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广东深圳市盐田高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
则在复平面内对应的点为，位于第一象限．
故答案为：A
【分析】本题考查复数幂的周期性、复数分母实数化与复平面象限判定，关键先利用i周期性化简常数项，再分母有理化得到实部、虚部，根据正负判断象限。
2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则是异面直线
D．若，则或是异面直线
【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A：若，直线位置关系有三种：平行、相交、异面，故A错误；
B：若，则或，不能确定一定平行平面，故B错误；
C：若，当平面相交时，有可能相交，并非一定异面，故C错误；
D：若，两平行平面内的直线没有公共点，因此或异面，故D正确。
故答案为：D
【分析】A：一条平面的多条平行线，彼此位置不唯一；B：平行线中一条平行平面，另一条可在平面内；C：分两平面相交、平行两种情况判断直线位置；D：平行平面无公共点，其内直线只有平行、异面两类位置。
3．向量，，若与同向，则（　　）
A． B． C．3 D．±3
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题设知，则，则，则，
因为与同向，所以，故.
故答案为：A
【分析】本题考查向量同向的条件，关键是同向向量成正实数倍，先求出倍数，再结合模长公式列方程，根据同向舍去负根。
4．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】过作交轴于点，可得，
因为，所以为等腰直角三角形，所以，
根据斜二测画法，
可得，如图所示，则，
所以的面积，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查斜二测直观图与原图面积换算，关键牢记斜二测中：平行于y'轴的线段原图长度为直观图 2 倍，先用直观图条件求出原图底和高，再代入三角形面积公式。
5．已知非零向量，满足，则向量在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得，已知，两边同时平方可得，
化简得，即，
根据向量投影的计算公式，可得在方向上的投影向量为.
故答案为：D
【分析】本题考查向量模长平方运算与投影向量公式，关键先对模等式平方求出数量积，再代入投影向量计算公式化简求值。
6．已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为，
所以该圆锥的表面积为，
设球O的半径为R，则球O的表面积为，
由题意知，所以，
圆锥的体积，球O的体积，
所以.
【分析】本题考查圆锥与球的表面积、体积公式，关键先利用表面积相等找到半径比值，再代入体积公式作比化简。
7．如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：
当，即可得平面，此时是最小距离，
然后把平面与平面展开成共面，
如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为
此时，即此时取到最小值，
由正方体可知：，
所以.
故答案为：A
【分析】本题考查立体几何最短路径（展开法），关键：①PQ最小为P向底面垂线；②侧面展开化空间折线为平面两点连线，用垂线段最短求最值。
8．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：和表示、方向的单位向量，则在的角平分线上，
又，所以的角平分线与边垂直，
所以是等腰三角形，且.
取的中点，连接，则.
由题意知，，，所以.
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，故，
设（），则，即.
.
所以，
当时，取得最小值，为.
故答案为：C
【分析】本题结合单位向量、向量模长判定等腰三角形，建系转化为二次函数最值；关键先由向量条件确定AB=AC，坐标化后把数量积变成一元二次函数，利用对称轴求最小值。
9．如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（　　）
A．平面 B．平面
C．点在平面内 D．点在平面内
【答案】A,D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A，在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面，A正确；
D，连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，
又因为，所以，故、、、共面，D正确；
B，根据已有分析可知点在平面内，所以与平面有交点，因此B错误；
C，由A选项可知，点在平面外，C错误。
故答案为：AD.
【分析】A：借助平行四边形证线线平行，再用线面平行判定定理；B：由在面内、在面外判定和面相交；C：由平面，判断在平面外侧；D：中位线得到，四点共面从而确定在平面内。
10．点O为所在平面内一点，则（　　）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点O为的内心
C．若，则点O为的垂心
D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算；三角形五心
【解析】【解答】解：对于A，由点O为所在平面内一点，且，
可得，则以为邻边作平行四边形，
可得，且，
设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线，
同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确；
对于B，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，
可得四边形是菱形，则，
因为，
所以，即，即和共线，即是的角平分线，
同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确；
对于C，如图所示，取分别为的中点，
根据向量的平行四边形法则，可得，
因为，可得，
所以，所以点在线段的垂直平分线上，
所以点为的外心，所以C不正确；
对于D，由，
因为，可得，即，
设为的中点，可得，
所以，即，且为的中点，
所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合平面向量的线性运算，再结合三角形的重心、内心、垂心和外心的性质，从而逐项判断，从而找出正确的选项.
