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广东省广州市增城区2026年中考数学二模试卷
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A 选项：有 3 条对称轴，是轴对称图形；旋转180 无法和原图重合，不是中心对称图形。
B 选项：无对称轴，不是轴对称图形；旋转180 能重合，仅为中心对称图形。
C 选项：无对称轴，不是轴对称图形；旋转180 能重合，仅为中心对称图形。
D 选项：有多条对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转180 与原图重合，既是轴对称又是中心对称图形。
故答案为：D.
【分析】 先明确轴对称、中心对称图形的定义，再依次对四个图形分别验证两种对称性质，筛选同时满足两个条件的图形。由对称定义到图形逐一判定，最后得出符合双重条件的选项。
2．文化和旅游部数据显示，2026年“五一”假期，全国国内出游约325000000人次.将325000000用科学记数法表示为（　　）.
A．3.25×107 B．32.5×107 C．3.25×108 D．32.5×108
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】确定a：把小数点左移 8 位，得到a=3.25（满足1≤3.25<10）
确定n：小数点移动 8 位，故n=8
325000000=3.25×108
故答案为：C.
【分析】先回忆科学记数法规范格式要求，限定a的取值范围1≤a<10；将原大数小数点向左移动，得到符合要求的a，移动的位数即为10的指数n，再匹配选项得出答案。由科学记数法定义，到确定a、n，最后完成数字转化.
3．不等式2x-5≤-1的解集在数轴上表示正确的是（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：2x 5≤ 1
2x ≤ 1+5
2x≤4
x≤2；
不等号为≤，包含数字2，在数轴数字2处画实心圆点；
x≤2，解集向数字左侧延伸画线。
A：实心点、向右画线（x≥2），错误；
B：空心点、向右画线（x>2），错误；
C：实心点、向左画线（x≤2），正确；
D：空心点、向左画线（x<2），错误。
故答案为：C.
【分析】先根据不等式基本性质移项、系数化为 1 求出解集x≤2；再依据数轴表示不等式解集的规则：≤用实心点、小于向左画，对照四个选项选出正确图像.
4．下列运算正确的是（　　）.
A．2a2+a=3a3 B．-2a3·3ab=-6a4b
C．（-a）2·a=-a3 D．（3a2）2÷a=6a3
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】选项 A，2a2与a不是同类项，不能合并，2a2+a≠3a3，错误.
选项 B，单项式乘法：系数相乘，同底数幂指数相加 2a3 3ab=( 2×3) (a3 a) b= 6a3+1b= 6a4b 计算正确.
选项 C，先算乘方再算乘法： ( a)2 a=a2 a=a2+1=a3≠ a3 错误.
选项 D，先积的乘方，再同底数幂除法： (3a2)2÷a=9a4÷a=9a4 1=9a3≠6a3 错误.
综上，正确选项为B。
故答案为：B.
【分析】 先判断是否为同类项能否合并，再依次运用积的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则计算，对比等式两侧结果，排除三个错误运算，锁定唯一正确选项.
5．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差.若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（　　）
甲 乙 丙
平均数 90 94 94
方差 1.6 0.8 1.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】对比平均数： 甲平均分 90，乙、丙平均分 94。 94>90，先排除甲（A 选项）。
对比剩余两组方差： 乙方差0.8，丙方差1.5。 方差越小，数据波动越小、成绩越稳定，0.8<1.5，乙状态更稳定。
综上，乙平均分最高、方差最小，符合条件，选B。
故答案为：B.
【分析】 先根据 “成绩好” 筛选平均数更大的小组，淘汰平均分低的甲组；再依据 “状态稳定” 的判定标准（方差越小波动越小），对比剩余小组的方差，选出方差最小的乙组.
6．对于抛物线下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴无交点 B．当x>0时，y随x的增大而增大
C．当x=2时，y有最小值-1 D．图象的顶点坐标为（-2，-1）
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】抛物线顶点式：y=a(x h)2+k，本题y=7(x 2)2 1，可得a=7，h=2，k=-1，顶点(2， 1)，开口向上。
选项 A，令x=0，y=7×(0 2)2 1=28 1=27，交点(0，27)，与y轴有交点，错误。
选项 B，对称轴x=2，开口向上，当x>2时y随x增大而增大；00不全部递增，错误。
选项 C，a=7>0，抛物线开口向上，顶点处取最小值；当x=2时，ymin= 1，正确。
选项 D，顶点式对应顶点(h，k)=(2， 1)，不是( 2， 1)，错误。
故答案为：C.
【分析】先从顶点式读出a、h、k，确定开口方向、对称轴、顶点坐标；再逐一验证四个选项：代入x=0判断与y轴交点；根据对称轴划分增减区间；由开口方向判断最值；核对顶点坐标，排除错误说法得到正确选项.
7．在某个时期内汽油价格受国际油价影响，总体呈上升趋势.某地95号汽油一月初价格是7.8元/升，三月初价格是8.3元/升，设该地95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（　　）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】一月初原价（初始量）7.8元 / 升，月平均增长率为x，间隔两个月到三月初。
二月初价格：7.8(1+x) 三月初价格：7.8(1+x)(1+x)=7.8(1+x)2
三月初实际价格为8.3元 / 升，因此列方程： 7.8(1+x)2=8.3
故答案为：B.
【分析】本题为增长率模型应用题，先确定初始基数、增长周期，根据复利增长公式：最终值 = 初始值 ×(1+增长率)间隔月数，代入数值列出方程，再对比选项筛选正确式子.
8．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，将△ABC绕点A按逆时针旋转到△AB'C'的位置，连接CC'，此时CC'∥AB，则∠BAB'的度数为（　　）.
A．30° B．35° C．40° D．50°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】△ABC绕点A旋转得到△AB'C'，
因此： AC=AC'，旋转角∠BAB'=∠CAC'，
△ACC'为等腰三角形，∠AC'C=∠ACC'，
∵CC'∥AB，∠CAB=75
∴∠ACC'=∠CAB=75 （两直线平行，内错角相等），
在等腰△ACC'中：
∠CAC'=180 ∠AC'C ∠ACC'=180 75 75 =30 ，
∠BAB'=∠CAC'=30 ，
故答案为：A.
【分析】由图形旋转的性质得到AC=AC'、旋转角相等∠BAB'=∠CAC'；结合平行线内错角相等求出等腰三角形底角；再利用三角形内角和算出顶角∠CAC'，等量代换得到所求旋转角∠BAB'.
