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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.3.1 等腰三角形的性质定理——等边对等角（原卷版）
一、等边对等角
1. ______：等腰三角形的两个______。简记为：在同一个三角形中，______。
2. ______：在△ABC中，AB=AC。______：∠B=∠C。
3. ______：作顶角的______，用______证△ABD≌△ACD，得∠B=∠C。
4. ______：已知等腰三角形＋一个角的度数→用等边对等角＋内角和180°分类求其他角。注意需分该角是______还是______。
二、等边三角形的内角
1. ______：等边三角形的各个内角都等于______。
2. ______：等边△ABC中三边相等→三次用等边对等角→∠A=∠B=∠C，由内角和180°得各角=60°。
3. ______：既是等腰三角形（有三组腰和底），每个角固定60°，每条边相等。
4. ______：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的______。
考点一 等边对等角
例1．若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是（ ）
A． B． C．或 D．或
变式1．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角是（）
A． B．或 C． D．或
变式2．在等腰三角形中，已知，你知道这个等腰三角形的底角是多少度吗？如果呢？
考点二 等边三角形的内角
例2．如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．如图，为等边三角形，D为延长线上一点，作交的延长线于E．若，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
变式2．如图，是等边三角形，P为上一点，在上取一点D，使，且，则的度数是______．

一、选择题
1．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等腰中，，，将绕点A顺时针旋转得到，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，点是等边三角形的边上的一点（点与点、点不重合），则在以线段，，为边的三角形中，最大的内角的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级上·全国·期末）已知，点P在内部，点是点P关于的对称点，点是点P关于的对称点，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
二、填空题
6．（25-26八年级上·江苏南京·开学考试）如果等腰三角形的底角是，那么它的顶角是______．
7．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为_______．
8．（2026·江苏淮安·一模）等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是______°．
三、解答题
9．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，求的度数．
10．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末） 如图，在中，，点D、E分别在边上，，求证：．
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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.3.1 等腰三角形的性质定理——等边对等角（解析版）
一、等边对等角
1. 性质定理1：等腰三角形的两个底角相等。简记为：在同一个三角形中，等边对等角。
2. 已知：在△ABC中，AB=AC。求证：∠B=∠C。
3. 证明：作顶角的角平分线AD，用SAS证△ABD≌△ACD，得∠B=∠C。
4. 应用：已知等腰三角形＋一个角的度数→用等边对等角＋内角和180°分类求其他角。注意需分该角是顶角还是底角。
二、等边三角形的内角
1. 推论：等边三角形的各个内角都等于60°。
2. 推导：等边△ABC中三边相等→三次用等边对等角→∠A=∠B=∠C，由内角和180°得各角=60°。
3. 等边三角形性质：既是等腰三角形（有三组腰和底），每个角固定60°，每条边相等。
4. 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的一切性质。
考点一 等边对等角
例1．若等腰三角形的一个角是，则它的一个底角是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】根据未明确给出是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和为计算底角即可．
【详解】解：当为底角时，则另一个底角是；
当为顶角时，可得底角为.