11．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（　　）
A．a可能是最大边 B．b可能是最大边
C．a可能是最小边 D．c可能是最小边
【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意，可得
所以
由正弦定理，可得
所以
则
所以
等价于
所以
则或即，
若则c是最大边，a，b可能是最小边；
若则b是最大边，a，c可能是最小边，
综上所述，选项A错误；选项B、选项C、选项D正确.
故答案为：
【分析】利用已知条件和正弦定理以及两角和的正弦公式化简，再结合诱导公式得出或，从而得出b可能是最大边、a可能是最小边、c可能是最小边，进而逐项判断找出说法正确的选项.
12．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则　 　；　 　．
【答案】0；
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
如图，建立平面直角坐标系，则，
所以，
，
故答案为：0，
【分析】本题考查网格向量坐标与数量积运算，关键依托网格写出各向量坐标，再代入数量积公式分步计算。
13．如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为　 　米．
【答案】
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，易知，
由正弦定理，
可得，
在中，.
故答案为：.
【分析】在中，利用正弦定理求得长，再在中，利用三角函数的定义求长即可.
14．如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为　 　.
【答案】6
【知识点】棱柱的结构特征；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：1.当，，处的小孔都在水平面时，如图一，
三棱台的体积为，
所以容器所装水的多面体的体积；
2.当只有1个小孔在水平面上方时，
（1）当处的小孔在水平面上方时，如图二；
当处的小孔在水平面上方时，图三；
显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大；
（2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为，
①当在线段上时，如图四，设，，则，
因为正方体的体积为，
棱台的体积为，，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于6.
②当在线段上时，如图五，设，，的中点为，
可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同，
可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同，
所以三棱柱的体积为，此时该容器可装水的体积为.
综上所述：该容器可装水的最大体积为6.
故答案为：6.
【分析】本题考查正方体内几何体体积最值，关键：容器装水上限由三个小孔E，F，C1所在平面决定，空余最小体积为底面直角三角形、高为棱长的三棱柱，正方体体积减去空余体积即为最大装水量。
15．在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求边上的高的长.
【答案】（1）解：由正弦定理可得，
因为，所以，
又因为锐角三角形，，所以.
（2）解：由余弦定理
可知
又因即代入上式可得
则的面积为
则
解得：.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理边化角，约去求出，结合锐角三角形范围确定；
(2) 借助余弦定理，结合算出，先用面积公式求面积，再由反求高。
（1）由正弦定理可得，
因为，所以，
又因为锐角三角形，，所以.
（2）由余弦定理
可知
又因即代入上式可得
则的面积为
则
解得：.
16．已知，，且.
（1）求向量与的夹角大小.
（2）求.
【答案】（1）解：由，得，
即，
，
解得.
又，.
（2）解：
.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1) 展开数量积等式，代入模长，利用数量积公式求出夹角余弦值，结合夹角范围得到夹角；
(2) 对所求模平方展开，代入模长与数量积，再开方求值。
（1）由，得，
即，
，
解得.
又，.
（2）.
17．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．
（1）设平面平面，证明：；
（2）证明：；
（3）线段上是否存在点M，使得平面 若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：因为四边形为矩形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
（2）证明：因为平面，又平面，所以.
又底面为矩形，所以.
平面，，所以平面.
平面，所以.
在中，，，，
所以，所以.
平面，，所以平面.
又平面，所以.
（3）解：如图：
过作，交于点，过作交于点.
因为，平面，平面，所以平面.
同理平面.
又平面，，所以平面平面.
由（1）知，，又，则，
则，
因为，.