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AC=9，则AE的值为（　　）.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】∵ BE平分∠ABC，∠C=90 ，ED⊥AB，
∴EC=ED（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠A=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠A=∠ABE=∠CBE，
Rt△ABC中∠C=90 ，
∠A+∠ABC=90 3∠A=90 ∠A=30
在Rt△ADE中，∠A=30 ，
∴ED=AE，
设AE=x，则ED=EC=x，
已知AC=AE+EC=9：
x+x=9 x=9 x=6，
AE=6.
故答案为：D
【分析】先利用角平分线性质得到EC=ED，垂直平分线性质得到AE=BE，推导出三个角相等，算出∠A=30 ；再设AE为未知数，结合 30°直角三角形直角边是斜边一半表示EC，根据AC=9列方程求解.
10．如图，在Rt△ABC中，AB=m，BC=n，∠ABC=90°，点D为BC上一点，且BD=AB，DE⊥BC，且∠EAC=45°，则△EDC的周长是（　　）
A．2n B．n+2m C． D．1.5m
【答案】A
【知识点】矩形的判定；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；多边形的周长
【解析】【解答】过点A作AF⊥DE，交ED的延长线于点F。
∵∠B=90 ，DE⊥BC，AF⊥DE，
∴四边形ABDF三个内角均为直角，是矩形。
又∵BD=AB=m，
∴矩形ABDF为正方形，得AB=AF=BD=DF=m，∠BAF=90 。
将△ABC绕点A逆时针旋转90 ，使AB与AF重合，得到△AFE'。
由旋转性质：
AC=AE'，BC=FE'=n，∠BAC=∠FAE'，∠AFE'=∠B=90 .
∵∠BAF=90 ，
∴∠CAE'=∠CAF+∠FAE'=∠CAF+∠BAC=∠BAF=90 .
已知∠EAC=45 ，
∴∠EAE'=∠CAE' ∠EAC=90 45 =45 ，
即∠EAC=∠EAE'.
在△AEC和△AE'E中：AC=AE' ，∠EAC=∠EAE' ，AE=AE.
∴△AEC △AE'E (SAS)，
得EC=EE'.
由FE'=n，DF=m，得DE'=DF+FE'=m+n.
设DE=t，则EE'=DE' DE=m+n t，
因此EC=m+n t.
又DC=BC BD=n m，
△EDC的周长：C△EDC=DE+DC+EC =t+(n m)+(m+n t) =2n.
故答案为：A.
【分析】先通过作垂线构造正方形ABDF，利用AB=BD完成矩形到正方形的判定；再通过旋转将△ABC转化为△AFE'，结合45 角证明三角形全等，把斜边EC等量代换为竖直线段EE'；最后将三角形三边求和，通过代数化简消去参数m，得到周长定值2n.
11．要使代数式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
故，
解得，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD=36°，则∠AOD的度数为　 　.
【答案】144°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOB为平角，∠AOD与∠BOD互为邻补角，满足∠AOD+∠BOD=180 .
已知∠BOD=36 ，
∴∠AOD=180 ∠BOD=180 36 =144 .
故答案为：144 .
【分析】根据两条直线相交形成邻补角的位置关系，利用邻补角互补（和为180 ）的数量性质，用平角度数减去已知角∠BOD的度数，直接计算得到∠AOD的度数.
13．分式方程的解为　 　.
【答案】x=-5
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】
去分母，两边同乘最简公分母x(x+3)，得：5(x+3)=2x
去括号： 5x+15=2x
移项、合并同类项： 5x 2x= 15，
3x= 15，
系数化为1： x= 5，
检验：把x= 5代入x(x+3)，
( 5)×( 5+3)=( 5)×( 2)=10≠0，
∴x= 5是原分式方程的解.
故答案为：x= 5.
【分析】 先确定最简公分母，等式两边同乘公分母消去分母转化为一元一次方程；按整式方程步骤求解；最后必须代入公分母检验，保证分母不为 0，排除增根.
14．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是　 　.
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】一元二次方程标准形式：ax2+bx+c=0.
方程x2 2x+k 1=0中：a=1，b=-2，c=k-1.
方程有两个相等实数根，判别式Δ=b2 4ac=0.
代入得：( 2)2 4×1×(k 1)=0
4 4(k 1)=0
4 4k+4=0
8 4k=0
4k=8
k=2
故答案为：2.
【分析】已知一元二次方程有两个相等实数根，根据判别式性质Δ=0；先提取方程中a、b、c的值，代入判别式公式构建关于k的一元一次方程，解方程求出k.
15．如图，已知扇形的半径是9cm，圆心角为120°，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为　 　cm.
【答案】3
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】求扇形弧长 扇形半径R=9cm，圆心角n=120 ，
弧长公式：L===6π.
设圆锥底面半径为r，底面周长C=2πr，
因此：2πr=6π.
2r=6 r=3.
故答案为：3.
【分析】 扇形围成圆锥时，扇形弧长等于圆锥底面圆周长；先用扇形弧长公式算出弧长，再结合圆周长公式建立方程，求解底面半径.
16．如图，在足球比赛中，球员甲带球奔向对方球门AB，在不考虑其他因素的情况下，一般射门角度越大，射门进球的可能性就越大.球员甲带球路线ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，过AB的⊙O与CD相切于点F.球员甲带球到点　 　（填“C”或“F”）射门，进球的可能性更大；若AB=4，BD=1，则DF的长为　 　.
【答案】F；
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】第1空：根据圆周角与圆外角的性质：同弧同侧，圆外角小于圆周角。
点F在⊙O上，∠AFB是弧AB所对的圆周角；
点C在⊙O外，∠ACB是弧AB所对的圆外角，
因此∠AFB>∠ACB.
射门角度越大进球可能性越大，故球员甲带球到点F射门，进球的可能性更大。
第2空：已知AB=4，BD=1，由线段和差得AD=AB+BD=4+1=5.
∵ 直线DE与⊙O相切于点F，直线DBA是⊙O的割线，交⊙O于B、A两点，
根据切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长的平方等于该点到割线与圆两个交点的线段长的乘积，
即 DF2=DB DA
代入数值计算： DF2=1×5=5
∵DF>0，
∴DF=。
故答案为：F，.
