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广西壮族自治区崇左市龙州县2026年二模数学试题
1．我国深空探测领域2026年再获突破，某深空探测器奔赴小行星带开展探测，该探测器飞行速度约为15000米/秒.15000用科学记数法表示，正确的是（　　）．
A． B． C． D．
2．检测足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．下列4个足球最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，矩形的对角线，交于点，，，则＝（　　）
A．6 B．8 C． D．
4．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
5．一个不透明的袋子中，装有5个白球、1个黑球和若干个红球，这些球除颜色外都完全相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，为的直径，弦与交于点．若，则扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（　　）
A． B． C．1 D．
8．如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线上，且为它们的公共顶点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
10．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（　　）．
A．5 B．6 C．7 D．8
11．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
13．已知 则 的值为　 　．
14．已知点与点关于原点对称，则的值是　 　．
15．南昌市胜利路蜜雪冰城推出营销活动，每人限购1杯，价格如图，已知某团体中购买茉莉奶绿的人数是蜜桃四季春的2倍，而买新鲜冰淇淋的人数是买蜜桃四季春的一半，共花费80元，则这个团体共有　 　人．
16．如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
18．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如
（1）填空：当，时，　 　；
（2）若，，求的值．
19．近年来，海丰县城中山中路片区城镇老旧小区改造工程有序推进，通过基础设施升级与环境整治，让承载城市记忆的街巷焕发新生．某施工队承担了一处总面积为960平方米的外墙翻新任务，安排甲、乙两名工人分别使用A，B两种外墙涂料，各完成总粉刷任务的一半．经测算，完成该任务共需要A，B两种涂料各200千克，采购两种涂料的总费用为9400元．已知A种涂料每千克的售价比B种涂料每千克多3元．
（1）求A，B两种外墙涂料每千克的售价各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷的外墙面积是甲每小时粉刷面积的，乙完成自己的粉刷任务比甲多用4小时．求甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
20．如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．如图，四边形内接于，为的直径，，交的延长线于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为8.5，，求的长．
22．如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，与相交于点F，．
（1）求证：；
（2）若恰好平分，求的度数；
（3）若的周长为12，的周长为4，求的长．
23．已知抛物线（，为常数）经过点，．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）过点与轴平行的直线交抛物线于点，交轴于点，且为线段的中点，求的值．
（3）若，当时，该二次函数的最大值是最小值的3倍，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：大于 10 的数表示为 a×10n，要求：1≤a<10，n 为整数，n 等于原数整数位数减 1。
A：数小数点移动位数：15000→1.5，小数点向左移动 4 位，故n=4，写成标准形式：15000=1.5×104，对应选项A正确；
B：1.5×103=1500，数值不对；
C：15×103，a=15不满足1≤a<10，格式不标准；
D：0.15×105，a=0.15<1，格式不标准。
故答案为：A .
【分析】由科学记数法规范要求，先将原数改写为1≤a<10的小数，再数小数点左移的位数确定指数n，匹配正确选项；同时排除a不符合范围、指数错误的干扰项.
2．【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：正负数代表和标准质量的差值，绝对值越小，和标准质量差距越小，越接近标准。
|+0.9|=0.9，| 0.8|=0.8，| 3.6|=3.6，|+2.5|=2.5
0.8<0.9<2.5<3.6
0.8的绝对值最小，对应选项B。
故答案为：B .
【分析】 由题意，正负号仅代表超重 / 不足，偏离标准的多少看数值的绝对值；求出四个数据绝对值，比较大小，绝对值最小的足球最接近标准质量.
3．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形对角线相等且互相平分，
∴OA=OB.
已知∠AOB=60 ，
有一组邻边相等且夹角为60 ，△AOB是等边三角形.
∴OA=OB=AB=4，
对角线AC=2OA=8.
矩形∠ABC=90 ，
在Rt△ABC中：BC== =.
故答案为：C .
【分析】由矩形对角线平分相等推出OA=OB，结合∠AOB=60 判定等边三角形，得到对角线长度；再在矩形自带的直角三角形内，用勾股定理求出另一条直角边BC.
4．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设红球有x个，总球数：5+1+x=6+x，
概率公式：P（白球）=，已知摸到白球概率为，
列方程：，
6+x=10，
x=4，
红球个数为4.
故答案为：C .
【分析】 先设红球数量为未知数，表示出全部小球总数；根据概率定义 “摸到白球概率 = 白球数量 ÷ 全部球数量” 列出分式方程，求解得到红球个数，检验分母不为 0 符合实际.
6．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：AB=4 是直径，
∴ 半径 OC=OD=OB==2，
已知 EO=EC，∠COE=50 ，
∴△ECO 等腰，∠ECO=∠COE=50 ，
外角 ∠OED=∠COE+∠ECO=50 +50 =100 ，
∵OC=OD，△OCD 等腰，∠OCD=∠ODC=50 ，
∴∠COD=180 ∠OCD ∠ODC=180 50 50 =80 ，
直线AB，∠AOC=50 ，∠COD=80 ，
∠AOD=∠COD ∠COA=80 50 =30 ，
∴∠BOD=180 ∠AOD=180 30 =150 ，
扇形面积：S=，n=150，r=2，
S扇形BOD===π.
