八年级上·河南信阳·阶段检测）已知等腰三角形的一边等于，另一边等于，则它的周长为_______．
8．（25-26八年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，，，图中的等腰三角形有__________个．
三、解答题
9．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）一个等腰三角形的周长是．
(1)若腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长．
(2)若其中一边的长为，求这个等腰三角形其余两边的长．
10．（25-26八年级上·甘肃陇南·阶段检测）某校计划在校园内修建一个等腰三角形花坛，其周长为30米，底边比腰短3米．求花坛各边的长度．
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