【分析】第1空利用“同弧同侧圆外角小于圆周角” 的性质，比较两点对球门AB的张角大小，张角更大的位置进球可能性更高；
第2空先确定割线两段的长度，再借助切割线定理建立等量关系，代入数值计算得到切线长DF.
17．解方程组：
【答案】解：①+②，得，
3x=9
x=3
把x=3代入①，得
3-y=2
y=1
原方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先观察方程组系数特征，发现未知数y的系数互为相反数，选用加减消元法；通过两方程相加消去y，将二元方程组转化为一元一次方程，求出x的值；再将x回代到原方程中，计算得到y的值，完成方程组求解.
18．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：．
【答案】证明：四边形是矩形，
，
又，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据矩形性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．已知
（1）化简T；
（2）已知求T的值.
【答案】（1）解：
（2）∴a=2.
∴T的值为1.
【知识点】分式的化简求值-直接代入；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）先对分子分母因式分解，约分统一分母，再同分母分式相减合并得到最简分式；
（2）先根据负整数指数幂求出a的数值，再代入最简分式计算结果。由因式分解、分式约分、分式加减完成化简，再结合负指数运算代入求值。
20．如图，已知反比例函数与直线y=-2x+4交于点A（3，n），B（m，6）.
（1）求m，n的值及反比例函数解析式；
（2）根据函数图象，直接写出的解集.
【答案】（1）解：把点A（3，n）代入y=-2x+4得：n=-2×3+4=-2，
∴点A（3，-2），
把点A（3，-2）代入得：k=3×（-2）=-6，
∴反比例函数的表达式为
把点B（m，6）代入得：
∴m=-1，
∴B（-1，6）
（2）-13
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）不等式含义：反比例函数图象在一次函数图象上方对应的x取值。
两交点横坐标：B( 1，6)、A(3， 2)，结合图象分布：
1x>3时，双曲线在直线上方。
∴ 解集： 13.
【分析】（1）由点A(3，n)在一次函数y= 2x+4图象上，把x=3代入直线解析式，求出n，得到完整交点A坐标；由交点A同时在反比例y=图象上，将A横纵坐标代入，算出k，写出反比例函数解析式；由点B(m，6)在已求出的反比例图象上，把y=6代入反比例解析式，解方程求出m.
（2）由不等式> 2x+4的几何含义，转化为：反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围；由两函数交点横坐标x= 1、x=3，结合反比例定义域x≠0，把数轴分成四段分段观察图象高低；由 “反比例图像在上” 筛选出符合条件的两段区间，合并写出解集.
21．某学校举行数学文化知识竞赛活动，现随机抽取了20名学生的“数学知识竞赛”成绩，经过整理得到以下尚不完整的频数分布表：
成绩x(单位：分） 频数/人数
60≤x<70 2
70≤x<80 a
80≤x<90 10
90≤x<100 4
（1）在频数分布表中，a=　 　；
（2）若该校九年级共有500名学生，根据统计结果估计成绩在80分及以上的约有多少名学生
（3）这20名学生中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这4人中随机抽出两人作为优秀参赛者在年级学生大会上发言，求抽出的两名学生都是女生的概率
【答案】（1）4
（2）（人），
∴估计成绩在80分及以上的约有350名学生.
（3）两名男生和两名女生分别设男1、男2、女1、女2
由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种：（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），
（男2，男1），（男2，女1），（男2，女2），（女1，男1），（女1，男2），（女1，女2），（女2，男1），（女2，男2），（女2，女1）
这些结果出现的可能性相等.
其中抽出的两名学生都是女生的结果有2种，分别是（女1，女2）、（女2，女1）
∴P（抽出的两名学生都是女生）.
【知识点】频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】总抽取人数为 20，各组频数之和等于总人数：
2+a+10+4=20 16+a=20 a=4.
故答案为：2.
【分析】(1) 由各组频数相加等于样本总容量 20，列一元一次方程求出未知频数a；
(2) 由样本中 80 分及以上的频率，结合全校总人数，用样本估计总体，计算对应人数；
(3) 由树状图列举不放回抽取全部等可能结果，统计满足 “两女” 的结果数量，再根据概率定义：概率 = 符合条件结果数 ÷ 总结果数，算出概率.
22．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，O为圆心.
（1）尺规作图：以AC为对角线，作AB、BC为边的平行四边形ABCD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：AD是⊙O的切线.
【答案】（1）解：如图，平行四边形ABCD为所求.
（2）证明：连接并延长AO交BC于点H，连接OC，OB，
∵AB=AC，OB=OC
∴点A，点O都在BC的垂直平分线上，
∴AH垂直平分BC，∠OHB=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠OHB=∠OAD=90°
∴AD⊥OA
∵OA是⊙O的半径
∴AD是⊙O的切线.
【知识点】平行四边形的性质；切线的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）由平行四边形对角线平分、两组对边分别相等的性质作图：以C为圆心、AB长为半径画弧；以A为圆心、BC长为半径画弧；两弧交点为D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求平行四边形.
（2）由AB=AC，OB=OC，根据两点确定一条垂直平分线，推出A、O都在BC垂直平分线上，延长AO交BC于H，得AH⊥BC，∠OHB=90 ；由四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC；由两直线平行，同位角相等，得∠OAD=∠OHB=90 ，即AD⊥OA；由OA是圆O半径，根据切线判定定理（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线），证出AD是圆O切线.
23．桔棒俗称“吊杆”“称杆”（如图10-1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.如图10-2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，且AB=6米，OA：OB=2：1.当点A位于最高点时，∠AOM=127°.
（1）求OA的长度；
（2）求点A位于最高点时到地面的距离；
（3）当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度.
（参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
【答案】（1）解：∵AB=6，OA：OB=2：1
（米）
答：OA的长度为4米.
（2）过O作EF⊥OM于O，过A作AG⊥EF于G
∵AB=6米，OA：OB=2：1，
∴OA=4米，OB=2米，
∵∠AOM=127°，∠EOM=90°，
，
在Rt△AOG中，AG=AO×sin37°≈4×0.6=2.4（米），
∵OM=3米
∴点A位于最高点时到地面的距离为2.4+3=5.4（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为5.4米.