故答案为：C .
【分析】由直径算出圆半径；利用EO=EC等腰三角形求出底角，再结合OC=OD等腰三角形算出∠COD；平角180 推导出扇形BOD的圆心角∠BOD=150 ；代入扇形面积公式计算，得到面积.
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形ABCD，AB=3，BC=4，
∴AD=BC=4，∠A=90 .
对角线相等且平分，OB=OD；EF⊥BD，
∴EF垂直平分BD，得EB=ED.
设AE=x，则ED=AD AE=4 x，
∴EB=ED=4 x.
Rt△ABE中，由勾股定理： AE2+AB2=BE2，
代入： x2+32=(4 x)2，
x=，
∴AE=.
故答案为：B .
【分析】由矩形对角线平分、EF⊥BD，得到EF是BD垂直平分线，推出EB=ED；设AE=x，用x表示BE；在直角△ABE中利用勾股定理建立一元一次方程，求解得到AE长度.
8．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正五边形（n=5）内角：=108 ，
正六边形（n=6）内角：=120 ，
直线l为平角180 ，设五边形底边邻角为α，六边形底边邻角为β：
α=180 108 =72 ，
β=180 120 =60 ，
围绕点O三个角总和为180 ：∠AOB=180 α β=180 72 60 =84 .
故答案为：C .
【分析】先根据多边形内角公式算出正五边形、正六边形的内角；结合直线平角180 ，求出底边与公共顶点O形成的两个底角；再利用点O处平角减去两个底角，得到目标角∠AOB.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣位似；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：△OAB与△ODE关于原点O位似，A对应D，D( 2， 1)，位似变换关于原点对称，
因此A(2，1)，
AB⊥x轴，B在x轴上，
∴B(2，0)，
AB⊥x轴，∠ABO=90 ，AB=1，OB=2，
由勾股定理： OA==，
在Rt△ABO中，∠A的对边是OB，斜边OA sinA===.
故答案为：D .
【分析】原点位似图形对应点横纵坐标互为相反数，由D坐标得到A坐标；AB⊥x轴，确定直角三角形△ABO两条直角边长度；勾股定理算出斜边OA；根据正弦定义：sin∠A=，化简根式得到结果.
10．【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；相似三角形的判定；二次函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，
．
∵矩形，
∴，
，
．
，
．
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
，
，
．
故选：A．
【分析】根据边之间的关系可得CE，根据矩形性质可得，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，整理得，由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
11．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：交点(n，6)在直线y1=2x+3上，
代入得： 6=2n+3
2n=3 n=
∴ 两直线交点坐标为（，6）。
直线y2=kx+b图像在直线y1=2x+3上方（含交点）对应的x取值。
由图像可知：y2是下降直线，y1是上升直线，交点横坐标为；
当x≤时，y2图像在y1上方，满足kx+b≥2x+3。
故答案为：C .
【分析】交点同时在两条直线上，把交点纵坐标代入y1=2x+3，解一元一次方程求出交点横坐标n；一次函数不等式的几何意义：y2≥y1即y2图像不低于y1图像；观察两条直线增减性，确定交点左侧满足条件，得到解集x≤.
12．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数与一次函数的交点问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：正比例函数 y=ax 过点 A(2，4)： 代入得 4=2a a=2，即 y=2x，
反比例函数 y=kx 过点 A(2，4)：由 k=xy 得 k=2×4=8，即 y=，
直线 y=2x向上平移 b 个单位，解析式为：y=2x+b，
过 A 平行于 x 轴的直线 l：y=4.
点B（平移直线与x轴交点，y=0）： 0=2x+b x=，即B（，0），
点D（平移直线与直线l交点，y=4）： 4=2x+b x=，即D（，4），
点C（平移直线与反比例第一象限交点）： 联立 2x+b=8x，整理为 2x2+bx 8=0，取正根： xC=，
同一条直线上，线段长度之比等于横坐标水平距离之比，
三点横坐标从左到右：xBBD 的水平距离：xD xB= =2，
CD的水平距离：xC xD，
条件CD≥ BD，
等价于：xC xD≥2，
≥2，
≥16-b，
当 16 b≤0（即 b≥16）：左边根号恒正，右边非正，不等式恒成立，
当 (16-b > 0)（即 (0结合前提得：6≤b≤16.
取并集最终得：b≥6.
故答案为：B .
【分析】由交点A用待定系数法求出正比例、反比例函数解析式；根据 “上加下减” 写出平移后直线解析式，分别联立y=0、y=4、反比例函数，求出B、D、C三点横坐标；利用同一直线线段长度比等于水平距离比，将CD≥BD转化为横坐标差的不等式；代入坐标化简不等式，分情况去根号求解，最终得到b的取值范围.
