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广东省兴宁市宋声学校2025-2026学年下学期八年级中段考数学试卷
1．根据如图信息可知，下列关于温度的不等式正确的是（　　）
洗涤说明
手洗，勿浸泡，不超过水温
A． B． C． D．
2．若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，这是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，他们讨论的不等式可能是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，某亭子的入口可以抽象成一个等边，立柱的端点D在上，且立柱与地面垂直（即，垂足为点E），则的值为（　　）
A． B． C． D．2
6．如图，直线与坐标轴的交点坐标分别为，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法错误的是（　　）
A．直角三角形的两个锐角的和是
B．底角相等的两个等腰三角形全等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么另一个锐角所对的直角边等于斜边的一半
8．如图，的斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
9．如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（　　）
A． B． C． D．2
11．用不等式表示“与3的差不大于的2倍”：　 　．
12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
13．为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足　 　时，选择乙种消费卡更为划算．
14．如图，在中，．以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点D，E，分别以点D，E为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点P．若，则的度数为　 　．
15．定义新运算：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：．那么不等式的解集为　 　．
16．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多，求这个多边形的边数．
17．如图，在四边形中，，平分．求证：是等腰三角形．
18．阅读对话后，完成下面的任务．
小华：老师，这道题“解不等式：●．不小心被墨迹污染看不见． 老师：小华，如果我告诉你这道题的答案是，且被墨迹污染的是一个常数，你能把这个常数补上吗？ 小华：我能补上，谢谢老师．
任务：请你根据对话，帮小华求出被墨迹污染的常数．
19．按要求完成下列各题：
（1）根据不等式的基本性质，用不等号填空：
若，则_________；
若，则_________；
若，则_________．
（2）已知，试比较与的大小．
20．如图，于交的延长线于点．求证：平分．
21．鸿志中学传统文化兴趣小组在国庆节前夕，准备组织学生为学校编织大、小两种中国结装饰校园，若编织2个大号中国结和4个小号中国结需要彩绳22米，若编织1个大号中国结和3个小号中国结需要彩绳14米．
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需要彩绳多少米？
（2）鸿志中学决定编织以上两种中国结共60个，编织这两种中国结的彩绳长不超过230米，那么该中学最多编织多少个大中国结？
22．我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球x（）盒．
（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式．
（2）如果学校需要购买盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？
（3）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？
23．如图1，在中，，，的平分线交边于点．
（1）求证：为等腰三角形．
（2）若的平分线交边于点，如图2，求证：．
（3）若的外角平分线交的延长线于点，请你探究（2）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，直接写出正确的结论．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，x≤40，
故答案为：C．
【分析】根据题意列出不等式即可求解．
2．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
两边同时减去2得，故A不符合题意；
两边同除以2得，故B不符合题意；
两边同时加2得，故C符合题意，
两边同乘得，故D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴．
故答案为：B
【分析】根据等边对等角可得∠C，根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A、，两边同时除以3（正数），得：，不符合对话内容；
B、，两边同时除以（负数，需要改变不等号方向），得：，不符合对话中；
C、，两边同时除以（负数，需要改变不等号方向），得：，不符合对话中；
D、，两边同时除以（负数，需要改变不等号方向），得：，符合对话内容．
故答案为：D
【分析】解不等式，结合在数轴上表示不等式的解集即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【分析】根据等边三角形性质可得，根据三角形内角和定理可得∠BDE，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线与轴的交点为，
即当时，，
由图象可看出，不等式的解集是．
故选：B．
【分析】当直线图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；角平分线的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、直角三角形的两个锐角的和是，这是直角三角形的性质，故说法正确；
B、底角相等的两个等腰三角形不一定全等，因为底边或者腰长不一定相等，故该说法错误；
C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，这是角平分线的判定定理，故说法正确；
D、在直角三角形中，如果一个锐角等于，则另一个锐角等于，所以所对的直角边等于斜边的一半，故该说法正确．
故答案为：B
【分析】根据直角三角形的性质、全等三角形的判定及角平分线的判定定理，含30°角的直角三角形性质逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得∠BMC，根据含30°角的直角三角形性质可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：根据等腰三角形的定义作图如下，
图1，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意；
图2，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意；
图3，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意；
综上所述，点的个数为3个，
故答案为：C．
【分析】本题根据等腰三角形的定义，分AB为底边与AB为腰长，在格点图上绘制等腰三角形，最终汇总个数即可得出答案。
10．【答案】D
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形，为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
设，，，
由勾股定理得，，
即，
，
∴，
∴，即，
∴，即，
故选：D．
【分析】根据正方形性质可得，，，根据全等三角形判定定理可得，则，设，，，根据勾股定理可得即，结合面积之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
故答案为： ．
【分析】根据题意建立不等式即可求出答案.