（3）过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D
∵∠AOE=37°，
∴∠BOC=∠AOE=37°，
（米），
在Rt△OBC中，
BC=sin∠OCB×OB=sin37°×OB≈0.6×2=1.2（米），
在Rt△OB1D中，（米），
（米），
∴此时水桶B上升的高度为1.8米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)由线段比例OA：OB=2：1得到OA占杠杆总长AB的分数，代入杠杆总长AB=6，直接计算线段OA长度，同步求出OB为后两问铺垫；
(2)由钝角∠AOM=127 ，作水平辅助线构造直角三角形，算出直角三角形内锐角37 ，利用正弦函数求出A到水平线EF的竖直高度AG；再由支撑杆OM是水平线到地面固定高度，两段竖直长度相加，得到点A到地面总距离；
(3)由图形旋转性质，旋转前后杠杆线段长度不变，即OB=OB1；先算出旋转后新的锐角17.5 ，分别构造初始、旋转后两个直角三角形，求出水桶初始下垂竖直长度BC与旋转后下垂长度B1D；两段长度相加，即为水桶上升的总高度.
24．在平面直角坐标系中，点P（x1，y1），点Q（x2，y2），当时，我们称点P与点Q互为“等和点”.
例如：点M（2，-3）与点N（-2，1）互为“等和点”.
（1）点A（2，3）与点B（-3，b）互为“等和点”，求b的值；
（2）直线在第一象限的部分记为图象G1，抛物线在-1<4的部分记为图象G2，点E在图象G1上，点F在图象G2上.
①若点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标；
②若在图象G2上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得，2+3=-3+b，
∴b=8
（2）
设
在令中，
∴x=8.
∵点E在图象G1上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，
且0∴-1∵点E与点F互为“等和点”，
整理得解得（舍去）
当t=2时，
②设设
∴W1随a的增大而增大，
设设
W2关于n的二次函数图象的对称轴为直线
图象开口向上，当-1<4时，在对称轴右侧，W2随n的增大而增大，当n=-1时，当n=4时，
∵在图象G2上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”.
解得
∴m的范围为
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)由题目新定义 “等和点”，直接提取等式x1+y1=x2+y2，代入两点坐标构造一元一次方程，解方程求出参数b；
(2)①由直线G1、抛物线G2解析式，设F横坐标参数t，根据 “E横坐标比F大 1” 写出E坐标；再由等和点定义建立关于t的一元二次方程，求解后结合图象横坐标取值范围舍去不合理解，最后回代得到F坐标；
②由等和点定义，分别构造W1=xE+yE、W2=xF+yF两个函数；由一次函数单调性求出W1值域，由二次函数对称轴、单调性求出W2值域；由“总存在点F满足条件” 转化为两个值域必有交集，列不等式组求解m范围.
25．如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠B=60°，延长BC至点F，使得BC=CF.点D为平面内一点，AD=2，点E满足△BDC∽△CDE，连接EF.
（1）填空：△ABC的形状是　 　；
（2）求证：△BDC∽△FCE；
（3）AE的长度是否存在最小值 若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）等边三角形
（2）如图1，∵△BDC∽△CDE
在△BCD中，∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°
且∠DCE+∠DCB+∠FCE=180°
∴∠BDC=∠FCE
又∵BC=CF
即且∠BDC=∠FCE
∴△BDC∽△FCE.
（3）解：如图2，
以CF为边向上作等边三角形CFP
在EF上取点G，使得BD=FG，连接CG，PG由①知△BDC∽△FCE
∴∠DBC=∠GFC，∠DCB=∠CEF
又∵BC=FC
∴△DBC≌△GFC
∴CD=CG，∠GCF=∠DCB
∴∠CEF=∠GCF
∵∠GFC=∠CFE，
∴△GFC∽△CFE
即FG·FE=CF2=16
又∵∠ACB=∠PCF=60°
∴∠ACB-∠DCB=∠PCF-∠GCF，
即∠ACD=∠PCG
又∵AC=PC
∴△ACD≌△PCG
∴PG=AD=2，即点G在以点P为圆心，2为半径的圆上运动.
设直线FP与⊙P交于点G1，G2，
则G1G2是⊙P的直径，
在射线FP上取点E1，E2，使得
则F
又∵
在△EFE1和△GFG2中，
是直径，
∴E点在以E1E2为直径的圆上运动，设圆心为点O.
过点A作AM⊥BF，过点O作ON⊥AF
∵AB=BC=4，∠ABC=60°
∴FM=BC+CF-BM=8-2=6
∴∠BAF=90°，∠BFA=90°-∠ABC=30°
∴AE有最小值，最小值为
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；圆-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】已知AB=BC=4，∠B=60 ， 有一组邻边相等且一个内角为60 的三角形是等边三角形，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为：等边三角形.
【分析】(1)由AB=BC得到等腰三角形，结合内角∠B=60 ，由等边三角形判定定理直接判定△ABC为等边三角形；
(2)由已知△BDC∽△CDE，得到对应边成比例、对应角相等；利用平角等量代换推出夹角∠BDC=∠FCE，结合BC=CF替换线段，得到两组对应边成比例且夹角相等，证出△BDC∽△FCE；
(3)由相似三角形推全等，构造等边△CFP，通过角度等量代换证△ACD △PCG，转化线段PG=AD=2，确定动点G轨迹为圆；再由圆外一点到圆上点距离最短模型，用圆心距减半径求出AE最小值.
1 / 1广东省广州市增城区2026年中考数学二模试卷
1．下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）.
A． B．
C． D．
2．文化和旅游部数据显示，2026年“五一”假期，全国国内出游约325000000人次.将325000000用科学记数法表示为（　　）.
A．3.25×107 B．32.5×107 C．3.25×108 D．32.5×108
3．不等式2x-5≤-1的解集在数轴上表示正确的是（　　）.
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）.
A．2a2+a=3a3 B．-2a3·3ab=-6a4b
C．（-a）2·a=-a3 D．（3a2）2÷a=6a3
5．某校准备从甲、乙、丙、丁四个科技小组中选出一组，参加全区中小学科技创新竞赛，下表记录了各组平时成绩的平均数（单位：分）及方差.若要选出一个成绩好且状态稳定的小组去参加比赛，则应选择的小组是（　　）
甲 乙 丙
平均数 90 94 94
方差 1.6 0.8 1.5
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．对于抛物线下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴无交点 B．当x>0时，y随x的增大而增大
C．当x=2时，y有最小值-1 D．图象的顶点坐标为（-2，-1）
7．在某个时期内汽油价格受国际油价影响，总体呈上升趋势.某地95号汽油一月初价格是7.8元/升，三月初价格是8.3元/升，设该地95号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意可列方程（　　）.