13．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：= = 1
将=代入计算：
1= ，
故答案为： .
【分析】 利用分式运算性质，将分子拆分后化简，直接代入已知比值计算，本质是比例的分比定理.
14．【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知点A(a， 3)与点B(4，b)关于原点对称，
因此： a是4的相反数，即a= 4； b是 3的相反数，即b=3。
a+b= 4+3= 1
根据有理数乘方的符号法则：负数的偶次幂为正数。 2026是偶数，
因此： (a+b)2026=( 1)2026=1
故答案为：1 .
【分析】由原点对称的坐标性质，得到 “对称点横、纵坐标分别互为相反数” 的结论；对照两个点的坐标，分别求出a、b的值；代入计算a+b的和；根据负数乘方的符号规律，计算偶次幂的最终结果.
15．【答案】14
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：从题图中可得单价：
蜜桃四季春：7 元 / 杯，
茉莉奶绿：6 元 / 杯，
新鲜冰淇淋：2 元 / 杯，
设购买蜜桃四季春的人数为x人，根据题意：茉莉奶绿人数：2x人，新鲜冰淇淋人数：x人，
总花费 = 各品类总价之和，列方程：
7x+6×2x+2×x=80，
x=4，
即购买蜜桃四季春的有 4 人，
总人数 = 三类饮品购买人数之和：
x+2x+ x=3.5x=3.5×4=14，
故答案为：14 .
【分析】先从题图中读取三种商品的单价；以蜜桃四季春的人数为中间未知数，根据题目给出的倍数关系，用含x的代数式表示另外两类饮品的购买人数；依据 “单价 × 数量 = 总价”，将三类总价相加等于总花费，建立一元一次方程；解方程求出单类人数，再求和得到团体总人数.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：△ABC中，∠ACB=90 ，AC=8，AB=10，
由勾股定理： BC===6，
△CDE沿DE折叠得△FDE，
故： CD=FD，∠CDE=∠FDE，∠C=∠DFE=90 ，
已知∠CDE=∠B，则∠FDE=∠B，
∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠CDF=∠CAB，DF=CD=x，△CDF等腰，
cos∠CAB===，
过D作DG⊥CF于G，则CG=GF，cos∠DCG=，
∠DCG=90 ∠CAB，
sin∠CAB== CG=x，CF=x，
CN==8×=，
∴FN=CN CF= x，
△DFN∽△ACN
，
，
x=.
故答案为： .
【分析】勾股算出BC，利用折叠 + 等角证DE∥AB；直角三角形斜边上的高公式求出CN；等腰△CDF作高，用相似表示CF；证明△DFN∽△ACN，列比例方程求解，全程只用勾股、相似、折叠、斜边上的高，无高中三角函数.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先拆分52026=52025×5，逆用积的乘方公式合并2025与52025；再依据零指数幂、负整数指数幂法则分别计算( 4)0、，最后按有理数加减顺序计算得出结果。由幂的变形运算，到特殊指数幂化简，再到有理数四则运算.
（2）分别对三项单独化简，第一项用积的乘方、幂的乘方；第二项用同底数幂乘法；第三项用同底数幂除法，最后合并同类项得到最简整式。由三类幂的运算分别化简，再进行整式加减合并.
（3）整体换元，把x 3y看作整体，构造平方差公式(a b)(a+b)=a2 b2展开；再对(x 3y)2使用完全平方公式展开，去括号化简得到最终多项式。由整体换元识别平方差结构，再用完全平方公式展开化简.
（4）观察2028、2024与2026的关系，变形为2026+2、2026 2，利用平方差公式化简乘积项，再去括号抵消平方项，快速算出数值。由数字配凑构造平方差形式，再整式化简求值.
18．【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】（1）定义新运算：a b=(ab)m+(ba)n
把a=2，b= 1，m=2，n=2025代入：
2 ( 1)=（2 1）2+（( 1)2）2025 =2 2+12025 =.
故答案为：.
【分析】先读懂题目给出的自定义运算公式，将a=2，b= 1，m=2，n=2025对应代入公式，依次运用负整数指数幂、幂的乘方、有理数乘方规则化简，最后做分式加法得到结果。由读懂新定义运算，到代入数值，再利用幂的运算化简求值.
19．【答案】（1）解：设A种外墙涂料每千克的售价为元，则B种外墙涂料每千克的售价为元，
，
解得，
，
种外墙涂料每千克的售价为25元，B种外墙涂料每千克的售价为22元．
（2）解：设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米，
，
解得，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
甲每小时粉刷外墙的面积是24平方米．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据 “A 单价比 B 贵 3 元” 设未知数，结合两种涂料均采购 200 千克、总花费 9400 元的等量关系，列出一元一次方程，解方程求出单价。由文字价格关系设元，再根据总价等量关系列方程求解.