所以，
所以点M为线段上靠近C的四等分点，.
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】(1) 先由矩形性质得，线面平行判定证面，再由面面交线性质证；
(2) 先证面得，结合边长用勾股逆定理证，推出面，从而；
(3) 构造面面平行：过作、，证面面，利用相似比例确定位置，计算长度。
（1）因为四边形为矩形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
（2）因为平面，又平面，所以.
又底面为矩形，所以.
平面，，所以平面.
平面，所以.
在中，，，，
所以，所以.
平面，，所以平面.
又平面，所以.
（3）如图：
过作，交于点，过作交于点.
因为，平面，平面，所以平面.
同理平面.
又平面，，所以平面平面.
由（1）知，，又，则，
则，
因为，.
所以，
所以点M为线段上靠近C的四等分点，.
18．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.
（1）若，求实数的值；
（2）若，且满足，
①求实数的值；
②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，（，），求的最小值.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
又，且与不共线，由平面向量基本定理得，；
（2）①解：因为三点共线，所以存在实数使得（），
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，且与不共线，
所以，解得．
所以.
②解：由①可知，，且，，
所以，
因为三点共线，所以，且，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】(1) 利用拆分化简，把用线性表示，对比系数求；
(2)① 由共线设参数，结合、，依靠平面向量基本定理列方程组求；
② 用改写，由共线得关系式，乘后用基本不等式求最小值。
（1）因为，所以，
所以，
又，且与不共线，由平面向量基本定理得，；
（2）①因为三点共线，所以存在实数使得（），
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，且与不共线，
所以，解得．
所以.
②由①可知，，且，，
所以，
因为三点共线，所以，且，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
19．在中，内角的对边分别为，且点是线段上的一点．已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的值；
（3）若为的角平分线，且，求的最小值．
【答案】（1）解：，
由以及正弦定理边化角可得，
，
整理可得．
因为，所以，
所以，
因为，所以．
（2）解： 因为点是线段上的一点，且，
所以，所以，
因为，，所以，
因为，即，
所以，所以，
所以，所以．
（3）解：因为是的一条角平分线，且，，，所以，
所以，
所以，仅当时，“=”成立，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
又当，时，，，
，
故的最小值为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理边化角，结合展开化简，求出进而得；
(2) 由得到边长等量关系，结合内角和与正弦定理展开三角恒等式，变形求；
(3) 借助角平分线面积拆分得到，由基本不等式求范围，再利用正弦定理统一边，结合基本不等式求目标式最小值。
（1），
由以及正弦定理边化角可得，
，
整理可得．
因为，所以，
所以，
因为，所以．
（2）解法一： 因为点是线段上的一点，且，
所以，所以，
因为，，所以，
因为，即，
所以，所以，
所以，所以．
解法二： 由已知可得，
所以为锐角，，，．
设，则，，
在中，由余弦定理可得
，
所以．
在中，由余弦定理可得
．
在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，
平方可得，
整理可得．
所以有，解得，所以．
又为锐角，所以．
（3）因为是的一条角平分线，且，，，
所以，
所以，
所以，仅当时，“=”成立，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
又当，时，，，
，
故的最小值为．
1 / 1广东深圳市盐田高级中学2025-2026学年高一下学期5月期中考试数学试题
1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则是异面直线
D．若，则或是异面直线
3．向量，，若与同向，则（　　）
A． B． C．3 D．±3
4．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（　　）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．已知非零向量，满足，则向量在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
6．已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，已知正方体中，，P为线段上一点，Q为平面内一点，则的最小值是（　　）
A． B． C． D．
8．已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（　　）
A．平面 B．平面
C．点在平面内 D．点在平面内
10．点O为所在平面内一点，则（　　）
A．若，则点O为的重心
B．若，则点O为的内心
C．若，则点O为的垂心
D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心
11．记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知则下列说法正确的是（　　）
A．a可能是最大边 B．b可能是最大边
C．a可能是最小边 D．c可能是最小边
12．已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则　 　；　 　．
13．如图，测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶A的仰角为，则塔的总高度为　 　米．
14．如图，棱长为2的正方体容器中，，分别是棱，的中点，在，，处各有1个小孔（孔的大小忽略不计），则该容器可装水的最大体积为　 　.