A． B．
C． D．
8．如图，在△ABC中，∠CAB=75°，将△ABC绕点A按逆时针旋转到△AB'C'的位置，连接CC'，此时CC'∥AB，则∠BAB'的度数为（　　）.
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BE平分∠ABC，ED垂直平分AB于点D，若AC=9，则AE的值为（　　）.
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在Rt△ABC中，AB=m，BC=n，∠ABC=90°，点D为BC上一点，且BD=AB，DE⊥BC，且∠EAC=45°，则△EDC的周长是（　　）
A．2n B．n+2m C． D．1.5m
11．要使代数式有意义，则的取值范围是　 　．
12．如图，直线AB，CD相交于点O，若∠BOD=36°，则∠AOD的度数为　 　.
13．分式方程的解为　 　.
14．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是　 　.
15．如图，已知扇形的半径是9cm，圆心角为120°，用这个扇形围成一个圆锥，则该圆锥底面圆的半径为　 　cm.
16．如图，在足球比赛中，球员甲带球奔向对方球门AB，在不考虑其他因素的情况下，一般射门角度越大，射门进球的可能性就越大.球员甲带球路线ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上，过AB的⊙O与CD相切于点F.球员甲带球到点　 　（填“C”或“F”）射门，进球的可能性更大；若AB=4，BD=1，则DF的长为　 　.
17．解方程组：
18．如图，在矩形中，点E，F分别在边和上，且．求证：．
19．已知
（1）化简T；
（2）已知求T的值.
20．如图，已知反比例函数与直线y=-2x+4交于点A（3，n），B（m，6）.
（1）求m，n的值及反比例函数解析式；
（2）根据函数图象，直接写出的解集.
21．某学校举行数学文化知识竞赛活动，现随机抽取了20名学生的“数学知识竞赛”成绩，经过整理得到以下尚不完整的频数分布表：
成绩x(单位：分） 频数/人数
60≤x<70 2
70≤x<80 a
80≤x<90 10
90≤x<100 4
（1）在频数分布表中，a=　 　；
（2）若该校九年级共有500名学生，根据统计结果估计成绩在80分及以上的约有多少名学生
（3）这20名学生中，得分在90分及以上的是两名男生和两名女生，现要在这4人中随机抽出两人作为优秀参赛者在年级学生大会上发言，求抽出的两名学生都是女生的概率
22．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，⊙O是△ABC的外接圆，O为圆心.
（1）尺规作图：以AC为对角线，作AB、BC为边的平行四边形ABCD（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：AD是⊙O的切线.
23．桔棒俗称“吊杆”“称杆”（如图10-1），是我国古代农用工具，始见于《墨子·备城门》，是一种利用杠杆原理的取水机械.如图10-2所示的是桔槔示意图，OM是垂直于水平地面的支撑杆，OM=3米，AB是杠杆，且AB=6米，OA：OB=2：1.当点A位于最高点时，∠AOM=127°.
（1）求OA的长度；
（2）求点A位于最高点时到地面的距离；
（3）当点A从最高点逆时针旋转54.5°到达最低点A1时，求此时水桶B上升的高度.
（参考数据：sin37°≈0.6，sin17.5°≈0.3，tan37°≈0.8）
24．在平面直角坐标系中，点P（x1，y1），点Q（x2，y2），当时，我们称点P与点Q互为“等和点”.
例如：点M（2，-3）与点N（-2，1）互为“等和点”.
（1）点A（2，3）与点B（-3，b）互为“等和点”，求b的值；
（2）直线在第一象限的部分记为图象G1，抛物线在-1<4的部分记为图象G2，点E在图象G1上，点F在图象G2上.
①若点E与点F互为“等和点”，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，求点F的坐标；
②若在图象G2上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”，求m的取值范围.
25．如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠B=60°，延长BC至点F，使得BC=CF.点D为平面内一点，AD=2，点E满足△BDC∽△CDE，连接EF.
（1）填空：△ABC的形状是　 　；
（2）求证：△BDC∽△FCE；
（3）AE的长度是否存在最小值 若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A 选项：有 3 条对称轴，是轴对称图形；旋转180 无法和原图重合，不是中心对称图形。
B 选项：无对称轴，不是轴对称图形；旋转180 能重合，仅为中心对称图形。
C 选项：无对称轴，不是轴对称图形；旋转180 能重合，仅为中心对称图形。
D 选项：有多条对称轴，是轴对称图形；绕中心旋转180 与原图重合，既是轴对称又是中心对称图形。
故答案为：D.
【分析】 先明确轴对称、中心对称图形的定义，再依次对四个图形分别验证两种对称性质，筛选同时满足两个条件的图形。由对称定义到图形逐一判定，最后得出符合双重条件的选项。
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】确定a：把小数点左移 8 位，得到a=3.25（满足1≤3.25<10）
确定n：小数点移动 8 位，故n=8
325000000=3.25×108
故答案为：C.
【分析】先回忆科学记数法规范格式要求，限定a的取值范围1≤a<10；将原大数小数点向左移动，得到符合要求的a，移动的位数即为10的指数n，再匹配选项得出答案。由科学记数法定义，到确定a、n，最后完成数字转化.
3．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：2x 5≤ 1
2x ≤ 1+5
2x≤4
x≤2；
不等号为≤，包含数字2，在数轴数字2处画实心圆点；
x≤2，解集向数字左侧延伸画线。
A：实心点、向右画线（x≥2），错误；
B：空心点、向右画线（x>2），错误；
C：实心点、向左画线（x≤2），正确；
D：空心点、向左画线（x<2），错误。
故答案为：C.
【分析】先根据不等式基本性质移项、系数化为 1 求出解集x≤2；再依据数轴表示不等式解集的规则：≤用实心点、小于向左画，对照四个选项选出正确图像.
4．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】选项 A，2a2与a不是同类项，不能合并，2a2+a≠3a3，错误.
选项 B，单项式乘法：系数相乘，同底数幂指数相加 2a3 3ab=( 2×3) (a3 a) b= 6a3+1b= 6a4b 计算正确.