12．【答案】真
【知识点】等腰三角形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题．
故答案为：真．
【分析】任何一个命题都可以改写成如果……那么……的形式，用“如果”领起的部分就是条件，用“那么”领起的部分就是结论，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而根据等腰三角形的判定方法判断出真假．
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象得：当时，甲乙费用一样，当时，乙的费用较少，
故答案为：．
【分析】
观察图象，实质是求表示乙的直线在表示甲的直线下方时对应的自变量的取值范围．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：依题意，是的角平分线，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
即，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得，设，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，根据三角形内角和定理建立方程，解方程即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：
【分析】根据新定义建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．【答案】解：设这个多边形的边数是n，依题意得，
，
解得．
∴这个多边形的边数是7．
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和比它的外角和的2倍多列方程求解．
17．【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，则，再根据等腰三角形性质即可求出答案.
18．【答案】解：设常数为，不等式为：
，
，
，
，
，
由已知解集得：，
解得：
即被墨迹污染的常数是3．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】设常数为，不等式为：，解不等式，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
19．【答案】（1）
（2）解：，
根据不等式基本性质，两边同时乘，不等号方向改变，
，
两边同时减，不等号方向不变，
．
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：若，两边同时加1，则；
若，两边同时乘正数3，则；
若，两边同时乘负数，则．
故答案为：
【分析】（1）根据不等式的性质即可求出答案.
（2）根据不等式的性质即可求出答案.
（1）解：若，两边同时加1，则；
若，两边同时乘正数3，则；
若，两边同时乘负数，则．
（2）解：，
根据不等式基本性质，两边同时乘，不等号方向改变，
，
两边同时减，不等号方向不变，
．
20．【答案】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分．
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，可得CE=CF，再结合，，从而可得平分．
21．【答案】（1）解：设编织1个大号中国结需要彩绳x米，编织1个小号中国结需要彩绳y米，根据题意得．
，
解得，
答：编织1个大号中国结需要彩绳5米，编织1个小号中国结需要彩绳3．
（2）解：设该中学编织m个大中国结，根据题意得
，
解得，
答：该中学最多编织25个大中国结．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设编织1个大号中国结需要彩绳x米，编织1个小号中国结需要彩绳y米，根据编织2个大号中国结和4个小号中国结需要彩绳22米，若编织1个大号中国结和3个小号中国结需要彩绳14米，建立方程组，解方程组即可求出答案.，
（2）设该中学编织m个大中国结，根据编织这两种中国结的彩绳长不超过230米，建立不等式组，解不等式即可求出答案.
（1）解：设编织1个大号中国结需要彩绳x米，编织1个小号中国结需要彩绳y米，根据题意得．
，
解得，
答：编织1个大号中国结需要彩绳5米，编织1个小号中国结需要彩绳3．
（2）解：设该中学编织m个大中国结，根据题意得
，
解得，
答：该中学最多编织25个大中国结．
22．【答案】（1）
（2）解：由题意知，当时，（元），
（元），
∵，
∴方案甲更省钱；
（3）解：由题意知，当元时，，解得：，
当元时，，
解得：，
∵，
∴学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
，
∴；
【分析】（1）根据两种方案优惠方式建立函数关系式即可求出答案.
（2）将x=15分别代入两个解析式，求出y值，再比较大小即可求出答案.
（3）将y=1800分别代入两个解析式，求出x值，再比较大小即可求出答案.
