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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.3.2 等腰三角形的性质定理——三线合一（解析版）
一、三线合一定理
1. 性质定理2（三线合一）：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合。
2. 在等腰△ABC中，AB=AC，若AD是顶角平分线→则AD也是底边上的中线（BD=CD）和底边上的高线（AD⊥BC）。
3. 三个方向可以互推：知一推二——已知其中任意一条线（角平分线/中线/高线），即可推出另外两条。
4. 证明思路：作顶角平分线AD→SAS证△ABD≌△ACD→BD=CD（中线）且∠ADB=∠ADC=90°（高线）。
二、三线合一的应用
1. 求角度：已知等腰+三线之一→用重合性质+等边对等角+三角形内角和180°求各角度。
2. 求边长：已知等腰+高线（也是中线）→用勾股定理或线段关系求边长。
3. 实际应用：等腰三角形屋顶/钢架/菜地中，利用三线合一确定垂直关系。
4. 等边三角形：等边三角形每条边上的高/中线/角平分线也是三线合一，是特殊情形。
考点一 三线合一的基本应用
例1．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴．
变式1．在等腰中，是边上的高，则度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断底和腰，再利用三线合一求解即可．
【详解】解：如图，
∵等腰中，．
∴，
∴，
∵是边上的高，
∴．
变式2．在中，，于点D，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】利用等腰三角形三线合一的性质得到与的关系，即可计算出结果．
【详解】解：∵在中，，，
∴是的中线，
∴，
又∵，
∴．
考点二 三线合一的综合运用
例2．如图，在中，，是的高，，求的度数．
【答案】
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形底边上的高平分顶角，结合已知的的度数即可求出的度数
【详解】解：∵在中，，是的高，
∴平分，
∵，
∴ ．
变式1．如图，在中，，是的角平分线，，求的长．
【答案】
【分析】易证是等腰三角形，由等腰三角形三线合一可得，即可解答．
【详解】解：，
∴是等腰三角形，
∵是的角平分线，，
．
变式2．如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长．
【答案】
【分析】根据等边三角形的性质得出，，，利用三角形内角和定理求出角的度数证明．
【详解】解：是等边三角形，平分，，
，，，
．
又，
，
，
．
一、选择题
1．（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵等腰三角形中，，，
∴平分
∴．
2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由等腰三角形“三线合一”的性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解．
【详解】解：∵，是边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图是某木质屋顶结构的外框示意图，其中，为横梁，为竖梁，且点在上．在安装竖梁时，只需测量，即可确定垂直于．这一操作的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等
C．等腰三角形“三线合一”
D．三角形具有稳定性
【答案】C
【详解】解：，
为等腰三角形，
，
为底边上的中线，
根据等腰三角形“三线合一”的性质，底边上的中线也是底边上的高，
故这一操作的数学依据是等腰三角形“三线合一”．
二、填空题
4.（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，若，则的度数为________．
【答案】
【分析】由等腰三角形的性质可得，，再由三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】解：∵屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，
∴，，
∴．
5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m．
【答案】20
【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，熟练掌握等腰三角形的性质，是解题的关键．根据等腰三角形“三线合一”进行求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：20．
6．（2026·贵州遵义·二模）如图，是等边的高，若，则的长为_________．
【答案】2
【分析】根据等边三角形的性质以及三线合一求解．
【详解】解：∵是等边的高，
∴．
7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，，则______．
【答案】
【分析】注意掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理．利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求解．
【详解】解：∵，D为的中点，
∴，，
∴．
8．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______．
【答案】等腰三角形的三线合一
【分析】本题考查了等腰三角形“三线合一”的性质，即等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形的“三线合一”．
故答案为：等腰三角形的“三线合一”．
三、解答题
9．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在等腰中，，点，在边上，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查等腰三角形三线合一的性质．熟悉等腰三角形三线合一的性质：等腰三角形底边上的中线，高以及顶角平分线重合，是解题的关键．
根据等腰三角形三线合一的性质，过点作于点，即等腰和等腰的高，证明，，继而证明．
【详解】证明：如图，过点作于点，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
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浙教版新版八上第二单元 新知超前
2.3.2 等腰三角形的性质定理——三线合一（解析版）
一、三线合一定理
1. ______：等腰三角形的______、______和______互相重合。
2. 在等腰△ABC中，AB=AC，若AD是顶角平分线→则AD也是底边上的______（BD=CD）和底边上的______（AD⊥BC）。
3. 三个方向可以互推：______——已知其中任意一条线（角平分线/中线/高线），即可推出另外两条。
4. ______：作顶角平分线AD→SAS证△ABD≌△ACD→BD=CD（中线）且∠ADB=∠ADC=90°（高线）。
二、三线合一的应用
1. ______：已知等腰+三线之一→用重合性质+等边对等角+三角形内角和180°求各角度。
2. ______：已知等腰+高线（也是中线）→用勾股定理或线段关系求边长。
3. ______：等腰三角形屋顶/钢架/菜地中，利用三线合一确定垂直关系。
4. ______：等边三角形每条边上的高/中线/角平分线也是三线合一，是特殊情形。
考点一 三线合一的基本应用
例1．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
变式1．在等腰中，是边上的高，则度数为（ ）
A． B． C． D．
变式2．在中，，于点D，若，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
考点二 三线合一的综合运用
例2．如图，在中，，是的高，，求的度数．
变式1．如图，在中，，是的角平分线，，求的长．
变式2．如图，在等边中，，平分， 点E在的延长线上，且 ，求的长．
一、选择题
1．（2026·云南普洱·二模）如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期中）如图，在中，，是边上的中线，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图是某木质屋顶结构的外框示意图，其中，为横梁，为竖梁，且点在上．在安装竖梁时，只需测量，即可确定垂直于．这一操作的数学依据是（ ）
A．垂线段最短
B．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等
C．等腰三角形“三线合一”
D．三角形具有稳定性
二、填空题
4．（25-26九年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，，是边的中点，若，则的度数为________．
5．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）八年级（1）班分到一块呈等腰三角形的菜地，如图，，为了方便灌溉，从顶点A修了一条与底边垂直的水渠， 已知， 则_______m．
6．（2026·贵州遵义·二模）如图，是等边的高，若，则的长为_________．
7．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）如图，在中，，D为的中点，，则______．
8．（25-26八年级上·山东滨州·期末）如图，从枕木的端点往铁轨拉两条长度相等的固定绳与，当固定点到枕木的端点的距离相等，且在同一直线上时，枕木就垂直于铁轨．其依据是______．
三、解答题
9．（23-24八年级上·北京·期中）如图，在等腰中，，点，在边上，．求证：．
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