选项 C，先算乘方再算乘法： ( a)2 a=a2 a=a2+1=a3≠ a3 错误.
选项 D，先积的乘方，再同底数幂除法： (3a2)2÷a=9a4÷a=9a4 1=9a3≠6a3 错误.
综上，正确选项为B。
故答案为：B.
【分析】 先判断是否为同类项能否合并，再依次运用积的乘方、单项式乘法、同底数幂除法法则计算，对比等式两侧结果，排除三个错误运算，锁定唯一正确选项.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】对比平均数： 甲平均分 90，乙、丙平均分 94。 94>90，先排除甲（A 选项）。
对比剩余两组方差： 乙方差0.8，丙方差1.5。 方差越小，数据波动越小、成绩越稳定，0.8<1.5，乙状态更稳定。
综上，乙平均分最高、方差最小，符合条件，选B。
故答案为：B.
【分析】 先根据 “成绩好” 筛选平均数更大的小组，淘汰平均分低的甲组；再依据 “状态稳定” 的判定标准（方差越小波动越小），对比剩余小组的方差，选出方差最小的乙组.
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】抛物线顶点式：y=a(x h)2+k，本题y=7(x 2)2 1，可得a=7，h=2，k=-1，顶点(2， 1)，开口向上。
选项 A，令x=0，y=7×(0 2)2 1=28 1=27，交点(0，27)，与y轴有交点，错误。
选项 B，对称轴x=2，开口向上，当x>2时y随x增大而增大；00不全部递增，错误。
选项 C，a=7>0，抛物线开口向上，顶点处取最小值；当x=2时，ymin= 1，正确。
选项 D，顶点式对应顶点(h，k)=(2， 1)，不是( 2， 1)，错误。
故答案为：C.
【分析】先从顶点式读出a、h、k，确定开口方向、对称轴、顶点坐标；再逐一验证四个选项：代入x=0判断与y轴交点；根据对称轴划分增减区间；由开口方向判断最值；核对顶点坐标，排除错误说法得到正确选项.
7．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】一月初原价（初始量）7.8元 / 升，月平均增长率为x，间隔两个月到三月初。
二月初价格：7.8(1+x) 三月初价格：7.8(1+x)(1+x)=7.8(1+x)2
三月初实际价格为8.3元 / 升，因此列方程： 7.8(1+x)2=8.3
故答案为：B.
【分析】本题为增长率模型应用题，先确定初始基数、增长周期，根据复利增长公式：最终值 = 初始值 ×(1+增长率)间隔月数，代入数值列出方程，再对比选项筛选正确式子.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】△ABC绕点A旋转得到△AB'C'，
因此： AC=AC'，旋转角∠BAB'=∠CAC'，
△ACC'为等腰三角形，∠AC'C=∠ACC'，
∵CC'∥AB，∠CAB=75
∴∠ACC'=∠CAB=75 （两直线平行，内错角相等），
在等腰△ACC'中：
∠CAC'=180 ∠AC'C ∠ACC'=180 75 75 =30 ，
∠BAB'=∠CAC'=30 ，
故答案为：A.
【分析】由图形旋转的性质得到AC=AC'、旋转角相等∠BAB'=∠CAC'；结合平行线内错角相等求出等腰三角形底角；再利用三角形内角和算出顶角∠CAC'，等量代换得到所求旋转角∠BAB'.
9．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】∵ BE平分∠ABC，∠C=90 ，ED⊥AB，
∴EC=ED（角平分线上的点到角两边距离相等）。
∵ED垂直平分AB，
∴AE=BE（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），
∴∠A=∠ABE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠A=∠ABE=∠CBE，
Rt△ABC中∠C=90 ，
∠A+∠ABC=90 3∠A=90 ∠A=30
在Rt△ADE中，∠A=30 ，
∴ED=AE，
设AE=x，则ED=EC=x，
已知AC=AE+EC=9：
x+x=9 x=9 x=6，
AE=6.
故答案为：D
【分析】先利用角平分线性质得到EC=ED，垂直平分线性质得到AE=BE，推导出三个角相等，算出∠A=30 ；再设AE为未知数，结合 30°直角三角形直角边是斜边一半表示EC，根据AC=9列方程求解.
10．【答案】A
【知识点】矩形的判定；正方形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；多边形的周长
【解析】【解答】过点A作AF⊥DE，交ED的延长线于点F。
∵∠B=90 ，DE⊥BC，AF⊥DE，
∴四边形ABDF三个内角均为直角，是矩形。
又∵BD=AB=m，
∴矩形ABDF为正方形，得AB=AF=BD=DF=m，∠BAF=90 。
将△ABC绕点A逆时针旋转90 ，使AB与AF重合，得到△AFE'。
由旋转性质：
AC=AE'，BC=FE'=n，∠BAC=∠FAE'，∠AFE'=∠B=90 .
∵∠BAF=90 ，
∴∠CAE'=∠CAF+∠FAE'=∠CAF+∠BAC=∠BAF=90 .
已知∠EAC=45 ，
∴∠EAE'=∠CAE' ∠EAC=90 45 =45 ，
即∠EAC=∠EAE'.
在△AEC和△AE'E中：AC=AE' ，∠EAC=∠EAE' ，AE=AE.
∴△AEC △AE'E (SAS)，
得EC=EE'.
由FE'=n，DF=m，得DE'=DF+FE'=m+n.
设DE=t，则EE'=DE' DE=m+n t，
因此EC=m+n t.
又DC=BC BD=n m，
△EDC的周长：C△EDC=DE+DC+EC =t+(n m)+(m+n t) =2n.
故答案为：A.
【分析】先通过作垂线构造正方形ABDF，利用AB=BD完成矩形到正方形的判定；再通过旋转将△ABC转化为△AFE'，结合45 角证明三角形全等，把斜边EC等量代换为竖直线段EE'；最后将三角形三边求和，通过代数化简消去参数m，得到周长定值2n.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
故，
解得，
故答案为：
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
12．【答案】144°
【知识点】对顶角及其性质
【解析】【解答】∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOB为平角，∠AOD与∠BOD互为邻补角，满足∠AOD+∠BOD=180 .
已知∠BOD=36 ，
∴∠AOD=180 ∠BOD=180 36 =144 .
故答案为：144 .
【分析】根据两条直线相交形成邻补角的位置关系，利用邻补角互补（和为180 ）的数量性质，用平角度数减去已知角∠BOD的度数，直接计算得到∠AOD的度数.