（1）解：由题意得：，
，
∴；
（2）解：由题意知，当时，（元），
（元），
∵，
∴方案甲更省钱；
（3）解：由题意知，当元时，，解得：，
当元时，，
解得：，
∵，
∴学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球．
23．【答案】（1）证明：中，，，
，
是的平分线，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：如图，在上截取，连接，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）结论不成立。正确结论：
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC，根据角平分线定义可得∠DBC，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据等腰三角形性质可得，根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）在上截取，连接，根据三角形外角性质可得，根据角之间的关系可得∠HAB，再根据角平分线定义可得∠EAB，再根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：中，，，
，
是的平分线，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：如图，在上截取，连接，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
1 / 1广东省兴宁市宋声学校2025-2026学年下学期八年级中段考数学试卷
1．根据如图信息可知，下列关于温度的不等式正确的是（　　）
洗涤说明
手洗，勿浸泡，不超过水温
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，x≤40，
故答案为：C．
【分析】根据题意列出不等式即可求解．
2．若，则下列不等式成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
两边同时减去2得，故A不符合题意；
两边同除以2得，故B不符合题意；
两边同时加2得，故C符合题意，
两边同乘得，故D不符合题意．
故答案为：C
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
3．如图，在等腰中，，，是的中线，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴．
故答案为：B
【分析】根据等边对等角可得∠C，根据三角形内角和定理可得∠BAC，再根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
4．如图，这是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话中提供的信息，他们讨论的不等式可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：A、，两边同时除以3（正数），得：，不符合对话内容；
B、，两边同时除以（负数，需要改变不等号方向），得：，不符合对话中；
C、，两边同时除以（负数，需要改变不等号方向），得：，不符合对话中；
D、，两边同时除以（负数，需要改变不等号方向），得：，符合对话内容．
故答案为：D
【分析】解不等式，结合在数轴上表示不等式的解集即可求出答案.
5．如图，某亭子的入口可以抽象成一个等边，立柱的端点D在上，且立柱与地面垂直（即，垂足为点E），则的值为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D
【分析】根据等边三角形性质可得，根据三角形内角和定理可得∠BDE，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
6．如图，直线与坐标轴的交点坐标分别为，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：直线与轴的交点为，
即当时，，
由图象可看出，不等式的解集是．
故选：B．
【分析】当直线图象在x轴下方时，有，结合函数图象即可求出答案.
7．下列说法错误的是（　　）
A．直角三角形的两个锐角的和是
B．底角相等的两个等腰三角形全等
C．在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
D．在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么另一个锐角所对的直角边等于斜边的一半
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；含30°角的直角三角形；角平分线的判定；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：A、直角三角形的两个锐角的和是，这是直角三角形的性质，故说法正确；
B、底角相等的两个等腰三角形不一定全等，因为底边或者腰长不一定相等，故该说法错误；
C、在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，这是角平分线的判定定理，故说法正确；
D、在直角三角形中，如果一个锐角等于，则另一个锐角等于，所以所对的直角边等于斜边的一半，故该说法正确．
故答案为：B
【分析】根据直角三角形的性质、全等三角形的判定及角平分线的判定定理，含30°角的直角三角形性质逐项进行判断即可求出答案.
8．如图，的斜边的垂直平分线与交于点，，，则的面积为（　　）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】根据垂直平分线性质可得，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得∠BMC，根据含30°角的直角三角形性质可得BC，再根据三角形面积即可求出答案.