（2）先算出甲乙各自粉刷面积，根据甲乙效率倍数关系设未知数，利用 “乙用时比甲多 4 小时” 的时间差等量关系建立分式方程，解方程后检验分母不为 0，得到工作效率。由工程问题工作总量、效率、时间关系建立分式方程求解.
20．【答案】（1）证明：正方形，
，，
，
，
；
（2）解：正方形，
，，
，，
设，则，
在中，，
，
，（舍去）
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正方形四边相等、对角线平分内角的性质，得到两组对应边与一组夹角相等，通过 SAS 证明△CDP与△CBP全等，再由全等三角形对应角相等证出结论。由正方形性质推导相等线段、相等角，再利用全等三角形判定与性质完成角度相等证明.
（2）设正方形边长为x，用x表示CE长度；△CDE为直角三角形，套用勾股定理列一元二次方程，解方程后舍去负根，得到正方形边长AB。由正方形性质确定直角三角形，结合勾股定理建立方程求解边长.
21．【答案】（1）证明：连接，如下图，
，
，
，
，
，
，
，
，又为的半径，
∴为的切线；
（2）解：，，
，
∵为的直径，，
，
∵四边形内接于，
，
，
，即，
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接半径OC、弦AC，利用等弧得等角，结合等腰三角形半径相等推出内错角相等，证明OC∥AE；结合CE⊥AB得到OC⊥CE，再用切线判定定理完成证明。由弧相等推导角相等，证平行线，再结合垂直关系满足切线判定条件.
（2）先由等弧得弦相等，求出CD；根据直径得到直角∠ACD，结合圆内接四边形外角性质证明△EBC∽△CDA；利用相似三角形对应边比例建立等式，代入线段长度求解BE。由圆的弧、直径、内接四边形性质推导相似三角形，再用相似比例计算线段长.
22．【答案】（1）证明：由折叠可知，
，
，
，
∴；
（2）解：是的外角，
，
，
，
平分，
，
在中，，
；
（3）解：∵的周长为12，的周长为4，
∴，，
∵将沿直线折叠后，点C落到点E处，
∴，，
∴即，
解得：．
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；多边形的周长
【解析】【分析】（1）利用折叠全等得到∠ADE=∠ADC，结合平角求出∠ADB，计算∠BDE；通过∠BDE=∠B，利用内错角相等判定两直线平行。由折叠等角、平角定义推导相等内错角，完成平行线证明.
（2）利用三角形外角性质求出∠BAD，角平分线定义得到∠EAD；结合折叠得到∠ADE，最后用三角形内角和定理计算∠E。由外角求大角，角平分线等分角度，再用内角和求未知内角.
（3）写出两个三角形周长表达式，利用折叠全等替换AC=AE、CD=DE；对线段AE、CF拆分代换，把周长式子转化为含AF与△DEF周长的方程，解方程求出AF。由折叠全等进行线段等量代换，整体代入周长建立一元一次方程求解.
23．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：为线段的中点，点，∴．
当时，，
∴，
∴或．
（3）解：解：．
①当时，则函数在时取到最大值6，
由题意，最小值为．
当时，，
∴，．
由于最小值在或处取得，
∴或或或．
又∵，
∴．
②当时，则当时函数值最大，时函数值最小，
由此可得，，
∴，．
又∵，
∴，均不满足题意．
综上所述，．
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）函数图象上的点坐标满足解析式，将两个已知点坐标代入，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出参数，写出完整表达式。由图像上点满足函数式，代入列方程组求系数.
（2）平行于y轴直线横坐标均为m，利用线段中点坐标公式求出N点纵坐标，再将y= 2代入抛物线解方程，得到横坐标即为m。由中点坐标公式确定交点纵坐标，联立二次函数求解横坐标.
（3）先配方确定抛物线开口、顶点最大值；按区间[t，t+4]与对称轴x=3的位置分两类讨论：区间包含对称轴、区间全在对称轴右侧；分别求出区间最大、最小值，根据 “最大值 = 3× 最小值” 建立等式求解，结合t>0取舍根。由二次函数顶点、单调性分类讨论区间最值，列方程求解参数.
1 / 1广西壮族自治区崇左市龙州县2026年二模数学试题
1．我国深空探测领域2026年再获突破，某深空探测器奔赴小行星带开展探测，该探测器飞行速度约为15000米/秒.15000用科学记数法表示，正确的是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：大于 10 的数表示为 a×10n，要求：1≤a<10，n 为整数，n 等于原数整数位数减 1。
A：数小数点移动位数：15000→1.5，小数点向左移动 4 位，故n=4，写成标准形式：15000=1.5×104，对应选项A正确；
B：1.5×103=1500，数值不对；
C：15×103，a=15不满足1≤a<10，格式不标准；
D：0.15×105，a=0.15<1，格式不标准。
故答案为：A .