13．【答案】x=-5
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】
去分母，两边同乘最简公分母x(x+3)，得：5(x+3)=2x
去括号： 5x+15=2x
移项、合并同类项： 5x 2x= 15，
3x= 15，
系数化为1： x= 5，
检验：把x= 5代入x(x+3)，
( 5)×( 5+3)=( 5)×( 2)=10≠0，
∴x= 5是原分式方程的解.
故答案为：x= 5.
【分析】 先确定最简公分母，等式两边同乘公分母消去分母转化为一元一次方程；按整式方程步骤求解；最后必须代入公分母检验，保证分母不为 0，排除增根.
14．【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】一元二次方程标准形式：ax2+bx+c=0.
方程x2 2x+k 1=0中：a=1，b=-2，c=k-1.
方程有两个相等实数根，判别式Δ=b2 4ac=0.
代入得：( 2)2 4×1×(k 1)=0
4 4(k 1)=0
4 4k+4=0
8 4k=0
4k=8
k=2
故答案为：2.
【分析】已知一元二次方程有两个相等实数根，根据判别式性质Δ=0；先提取方程中a、b、c的值，代入判别式公式构建关于k的一元一次方程，解方程求出k.
15．【答案】3
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】求扇形弧长 扇形半径R=9cm，圆心角n=120 ，
弧长公式：L===6π.
设圆锥底面半径为r，底面周长C=2πr，
因此：2πr=6π.
2r=6 r=3.
故答案为：3.
【分析】 扇形围成圆锥时，扇形弧长等于圆锥底面圆周长；先用扇形弧长公式算出弧长，再结合圆周长公式建立方程，求解底面半径.
16．【答案】F；
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】第1空：根据圆周角与圆外角的性质：同弧同侧，圆外角小于圆周角。
点F在⊙O上，∠AFB是弧AB所对的圆周角；
点C在⊙O外，∠ACB是弧AB所对的圆外角，
因此∠AFB>∠ACB.
射门角度越大进球可能性越大，故球员甲带球到点F射门，进球的可能性更大。
第2空：已知AB=4，BD=1，由线段和差得AD=AB+BD=4+1=5.
∵ 直线DE与⊙O相切于点F，直线DBA是⊙O的割线，交⊙O于B、A两点，
根据切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长的平方等于该点到割线与圆两个交点的线段长的乘积，
即 DF2=DB DA
代入数值计算： DF2=1×5=5
∵DF>0，
∴DF=。
故答案为：F，.
【分析】第1空利用“同弧同侧圆外角小于圆周角” 的性质，比较两点对球门AB的张角大小，张角更大的位置进球可能性更高；
第2空先确定割线两段的长度，再借助切割线定理建立等量关系，代入数值计算得到切线长DF.
17．【答案】解：①+②，得，
3x=9
x=3
把x=3代入①，得
3-y=2
y=1
原方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先观察方程组系数特征，发现未知数y的系数互为相反数，选用加减消元法；通过两方程相加消去y，将二元方程组转化为一元一次方程，求出x的值；再将x回代到原方程中，计算得到y的值，完成方程组求解.
18．【答案】证明：四边形是矩形，
，
又，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据矩形性质可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
（2）∴a=2.
∴T的值为1.
【知识点】分式的化简求值-直接代入；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）先对分子分母因式分解，约分统一分母，再同分母分式相减合并得到最简分式；
（2）先根据负整数指数幂求出a的数值，再代入最简分式计算结果。由因式分解、分式约分、分式加减完成化简，再结合负指数运算代入求值。
20．【答案】（1）解：把点A（3，n）代入y=-2x+4得：n=-2×3+4=-2，
∴点A（3，-2），
把点A（3，-2）代入得：k=3×（-2）=-6，
∴反比例函数的表达式为
把点B（m，6）代入得：
∴m=-1，
∴B（-1，6）
（2）-13
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】（2）不等式含义：反比例函数图象在一次函数图象上方对应的x取值。
两交点横坐标：B( 1，6)、A(3， 2)，结合图象分布：
1x>3时，双曲线在直线上方。
∴ 解集： 13.
【分析】（1）由点A(3，n)在一次函数y= 2x+4图象上，把x=3代入直线解析式，求出n，得到完整交点A坐标；由交点A同时在反比例y=图象上，将A横纵坐标代入，算出k，写出反比例函数解析式；由点B(m，6)在已求出的反比例图象上，把y=6代入反比例解析式，解方程求出m.
（2）由不等式> 2x+4的几何含义，转化为：反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围；由两函数交点横坐标x= 1、x=3，结合反比例定义域x≠0，把数轴分成四段分段观察图象高低；由 “反比例图像在上” 筛选出符合条件的两段区间，合并写出解集.
21．【答案】（1）4
（2）（人），
∴估计成绩在80分及以上的约有350名学生.
（3）两名男生和两名女生分别设男1、男2、女1、女2
由树状图可知，所有可能出现的结果共有12种：（男1，男2），（男1，女1），（男1，女2），
（男2，男1），（男2，女1），（男2，女2），（女1，男1），（女1，男2），（女1，女2），（女2，男1），（女2，男2），（女2，女1）
这些结果出现的可能性相等.
其中抽出的两名学生都是女生的结果有2种，分别是（女1，女2）、（女2，女1）
∴P（抽出的两名学生都是女生）.
【知识点】频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】总抽取人数为 20，各组频数之和等于总人数：
2+a+10+4=20 16+a=20 a=4.
故答案为：2.
【分析】(1) 由各组频数相加等于样本总容量 20，列一元一次方程求出未知频数a；
(2) 由样本中 80 分及以上的频率，结合全校总人数，用样本估计总体，计算对应人数；
(3) 由树状图列举不放回抽取全部等可能结果，统计满足 “两女” 的结果数量，再根据概率定义：概率 = 符合条件结果数 ÷ 总结果数，算出概率.
22．【答案】（1）解：如图，平行四边形ABCD为所求.
（2）证明：连接并延长AO交BC于点H，连接OC，OB，
∵AB=AC，OB=OC
∴点A，点O都在BC的垂直平分线上，
∴AH垂直平分BC，∠OHB=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC
∴∠OHB=∠OAD=90°
∴AD⊥OA
∵OA是⊙O的半径
∴AD是⊙O的切线.