15．在锐角中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求边上的高的长.
16．已知，，且.
（1）求向量与的夹角大小.
（2）求.
17．如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且．
（1）设平面平面，证明：；
（2）证明：；
（3）线段上是否存在点M，使得平面 若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由．
18．如图1所示，在中，点在线段上，满足，是线段上的点，线段与线段交于点.
（1）若，求实数的值；
（2）若，且满足，
①求实数的值；
②如图2，过点的直线与边分别交于点，设，，（，），求的最小值.
19．在中，内角的对边分别为，且点是线段上的一点．已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，求的值；
（3）若为的角平分线，且，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】解：，
，
则在复平面内对应的点为，位于第一象限．
故答案为：A
【分析】本题考查复数幂的周期性、复数分母实数化与复平面象限判定，关键先利用i周期性化简常数项，再分母有理化得到实部、虚部，根据正负判断象限。
2．【答案】D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】【解答】A：若，直线位置关系有三种：平行、相交、异面，故A错误；
B：若，则或，不能确定一定平行平面，故B错误；
C：若，当平面相交时，有可能相交，并非一定异面，故C错误；
D：若，两平行平面内的直线没有公共点，因此或异面，故D正确。
故答案为：D
【分析】A：一条平面的多条平行线，彼此位置不唯一；B：平行线中一条平行平面，另一条可在平面内；C：分两平面相交、平行两种情况判断直线位置；D：平行平面无公共点，其内直线只有平行、异面两类位置。
3．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：由题设知，则，则，则，
因为与同向，所以，故.
故答案为：A
【分析】本题考查向量同向的条件，关键是同向向量成正实数倍，先求出倍数，再结合模长公式列方程，根据同向舍去负根。
4．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】过作交轴于点，可得，
因为，所以为等腰直角三角形，所以，
根据斜二测画法，
可得，如图所示，则，
所以的面积，故D正确.
故答案为：D
【分析】本题考查斜二测直观图与原图面积换算，关键牢记斜二测中：平行于y'轴的线段原图长度为直观图 2 倍，先用直观图条件求出原图底和高，再代入三角形面积公式。
5．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意得，已知，两边同时平方可得，
化简得，即，
根据向量投影的计算公式，可得在方向上的投影向量为.
故答案为：D
【分析】本题考查向量模长平方运算与投影向量公式，关键先对模等式平方求出数量积，再代入投影向量计算公式化简求值。
6．【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为，
所以该圆锥的表面积为，
设球O的半径为R，则球O的表面积为，
由题意知，所以，
圆锥的体积，球O的体积，
所以.
【分析】本题考查圆锥与球的表面积、体积公式，关键先利用表面积相等找到半径比值，再代入体积公式作比化简。
7．【答案】A
【知识点】棱柱的结构特征；多面体和旋转体表面上的最短距离问题
【解析】【解答】解：
当，即可得平面，此时是最小距离，
然后把平面与平面展开成共面，
如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为
此时，即此时取到最小值，
由正方体可知：，
所以.
故答案为：A
【分析】本题考查立体几何最短路径（展开法），关键：①PQ最小为P向底面垂线；②侧面展开化空间折线为平面两点连线，用垂线段最短求最值。
8．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；平面向量数量积坐标表示的应用；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：和表示、方向的单位向量，则在的角平分线上，
又，所以的角平分线与边垂直，
所以是等腰三角形，且.
取的中点，连接，则.
由题意知，，，所以.
以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，，故，
设（），则，即.
.
所以，
当时，取得最小值，为.
故答案为：C
【分析】本题结合单位向量、向量模长判定等腰三角形，建系转化为二次函数最值；关键先由向量条件确定AB=AC，坐标化后把数量积变成一元二次函数，利用对称轴求最小值。
9．【答案】A,D
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A，在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，故平面，A正确；
D，连接、，如下图所示：
因为、分别为、的中点，所以，
又因为，所以，故、、、共面，D正确；
B，根据已有分析可知点在平面内，所以与平面有交点，因此B错误；
C，由A选项可知，点在平面外，C错误。
故答案为：AD.