【分析】由科学记数法规范要求，先将原数改写为1≤a<10的小数，再数小数点左移的位数确定指数n，匹配正确选项；同时排除a不符合范围、指数错误的干扰项.
2．检测足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．下列4个足球最接近标准质量的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：正负数代表和标准质量的差值，绝对值越小，和标准质量差距越小，越接近标准。
|+0.9|=0.9，| 0.8|=0.8，| 3.6|=3.6，|+2.5|=2.5
0.8<0.9<2.5<3.6
0.8的绝对值最小，对应选项B。
故答案为：B .
【分析】 由题意，正负号仅代表超重 / 不足，偏离标准的多少看数值的绝对值；求出四个数据绝对值，比较大小，绝对值最小的足球最接近标准质量.
3．如图，矩形的对角线，交于点，，，则＝（　　）
A．6 B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形对角线相等且互相平分，
∴OA=OB.
已知∠AOB=60 ，
有一组邻边相等且夹角为60 ，△AOB是等边三角形.
∴OA=OB=AB=4，
对角线AC=2OA=8.
矩形∠ABC=90 ，
在Rt△ABC中：BC== =.
故答案为：C .
【分析】由矩形对角线平分相等推出OA=OB，结合∠AOB=60 判定等边三角形，得到对角线长度；再在矩形自带的直角三角形内，用勾股定理求出另一条直角边BC.
4．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、，被开方数含有开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意；
B、是最简二次根式，符合题意；
C、，被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意；
D、，被开方数含有分母，故不是最简二次根式，不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据最简二次根式的定义逐项进行判断即可求出答案.
5．一个不透明的袋子中，装有5个白球、1个黑球和若干个红球，这些球除颜色外都完全相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解：设红球有x个，总球数：5+1+x=6+x，
概率公式：P（白球）=，已知摸到白球概率为，
列方程：，
6+x=10，
x=4，
红球个数为4.
故答案为：C .
【分析】 先设红球数量为未知数，表示出全部小球总数；根据概率定义 “摸到白球概率 = 白球数量 ÷ 全部球数量” 列出分式方程，求解得到红球个数，检验分母不为 0 符合实际.
6．如图，为的直径，弦与交于点．若，则扇形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：AB=4 是直径，
∴ 半径 OC=OD=OB==2，
已知 EO=EC，∠COE=50 ，
∴△ECO 等腰，∠ECO=∠COE=50 ，
外角 ∠OED=∠COE+∠ECO=50 +50 =100 ，
∵OC=OD，△OCD 等腰，∠OCD=∠ODC=50 ，
∴∠COD=180 ∠OCD ∠ODC=180 50 50 =80 ，
直线AB，∠AOC=50 ，∠COD=80 ，
∠AOD=∠COD ∠COA=80 50 =30 ，
∴∠BOD=180 ∠AOD=180 30 =150 ，
扇形面积：S=，n=150，r=2，
S扇形BOD===π.
故答案为：C .
【分析】由直径算出圆半径；利用EO=EC等腰三角形求出底角，再结合OC=OD等腰三角形算出∠COD；平角180 推导出扇形BOD的圆心角∠BOD=150 ；代入扇形面积公式计算，得到面积.
7．如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形ABCD，AB=3，BC=4，
∴AD=BC=4，∠A=90 .
对角线相等且平分，OB=OD；EF⊥BD，
∴EF垂直平分BD，得EB=ED.
设AE=x，则ED=AD AE=4 x，
∴EB=ED=4 x.
Rt△ABE中，由勾股定理： AE2+AB2=BE2，
代入： x2+32=(4 x)2，
x=，
∴AE=.
故答案为：B .
【分析】由矩形对角线平分、EF⊥BD，得到EF是BD垂直平分线，推出EB=ED；设AE=x，用x表示BE；在直角△ABE中利用勾股定理建立一元一次方程，求解得到AE长度.
8．如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线上，且为它们的公共顶点，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：正五边形（n=5）内角：=108 ，
正六边形（n=6）内角：=120 ，
直线l为平角180 ，设五边形底边邻角为α，六边形底边邻角为β：
α=180 108 =72 ，
β=180 120 =60 ，
围绕点O三个角总和为180 ：∠AOB=180 α β=180 72 60 =84 .
故答案为：C .
【分析】先根据多边形内角公式算出正五边形、正六边形的内角；结合直线平角180 ，求出底边与公共顶点O形成的两个底角；再利用点O处平角减去两个底角，得到目标角∠AOB.
9．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点O位似（点A、B的对应点分别是点D、E），若轴，点D的坐标为，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；坐标与图形变化﹣位似；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：△OAB与△ODE关于原点O位似，A对应D，D( 2， 1)，位似变换关于原点对称，
因此A(2，1)，
AB⊥x轴，B在x轴上，
∴B(2，0)，
AB⊥x轴，∠ABO=90 ，AB=1，OB=2，
由勾股定理： OA==，
在Rt△ABO中，∠A的对边是OB，斜边OA sinA===.