则该等腰三角形的底角为或．
变式1．等腰三角形的一个外角是，则它的顶角是（）
A． B．或 C． D．或
【答案】B
【分析】先根据邻补角性质求出与外角相邻的内角，再分该内角为顶角或底角两种情况，结合等腰三角形性质与三角形内角和定理计算顶角．
【详解】当的角是顶角的外角时，顶角的度数为；
当的角是底角的外角时，底角的度数为，
所以顶角的度数为；
故顶角的度数为或．
变式2．在等腰三角形中，已知，你知道这个等腰三角形的底角是多少度吗？如果呢？
【答案】当时，底角为；当时，底角为或
【分析】根据等腰三角形两底角相等进行求解即可．
【详解】解：当时，
∵，
∴一定是等腰三角形的顶角，
∴这个等腰三角形的底角是；
当时，
∵
∴可能是等腰三角形的顶角也可能是底角，
∴当为等腰三角形的顶角时，则底角是，
当为等腰三角形的底角时，则底角为；
综上，这个等腰三角形的底角是或。．
考点二 等边三角形的内角
例2．如图，已知等边三角形，点为线段上一点，沿折叠得，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了折叠的性质，等腰及等边三角形的性质、三角形内角和定理，等边三角形的三个内角都相等，且都等于．由折叠性质可得得到，，再求出，利用等腰三角形的性质和三角形内角和即可求出的度数，熟记三角形相关几何性质是解决问题的关键．
【详解】解：等边，
，，
，，
，
由折叠性质可得，
，，
，
，
，
，
故答案为：A．
变式1．如图，为等边三角形，D为延长线上一点，作交的延长线于E．若，则的长为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行线的性质，根据等边三角形的性质得出，，根据，得出，，说明为等边三角形，根据等边三角形的性质得出．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
故选：A．
变式2．如图，是等边三角形，P为上一点，在上取一点D，使，且，则的度数是______．

【答案】/20度
【分析】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，可以结合等边三角形的性质进行解答．由已知条件可知，结合，可得的度数，从而得到的度数；根据等边三角形的性质，可以得到，结合即可解答此题．
【详解】解：，
．
，，
，．
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
一、选择题
1．（25-26八年级下·安徽宿州·期末）如图，在中，，，是的中线，平分，、相交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等边对等角结合三角形的内角和定理可得，由三线合一可得，结合角平分线可得，最后使用三角形内角和定理求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
2．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，是边上的高．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由等腰三角形的性质求出顶角的度数，再由直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是边上的高，
∴．
3.（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在等腰中，，，将绕点A顺时针旋转得到，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据等腰三角形的性质与旋转的性质求解即可．
【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，
又∵，，
∴，，
∴．
4．（24-25八年级上·广东汕头·期末）已知，点是等边三角形的边上的一点（点与点、点不重合），则在以线段，，为边的三角形中，最大的内角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解决问题的关键．过点作交于点，证明是等边三角形得，则，，由此即可得出答案．
【详解】解：过点作交于点，如图所示：
是等边三角形，
，，
，
，，
，
是等边三角形，
，
，，
在以线段，，为边的三角形中，最大的内角为．
故选：．
5．（24-25八年级上·全国·期末）已知，点P在内部，点是点P关于的对称点，点是点P关于的对称点，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【分析】本题考查了轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．
【详解】解：∵P为内部一点，点P关于的对称点分别为，
∴且，
∴是等边三角形．如图，
故选：D．
二、填空题
6．（25-26七年级下·江苏南京·开学考试）如果等腰三角形的底角是，那么它的顶角是______．
【答案】80
【分析】根据三角形内角和定理，三角形内角和等于，等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形底角为，通过三角形内角和减去两个底角的度数可计算得到顶角的度数．
【详解】解：∵等腰三角形的底角是，
∴它的顶角是．
7．（25-26七年级下·河南平顶山·阶段检测）等腰三角形的一个内角为，则它的底角为_______．
【答案】或
【分析】解题时需分已知内角为顶角和底角两种情况讨论，再根据三角形内角和计算底角，验证是否成立即可．
【详解】解：根据等腰三角形性质，结合三角形内角和定理，分两种情况讨论：
①若为顶角，
则底角为；
②若为底角，
则底角为，此时顶角为，符合三角形内角和定理.
∴底角为或．
8．（2026·江苏淮安·一模）等腰三角形的顶角是，则它的一个底角是______°．
【答案】30
【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，结合三角形内角和定理，即可计算出底角的度数．
【详解】解：设底角的度数为，
由题意得，
，
解得．
三、解答题
9．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·阶段检测）如图，在中，，是边上的高，求的度数．
【答案】
【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及直角三角形的性质．利用等腰三角形的性质得到底角与顶角的关系，设出顶角度数，结合三角形内角和定理求出底角的度数；再根据高的定义得到，最后利用直角三角形两锐角互余求出的度数．
【详解】解：设，
，
，
又，
，
根据三角形内角和定理，，
，解得，
，
是边上的高，
，
．
10．（23-24八年级上·湖南邵阳·期末） 如图，在中，，点D、E分别在边上，，求证：．
【答案】见解析
【分析】先由等腰三角形得到，再由证明全等即可．
【详解】证明：∵，
∴，
∵ ，
∴．
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