【分析】A：借助平行四边形证线线平行，再用线面平行判定定理；B：由在面内、在面外判定和面相交；C：由平面，判断在平面外侧；D：中位线得到，四点共面从而确定在平面内。
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算；三角形五心
【解析】【解答】解：对于A，由点O为所在平面内一点，且，
可得，则以为邻边作平行四边形，
可得，且，
设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线，
同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确；
对于B，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量，
可得四边形是菱形，则，
因为，
所以，即，即和共线，即是的角平分线，
同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确；
对于C，如图所示，取分别为的中点，
根据向量的平行四边形法则，可得，
因为，可得，
所以，所以点在线段的垂直平分线上，
所以点为的外心，所以C不正确；
对于D，由，
因为，可得，即，
设为的中点，可得，
所以，即，且为的中点，
所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确.
故答案为：ABD.
【分析】根据题意结合平面向量的线性运算，再结合三角形的重心、内心、垂心和外心的性质，从而逐项判断，从而找出正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由题意，可得
所以
由正弦定理，可得
所以
则
所以
等价于
所以
则或即，
若则c是最大边，a，b可能是最小边；
若则b是最大边，a，c可能是最小边，
综上所述，选项A错误；选项B、选项C、选项D正确.
故答案为：
【分析】利用已知条件和正弦定理以及两角和的正弦公式化简，再结合诱导公式得出或，从而得出b可能是最大边、a可能是最小边、c可能是最小边，进而逐项判断找出说法正确的选项.
12．【答案】0；
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：
如图，建立平面直角坐标系，则，
所以，
，
故答案为：0，
【分析】本题考查网格向量坐标与数量积运算，关键依托网格写出各向量坐标，再代入数量积公式分步计算。
13．【答案】
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，易知，
由正弦定理，
可得，
在中，.
故答案为：.
【分析】在中，利用正弦定理求得长，再在中，利用三角函数的定义求长即可.
14．【答案】6
【知识点】棱柱的结构特征；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：1.当，，处的小孔都在水平面时，如图一，
三棱台的体积为，
所以容器所装水的多面体的体积；
2.当只有1个小孔在水平面上方时，
（1）当处的小孔在水平面上方时，如图二；
当处的小孔在水平面上方时，图三；
显然这两种情况，容器所装水的体积比多面体的体积小，不会最大；
（2）当处的小孔在水平面上方时，设水面所在平面为，
①当在线段上时，如图四，设，，则，
因为正方体的体积为，
棱台的体积为，，
可得，当且仅当，即时，等号成立，
所以棱台的体积无最小值，此时该容器可装水的体积小于6.
②当在线段上时，如图五，设，，的中点为，
可知：水平面为平行四边形，且四棱锥与四棱锥的体积相同，
可知：多面体的体积与三棱柱的体积相同，
所以三棱柱的体积为，此时该容器可装水的体积为.
综上所述：该容器可装水的最大体积为6.
故答案为：6.
【分析】本题考查正方体内几何体体积最值，关键：容器装水上限由三个小孔E，F，C1所在平面决定，空余最小体积为底面直角三角形、高为棱长的三棱柱，正方体体积减去空余体积即为最大装水量。
15．【答案】（1）解：由正弦定理可得，
因为，所以，
又因为锐角三角形，，所以.
（2）解：由余弦定理
可知
又因即代入上式可得
则的面积为
则
解得：.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理边化角，约去求出，结合锐角三角形范围确定；
(2) 借助余弦定理，结合算出，先用面积公式求面积，再由反求高。
（1）由正弦定理可得，
因为，所以，
又因为锐角三角形，，所以.
（2）由余弦定理
可知
又因即代入上式可得
则的面积为
则
解得：.
16．【答案】（1）解：由，得，
即，
，
解得.