故答案为：D .
【分析】原点位似图形对应点横纵坐标互为相反数，由D坐标得到A坐标；AB⊥x轴，确定直角三角形△ABO两条直角边长度；勾股定理算出斜边OA；根据正弦定义：sin∠A=，化简根式得到结果.
10．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（　　）．
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；矩形的性质；相似三角形的判定；二次函数-动态几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：，，
．
∵矩形，
∴，
，
．
，
．
，
，
设，则，
整理得，
由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
抛物线过点，
，
解得，
，
，
．
故选：A．
【分析】根据边之间的关系可得CE，根据矩形性质可得，根据角之间的关系可得，根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，整理得，由图象可知，点从点运动到点的过程中，关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为，设抛物线的解析式为，根据待定系数法将点代入解析式即可求出答案.
11．如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：交点(n，6)在直线y1=2x+3上，
代入得： 6=2n+3
2n=3 n=
∴ 两直线交点坐标为（，6）。
直线y2=kx+b图像在直线y1=2x+3上方（含交点）对应的x取值。
由图像可知：y2是下降直线，y1是上升直线，交点横坐标为；
当x≤时，y2图像在y1上方，满足kx+b≥2x+3。
故答案为：C .
【分析】交点同时在两条直线上，把交点纵坐标代入y1=2x+3，解一元一次方程求出交点横坐标n；一次函数不等式的几何意义：y2≥y1即y2图像不低于y1图像；观察两条直线增减性，确定交点左侧满足条件，得到解集x≤.
12．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过点A作x轴的平行线l，将直线向上平移个单位长度后、分别与x轴，反比例函数，直线l交于点B，C，D．当时，b的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；反比例函数与一次函数的交点问题；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：正比例函数 y=ax 过点 A(2，4)： 代入得 4=2a a=2，即 y=2x，
反比例函数 y=kx 过点 A(2，4)：由 k=xy 得 k=2×4=8，即 y=，
直线 y=2x向上平移 b 个单位，解析式为：y=2x+b，
过 A 平行于 x 轴的直线 l：y=4.
点B（平移直线与x轴交点，y=0）： 0=2x+b x=，即B（，0），
点D（平移直线与直线l交点，y=4）： 4=2x+b x=，即D（，4），
点C（平移直线与反比例第一象限交点）： 联立 2x+b=8x，整理为 2x2+bx 8=0，取正根： xC=，
同一条直线上，线段长度之比等于横坐标水平距离之比，
三点横坐标从左到右：xBBD 的水平距离：xD xB= =2，
CD的水平距离：xC xD，
条件CD≥ BD，
等价于：xC xD≥2，
≥2，
≥16-b，
当 16 b≤0（即 b≥16）：左边根号恒正，右边非正，不等式恒成立，
当 (16-b > 0)（即 (0结合前提得：6≤b≤16.
取并集最终得：b≥6.
故答案为：B .
【分析】由交点A用待定系数法求出正比例、反比例函数解析式；根据 “上加下减” 写出平移后直线解析式，分别联立y=0、y=4、反比例函数，求出B、D、C三点横坐标；利用同一直线线段长度比等于水平距离比，将CD≥BD转化为横坐标差的不等式；代入坐标化简不等式，分情况去根号求解，最终得到b的取值范围.
13．已知 则 的值为　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：= = 1
将=代入计算：
1= ，
故答案为： .
【分析】 利用分式运算性质，将分子拆分后化简，直接代入已知比值计算，本质是比例的分比定理.
14．已知点与点关于原点对称，则的值是　 　．
【答案】1
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：已知点A(a， 3)与点B(4，b)关于原点对称，
因此： a是4的相反数，即a= 4； b是 3的相反数，即b=3。
a+b= 4+3= 1
根据有理数乘方的符号法则：负数的偶次幂为正数。 2026是偶数，
因此： (a+b)2026=( 1)2026=1
故答案为：1 .
【分析】由原点对称的坐标性质，得到 “对称点横、纵坐标分别互为相反数” 的结论；对照两个点的坐标，分别求出a、b的值；代入计算a+b的和；根据负数乘方的符号规律，计算偶次幂的最终结果.
15．南昌市胜利路蜜雪冰城推出营销活动，每人限购1杯，价格如图，已知某团体中购买茉莉奶绿的人数是蜜桃四季春的2倍，而买新鲜冰淇淋的人数是买蜜桃四季春的一半，共花费80元，则这个团体共有　 　人．
【答案】14
【知识点】一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：从题图中可得单价：
蜜桃四季春：7 元 / 杯，
茉莉奶绿：6 元 / 杯，
新鲜冰淇淋：2 元 / 杯，
设购买蜜桃四季春的人数为x人，根据题意：茉莉奶绿人数：2x人，新鲜冰淇淋人数：x人，
总花费 = 各品类总价之和，列方程：
7x+6×2x+2×x=80，
x=4，
即购买蜜桃四季春的有 4 人，
总人数 = 三类饮品购买人数之和：
x+2x+ x=3.5x=3.5×4=14，
故答案为：14 .