9．如图，在的正方形网格中，点A，B在格点上，若点C也在格点上，且是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】等腰三角形的概念；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：根据等腰三角形的定义作图如下，
图1，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意；
图2，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意；
图3，，是等腰三角形，点在格点上，符合题意；
综上所述，点的个数为3个，
故答案为：C．
【分析】本题根据等腰三角形的定义，分AB为底边与AB为腰长，在格点图上绘制等腰三角形，最终汇总个数即可得出答案。
10．勾股定理是数学史上的一颗玻璃珠．被誉为清代“历算第一名家”的名数学家梅文鼎先生（图①）在《梅氏丛书辑要》（由其孙子梅瑴成编纂）的“勾股举隅”卷中给出了多种勾股定理的证法．其中一种是在图②的基础上，运用“出入相补”原理完成的．在中，，四边形，，均为正方形，与相交于点，可以证明点在直线上．若，的面积分别为2和6，则直角边的长为（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵四边形，为正方形，
∴，，，
∴，
∴，
设，，，
由勾股定理得，，
即，
，
∴，
∴，即，
∴，即，
故选：D．
【分析】根据正方形性质可得，，，根据全等三角形判定定理可得，则，设，，，根据勾股定理可得即，结合面积之间的关系建立方程，解方程即可求出答案.
11．用不等式表示“与3的差不大于的2倍”：　 　．
【答案】
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
故答案为： ．
【分析】根据题意建立不等式即可求出答案.
12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是　 　命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【知识点】等腰三角形的判定；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题．
故答案为：真．
【分析】任何一个命题都可以改写成如果……那么……的形式，用“如果”领起的部分就是条件，用“那么”领起的部分就是结论，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题，据此先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题，继而根据等腰三角形的判定方法判断出真假．
13．为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足　 　时，选择乙种消费卡更为划算．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象得：当时，甲乙费用一样，当时，乙的费用较少，
故答案为：．
【分析】
观察图象，实质是求表示乙的直线在表示甲的直线下方时对应的自变量的取值范围．
14．如图，在中，．以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点D，E，分别以点D，E为圆心，以适当长为半径作弧，两弧交于点F，作射线交于点P．若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：依题意，是的角平分线，
∴，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则，
∵，
∴，
解得，
即，
故答案为：．
【分析】根据角平分线定义可得，设，根据等边对等角可得，，再根据角之间的关系可得，根据三角形内角和定理建立方程，解方程即可求出答案.
15．定义新运算：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．例如：．那么不等式的解集为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：
【分析】根据新定义建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍多，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数是n，依题意得，
，
解得．
∴这个多边形的边数是7．
【知识点】一元一次方程的其他应用；多边形内角与外角
【解析】【分析】根据多边形的内角和比它的外角和的2倍多列方程求解．
17．如图，在四边形中，，平分．求证：是等腰三角形．
【答案】解：平分，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线定义可得，根据直线平行性质可得，则，再根据等腰三角形性质即可求出答案.
18．阅读对话后，完成下面的任务．
小华：老师，这道题“解不等式：●．不小心被墨迹污染看不见． 老师：小华，如果我告诉你这道题的答案是，且被墨迹污染的是一个常数，你能把这个常数补上吗？ 小华：我能补上，谢谢老师．
任务：请你根据对话，帮小华求出被墨迹污染的常数．
【答案】解：设常数为，不等式为：
，
，
，
，
，
由已知解集得：，
解得：
即被墨迹污染的常数是3．
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【分析】设常数为，不等式为：，解不等式，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
19．按要求完成下列各题：
（1）根据不等式的基本性质，用不等号填空：
若，则_________；
若，则_________；
若，则_________．
（2）已知，试比较与的大小．
【答案】（1）
（2）解：，
根据不等式基本性质，两边同时乘，不等号方向改变，
，
两边同时减，不等号方向不变，
．
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】（1）解：若，两边同时加1，则；
若，两边同时乘正数3，则；
若，两边同时乘负数，则．
故答案为：
【分析】（1）根据不等式的性质即可求出答案.
（2）根据不等式的性质即可求出答案.