又，.
（2）解：
.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】(1) 展开数量积等式，代入模长，利用数量积公式求出夹角余弦值，结合夹角范围得到夹角；
(2) 对所求模平方展开，代入模长与数量积，再开方求值。
（1）由，得，
即，
，
解得.
又，.
（2）.
17．【答案】（1）证明：因为四边形为矩形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
（2）证明：因为平面，又平面，所以.
又底面为矩形，所以.
平面，，所以平面.
平面，所以.
在中，，，，
所以，所以.
平面，，所以平面.
又平面，所以.
（3）解：如图：
过作，交于点，过作交于点.
因为，平面，平面，所以平面.
同理平面.
又平面，，所以平面平面.
由（1）知，，又，则，
则，
因为，.
所以，
所以点M为线段上靠近C的四等分点，.
【知识点】直线与平面平行的性质；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质
【解析】【分析】(1) 先由矩形性质得，线面平行判定证面，再由面面交线性质证；
(2) 先证面得，结合边长用勾股逆定理证，推出面，从而；
(3) 构造面面平行：过作、，证面面，利用相似比例确定位置，计算长度。
（1）因为四边形为矩形，所以，
因为平面，平面，所以平面.
又平面，平面平面，所以.
（2）因为平面，又平面，所以.
又底面为矩形，所以.
平面，，所以平面.
平面，所以.
在中，，，，
所以，所以.
平面，，所以平面.
又平面，所以.
（3）如图：
过作，交于点，过作交于点.
因为，平面，平面，所以平面.
同理平面.
又平面，，所以平面平面.
由（1）知，，又，则，
则，
因为，.
所以，
所以点M为线段上靠近C的四等分点，.
18．【答案】（1）解：因为，所以，
所以，
又，且与不共线，由平面向量基本定理得，；
（2）①解：因为三点共线，所以存在实数使得（），
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，且与不共线，
所以，解得．
所以.
②解：由①可知，，且，，
所以，
因为三点共线，所以，且，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【分析】(1) 利用拆分化简，把用线性表示，对比系数求；
(2)① 由共线设参数，结合、，依靠平面向量基本定理列方程组求；
② 用改写，由共线得关系式，乘后用基本不等式求最小值。
（1）因为，所以，
所以，
又，且与不共线，由平面向量基本定理得，；
（2）①因为三点共线，所以存在实数使得（），
所以，
因为，所以，所以，
又因为，所以，且与不共线，
所以，解得．
所以.
②由①可知，，且，，
所以，
因为三点共线，所以，且，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为．
19．【答案】（1）解：，
由以及正弦定理边化角可得，
，
整理可得．
因为，所以，
所以，
因为，所以．
（2）解： 因为点是线段上的一点，且，
所以，所以，
因为，，所以，
因为，即，
所以，所以，
所以，所以．
（3）解：因为是的一条角平分线，且，，，所以，
所以，
所以，仅当时，“=”成立，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
又当，时，，，
，
故的最小值为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理边化角，结合展开化简，求出进而得；
(2) 由得到边长等量关系，结合内角和与正弦定理展开三角恒等式，变形求；
(3) 借助角平分线面积拆分得到，由基本不等式求范围，再利用正弦定理统一边，结合基本不等式求目标式最小值。
（1），
由以及正弦定理边化角可得，
，
整理可得．
因为，所以，
所以，
因为，所以．
（2）解法一： 因为点是线段上的一点，且，
所以，所以，
因为，，所以，
因为，即，
所以，所以，
所以，所以．
解法二： 由已知可得，
所以为锐角，，，．
设，则，，
在中，由余弦定理可得
，
所以．
在中，由余弦定理可得
．
在中，由余弦定理可得
，
即，
整理可得，
平方可得，
整理可得．
所以有，解得，所以．
又为锐角，所以．
（3）因为是的一条角平分线，且，，，
所以，
所以，
所以，仅当时，“=”成立，
所以
，
当且仅当，即时取等号，
又当，时，，，
，
故的最小值为．
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