【分析】先从题图中读取三种商品的单价；以蜜桃四季春的人数为中间未知数，根据题目给出的倍数关系，用含x的代数式表示另外两类饮品的购买人数；依据 “单价 × 数量 = 总价”，将三类总价相加等于总花费，建立一元一次方程；解方程求出单类人数，再求和得到团体总人数.
16．如图，在中，，点，分别在，上，且，将沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：△ABC中，∠ACB=90 ，AC=8，AB=10，
由勾股定理： BC===6，
△CDE沿DE折叠得△FDE，
故： CD=FD，∠CDE=∠FDE，∠C=∠DFE=90 ，
已知∠CDE=∠B，则∠FDE=∠B，
∴DE∥AB（同位角相等，两直线平行），
∴∠CDF=∠CAB，DF=CD=x，△CDF等腰，
cos∠CAB===，
过D作DG⊥CF于G，则CG=GF，cos∠DCG=，
∠DCG=90 ∠CAB，
sin∠CAB== CG=x，CF=x，
CN==8×=，
∴FN=CN CF= x，
△DFN∽△ACN
，
，
x=.
故答案为： .
【分析】勾股算出BC，利用折叠 + 等角证DE∥AB；直角三角形斜边上的高公式求出CN；等腰△CDF作高，用相似表示CF；证明△DFN∽△ACN，列比例方程求解，全程只用勾股、相似、折叠、斜边上的高，无高中三角函数.
17．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【知识点】平方差公式及应用；零指数幂；负整数指数幂；积的乘方运算；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先拆分52026=52025×5，逆用积的乘方公式合并2025与52025；再依据零指数幂、负整数指数幂法则分别计算( 4)0、，最后按有理数加减顺序计算得出结果。由幂的变形运算，到特殊指数幂化简，再到有理数四则运算.
（2）分别对三项单独化简，第一项用积的乘方、幂的乘方；第二项用同底数幂乘法；第三项用同底数幂除法，最后合并同类项得到最简整式。由三类幂的运算分别化简，再进行整式加减合并.
（3）整体换元，把x 3y看作整体，构造平方差公式(a b)(a+b)=a2 b2展开；再对(x 3y)2使用完全平方公式展开，去括号化简得到最终多项式。由整体换元识别平方差结构，再用完全平方公式展开化简.
（4）观察2028、2024与2026的关系，变形为2026+2、2026 2，利用平方差公式化简乘积项，再去括号抵消平方项，快速算出数值。由数字配凑构造平方差形式，再整式化简求值.
18．对于整数a、b定义运算：（其中m、n为常数），如
（1）填空：当，时，　 　；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】幂的乘方运算
【解析】【解答】（1）定义新运算：a b=(ab)m+(ba)n
把a=2，b= 1，m=2，n=2025代入：
2 ( 1)=（2 1）2+（( 1)2）2025 =2 2+12025 =.
故答案为：.
【分析】先读懂题目给出的自定义运算公式，将a=2，b= 1，m=2，n=2025对应代入公式，依次运用负整数指数幂、幂的乘方、有理数乘方规则化简，最后做分式加法得到结果。由读懂新定义运算，到代入数值，再利用幂的运算化简求值.
19．近年来，海丰县城中山中路片区城镇老旧小区改造工程有序推进，通过基础设施升级与环境整治，让承载城市记忆的街巷焕发新生．某施工队承担了一处总面积为960平方米的外墙翻新任务，安排甲、乙两名工人分别使用A，B两种外墙涂料，各完成总粉刷任务的一半．经测算，完成该任务共需要A，B两种涂料各200千克，采购两种涂料的总费用为9400元．已知A种涂料每千克的售价比B种涂料每千克多3元．
（1）求A，B两种外墙涂料每千克的售价各是多少元？
（2）已知乙每小时粉刷的外墙面积是甲每小时粉刷面积的，乙完成自己的粉刷任务比甲多用4小时．求甲每小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
【答案】（1）解：设A种外墙涂料每千克的售价为元，则B种外墙涂料每千克的售价为元，
，
解得，
，
种外墙涂料每千克的售价为25元，B种外墙涂料每千克的售价为22元．
（2）解：设甲每小时粉刷外墙面积为平方米，则乙每小时粉刷外墙面积是平方米，
，
解得，
经检验：是原方程的根，且符合题意，
甲每小时粉刷外墙的面积是24平方米．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据 “A 单价比 B 贵 3 元” 设未知数，结合两种涂料均采购 200 千克、总花费 9400 元的等量关系，列出一元一次方程，解方程求出单价。由文字价格关系设元，再根据总价等量关系列方程求解.