【知识点】平行四边形的性质；切线的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）由平行四边形对角线平分、两组对边分别相等的性质作图：以C为圆心、AB长为半径画弧；以A为圆心、BC长为半径画弧；两弧交点为D，连接AD、CD，四边形ABCD即为所求平行四边形.
（2）由AB=AC，OB=OC，根据两点确定一条垂直平分线，推出A、O都在BC垂直平分线上，延长AO交BC于H，得AH⊥BC，∠OHB=90 ；由四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC；由两直线平行，同位角相等，得∠OAD=∠OHB=90 ，即AD⊥OA；由OA是圆O半径，根据切线判定定理（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线），证出AD是圆O切线.
23．【答案】（1）解：∵AB=6，OA：OB=2：1
（米）
答：OA的长度为4米.
（2）过O作EF⊥OM于O，过A作AG⊥EF于G
∵AB=6米，OA：OB=2：1，
∴OA=4米，OB=2米，
∵∠AOM=127°，∠EOM=90°，
，
在Rt△AOG中，AG=AO×sin37°≈4×0.6=2.4（米），
∵OM=3米
∴点A位于最高点时到地面的距离为2.4+3=5.4（米），
答：点A位于最高点时到地面的距离为5.4米.
（3）过B作BC⊥EF于C，过B1作B1D⊥EF于D
∵∠AOE=37°，
∴∠BOC=∠AOE=37°，
（米），
在Rt△OBC中，
BC=sin∠OCB×OB=sin37°×OB≈0.6×2=1.2（米），
在Rt△OB1D中，（米），
（米），
∴此时水桶B上升的高度为1.8米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】(1)由线段比例OA：OB=2：1得到OA占杠杆总长AB的分数，代入杠杆总长AB=6，直接计算线段OA长度，同步求出OB为后两问铺垫；
(2)由钝角∠AOM=127 ，作水平辅助线构造直角三角形，算出直角三角形内锐角37 ，利用正弦函数求出A到水平线EF的竖直高度AG；再由支撑杆OM是水平线到地面固定高度，两段竖直长度相加，得到点A到地面总距离；
(3)由图形旋转性质，旋转前后杠杆线段长度不变，即OB=OB1；先算出旋转后新的锐角17.5 ，分别构造初始、旋转后两个直角三角形，求出水桶初始下垂竖直长度BC与旋转后下垂长度B1D；两段长度相加，即为水桶上升的总高度.
24．【答案】（1）解：由题意得，2+3=-3+b，
∴b=8
（2）
设
在令中，
∴x=8.
∵点E在图象G1上，且点E的横坐标比点F的横坐标大1，
且0∴-1∵点E与点F互为“等和点”，
整理得解得（舍去）
当t=2时，
②设设
∴W1随a的增大而增大，
设设
W2关于n的二次函数图象的对称轴为直线
图象开口向上，当-1<4时，在对称轴右侧，W2随n的增大而增大，当n=-1时，当n=4时，
∵在图象G2上总存在点F，使得E、F两点互为“等和点”.
解得
∴m的范围为
【知识点】解一元一次不等式组；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)由题目新定义 “等和点”，直接提取等式x1+y1=x2+y2，代入两点坐标构造一元一次方程，解方程求出参数b；
(2)①由直线G1、抛物线G2解析式，设F横坐标参数t，根据 “E横坐标比F大 1” 写出E坐标；再由等和点定义建立关于t的一元二次方程，求解后结合图象横坐标取值范围舍去不合理解，最后回代得到F坐标；
②由等和点定义，分别构造W1=xE+yE、W2=xF+yF两个函数；由一次函数单调性求出W1值域，由二次函数对称轴、单调性求出W2值域；由“总存在点F满足条件” 转化为两个值域必有交集，列不等式组求解m范围.
25．【答案】（1）等边三角形
（2）如图1，∵△BDC∽△CDE
在△BCD中，∠DBC+∠DCB+∠BDC=180°
且∠DCE+∠DCB+∠FCE=180°
∴∠BDC=∠FCE
又∵BC=CF
即且∠BDC=∠FCE
∴△BDC∽△FCE.
（3）解：如图2，
以CF为边向上作等边三角形CFP
在EF上取点G，使得BD=FG，连接CG，PG由①知△BDC∽△FCE
∴∠DBC=∠GFC，∠DCB=∠CEF
又∵BC=FC
∴△DBC≌△GFC
∴CD=CG，∠GCF=∠DCB
∴∠CEF=∠GCF
∵∠GFC=∠CFE，
∴△GFC∽△CFE
即FG·FE=CF2=16
又∵∠ACB=∠PCF=60°
∴∠ACB-∠DCB=∠PCF-∠GCF，
即∠ACD=∠PCG
又∵AC=PC
∴△ACD≌△PCG
∴PG=AD=2，即点G在以点P为圆心，2为半径的圆上运动.
设直线FP与⊙P交于点G1，G2，
则G1G2是⊙P的直径，
在射线FP上取点E1，E2，使得
则F
又∵
在△EFE1和△GFG2中，
是直径，
∴E点在以E1E2为直径的圆上运动，设圆心为点O.
过点A作AM⊥BF，过点O作ON⊥AF
∵AB=BC=4，∠ABC=60°
∴FM=BC+CF-BM=8-2=6
∴∠BAF=90°，∠BFA=90°-∠ABC=30°
∴AE有最小值，最小值为
【知识点】等边三角形的判定；三角形全等的判定-SAS；圆-动点问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】已知AB=BC=4，∠B=60 ， 有一组邻边相等且一个内角为60 的三角形是等边三角形，
∴△ABC是等边三角形.
故答案为：等边三角形.
【分析】(1)由AB=BC得到等腰三角形，结合内角∠B=60 ，由等边三角形判定定理直接判定△ABC为等边三角形；
(2)由已知△BDC∽△CDE，得到对应边成比例、对应角相等；利用平角等量代换推出夹角∠BDC=∠FCE，结合BC=CF替换线段，得到两组对应边成比例且夹角相等，证出△BDC∽△FCE；
(3)由相似三角形推全等，构造等边△CFP，通过角度等量代换证△ACD △PCG，转化线段PG=AD=2，确定动点G轨迹为圆；再由圆外一点到圆上点距离最短模型，用圆心距减半径求出AE最小值.
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