（1）解：若，两边同时加1，则；
若，两边同时乘正数3，则；
若，两边同时乘负数，则．
（2）解：，
根据不等式基本性质，两边同时乘，不等号方向改变，
，
两边同时减，不等号方向不变，
．
20．如图，于交的延长线于点．求证：平分．
【答案】证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴平分．
【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】先利用角的运算和等量代换可得，再利用“AAS”证出，可得CE=CF，再结合，，从而可得平分．
21．鸿志中学传统文化兴趣小组在国庆节前夕，准备组织学生为学校编织大、小两种中国结装饰校园，若编织2个大号中国结和4个小号中国结需要彩绳22米，若编织1个大号中国结和3个小号中国结需要彩绳14米．
（1）求编织1个大号中国结和1个小号中国结各需要彩绳多少米？
（2）鸿志中学决定编织以上两种中国结共60个，编织这两种中国结的彩绳长不超过230米，那么该中学最多编织多少个大中国结？
【答案】（1）解：设编织1个大号中国结需要彩绳x米，编织1个小号中国结需要彩绳y米，根据题意得．
，
解得，
答：编织1个大号中国结需要彩绳5米，编织1个小号中国结需要彩绳3．
（2）解：设该中学编织m个大中国结，根据题意得
，
解得，
答：该中学最多编织25个大中国结．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设编织1个大号中国结需要彩绳x米，编织1个小号中国结需要彩绳y米，根据编织2个大号中国结和4个小号中国结需要彩绳22米，若编织1个大号中国结和3个小号中国结需要彩绳14米，建立方程组，解方程组即可求出答案.，
（2）设该中学编织m个大中国结，根据编织这两种中国结的彩绳长不超过230米，建立不等式组，解不等式即可求出答案.
（1）解：设编织1个大号中国结需要彩绳x米，编织1个小号中国结需要彩绳y米，根据题意得．
，
解得，
答：编织1个大号中国结需要彩绳5米，编织1个小号中国结需要彩绳3．
（2）解：设该中学编织m个大中国结，根据题意得
，
解得，
答：该中学最多编织25个大中国结．
22．我校将举办一年一度的秋季运动会，需要采购一批某品牌的乒乓球拍和配套的乒乓球，一副球拍标价元，一盒球标价元．体育商店提供了两种优惠方案，具体如下：
方案甲：买一副乒乓球拍送一盒乒乓球，其余乒乓球按原价出售；
方案乙：按购买金额打9折付款．
学校欲购买这种乒乓球拍副，乒乓球x（）盒．
（1）请直接写出两种优惠办法实际付款金额（元），（元）与x（盒）之间的函数关系式．
（2）如果学校需要购买盒乒乓球，哪种优惠方案更省钱？
（3）如果学校提供经费为元，选择哪个方案能购买更多乒乓球？
【答案】（1）
（2）解：由题意知，当时，（元），
（元），
∵，
∴方案甲更省钱；
（3）解：由题意知，当元时，，解得：，
当元时，，
解得：，
∵，
∴学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球．
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
，
∴；
【分析】（1）根据两种方案优惠方式建立函数关系式即可求出答案.
（2）将x=15分别代入两个解析式，求出y值，再比较大小即可求出答案.
（3）将y=1800分别代入两个解析式，求出x值，再比较大小即可求出答案.
（1）解：由题意得：，
，
∴；
（2）解：由题意知，当时，（元），
（元），
∵，
∴方案甲更省钱；
（3）解：由题意知，当元时，，解得：，
当元时，，
解得：，
∵，
∴学校提供经费为元，选择方案甲能购买更多乒乓球．
23．如图1，在中，，，的平分线交边于点．
（1）求证：为等腰三角形．
（2）若的平分线交边于点，如图2，求证：．
（3）若的外角平分线交的延长线于点，请你探究（2）中的结论是否仍然成立．若成立，请证明；若不成立，直接写出正确的结论．
【答案】（1）证明：中，，，
，
是的平分线，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：如图，在上截取，连接，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）结论不成立。正确结论：
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得∠ABC，根据角平分线定义可得∠DBC，再根据等腰三角形判定定理即可求出答案.
（2）在上截取，连接，根据等腰三角形性质可得，根据角平分线定义可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据角之间的关系可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）在上截取，连接，根据三角形外角性质可得，根据角之间的关系可得∠HAB，再根据角平分线定义可得∠EAB，再根据角之间的关系可得，根据等角对等边可得，，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：中，，，
，
是的平分线，
，
，
为等腰三角形；
（2）解：如图，在上截取，连接，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：探究（2）中的结论不成立，正确结论：，理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
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