（2）先算出甲乙各自粉刷面积，根据甲乙效率倍数关系设未知数，利用 “乙用时比甲多 4 小时” 的时间差等量关系建立分式方程，解方程后检验分母不为 0，得到工作效率。由工程问题工作总量、效率、时间关系建立分式方程求解.
20．如图，在正方形中，点在边上，连接交于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：正方形，
，，
，
，
；
（2）解：正方形，
，，
，，
设，则，
在中，，
，
，（舍去）
．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）利用正方形四边相等、对角线平分内角的性质，得到两组对应边与一组夹角相等，通过 SAS 证明△CDP与△CBP全等，再由全等三角形对应角相等证出结论。由正方形性质推导相等线段、相等角，再利用全等三角形判定与性质完成角度相等证明.
（2）设正方形边长为x，用x表示CE长度；△CDE为直角三角形，套用勾股定理列一元二次方程，解方程后舍去负根，得到正方形边长AB。由正方形性质确定直角三角形，结合勾股定理建立方程求解边长.
21．如图，四边形内接于，为的直径，，交的延长线于点E．
（1）求证：为的切线；
（2）若的半径为8.5，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，如下图，
，
，
，
，
，
，
，
，又为的半径，
∴为的切线；
（2）解：，，
，
∵为的直径，，
，
∵四边形内接于，
，
，
，即，
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；切线的判定；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接半径OC、弦AC，利用等弧得等角，结合等腰三角形半径相等推出内错角相等，证明OC∥AE；结合CE⊥AB得到OC⊥CE，再用切线判定定理完成证明。由弧相等推导角相等，证平行线，再结合垂直关系满足切线判定条件.
（2）先由等弧得弦相等，求出CD；根据直径得到直角∠ACD，结合圆内接四边形外角性质证明△EBC∽△CDA；利用相似三角形对应边比例建立等式，代入线段长度求解BE。由圆的弧、直径、内接四边形性质推导相似三角形，再用相似比例计算线段长.
22．如图，在中，，点D为边上一点，将沿直线折叠后，点C落到点E处，与相交于点F，．
（1）求证：；
（2）若恰好平分，求的度数；
（3）若的周长为12，的周长为4，求的长．
【答案】（1）证明：由折叠可知，
，
，
，
∴；
（2）解：是的外角，
，
，
，
平分，
，
在中，，
；
（3）解：∵的周长为12，的周长为4，
∴，，
∵将沿直线折叠后，点C落到点E处，
∴，，
∴即，
解得：．
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念；多边形的周长
【解析】【分析】（1）利用折叠全等得到∠ADE=∠ADC，结合平角求出∠ADB，计算∠BDE；通过∠BDE=∠B，利用内错角相等判定两直线平行。由折叠等角、平角定义推导相等内错角，完成平行线证明.
（2）利用三角形外角性质求出∠BAD，角平分线定义得到∠EAD；结合折叠得到∠ADE，最后用三角形内角和定理计算∠E。由外角求大角，角平分线等分角度，再用内角和求未知内角.
（3）写出两个三角形周长表达式，利用折叠全等替换AC=AE、CD=DE；对线段AE、CF拆分代换，把周长式子转化为含AF与△DEF周长的方程，解方程求出AF。由折叠全等进行线段等量代换，整体代入周长建立一元一次方程求解.
23．已知抛物线（，为常数）经过点，．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）过点与轴平行的直线交抛物线于点，交轴于点，且为线段的中点，求的值．
（3）若，当时，该二次函数的最大值是最小值的3倍，求的值．
【答案】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）解：为线段的中点，点，∴．
当时，，
∴，
∴或．
（3）解：解：．
①当时，则函数在时取到最大值6，
由题意，最小值为．
当时，，
∴，．
由于最小值在或处取得，
∴或或或．
又∵，
∴．
②当时，则当时函数值最大，时函数值最小，
由此可得，，
∴，．
又∵，
∴，均不满足题意．
综上所述，．
【知识点】公式法解一元二次方程；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【分析】（1）函数图象上的点坐标满足解析式，将两个已知点坐标代入，得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组求出参数，写出完整表达式。由图像上点满足函数式，代入列方程组求系数.
（2）平行于y轴直线横坐标均为m，利用线段中点坐标公式求出N点纵坐标，再将y= 2代入抛物线解方程，得到横坐标即为m。由中点坐标公式确定交点纵坐标，联立二次函数求解横坐标.
（3）先配方确定抛物线开口、顶点最大值；按区间[t，t+4]与对称轴x=3的位置分两类讨论：区间包含对称轴、区间全在对称轴右侧；分别求出区间最大、最小值，根据 “最大值 = 3× 最小值” 建立等式求解，结合t>0取舍根。由二次函数顶点、单调性分类讨论区间最值，列方程求解参数.
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