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广东深圳高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学
1．已知等差数列的公差为，若，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，得，得，故．
故答案为：B.
【分析】设数列，即可求得a2，a3，a4的代数式，即可求得公差的值.
2．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将甲和乙看作一个整体，有种方法，
将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法，
根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种．
故答案为：D.
【分析】将甲和乙看成一个整体，和其他的三位同学进行全排列，即可求得答案.
3．若函数的图象与直线相切，则实数（　　）
A． B．1 C．0 D．2
【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，
由，
，
所以有，
所以切点为，代入中，得.
故答案为：B.
【分析】利用导数的四则运算可求得导数，再利用导数等于函数切线方程的斜率，建立方程即可求解.
4．甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的不同情况有（　　）种.
A．27 B．36 C．54 D．60
【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由条件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名，
所以先排乙有3种方法，再排甲有3种方法，其他就是全排列种方法，
所以5人的名次排列有种方法.
故答案为：C.
【分析】首先根据条件可以确定甲、乙两人的排名的情况，再对其他人进行全排列，最后用分步乘法计数原理即可求得答案.
5．甲 乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，则，
，，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据全概率计算公式，即可求得正确答案.
6．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家 书法家 画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（　　）种分配方案
A．90 B．120 C．360 D．540
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况：
情况一：按分组：则有种；
情况二：按分组：则有种；
情况三：按分组：则有种，
所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案.
故答案为：D.
【分析】先利用已知条件分组再分配，再利用排列数公式、组合数公式和分类加法计数原理、分步乘法计数原理，从而得出6本不同诗集全部奖励给3名同学共有的分配方案种数.
7．某次数学测试有8道单选题（4选1）.小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任选1道题，小王做对该题的概率为（　　）
A．0.8 B． C． D．
【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；全概率公式
【解析】【解答】解：选做完整做对的题目且做对概率，
选做有思路的题目且做对概率，
选做完全没有思路且做对概率，
综上，任选一题能做对概率.
故答案为：B.
【分析】先将题目分成三类：完整作对的题，有思路的题和完全不会的题，再分别求出它们被选中且做对的概率，最后由互斥事件概率的加法公式，即可求得答案.
8．已知函数，若恒成立，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，且函数和都是上的增函数，
所以要想恒成立，则需函数和的零点相同，
令，
令，
所以，则，
设，则，
当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，
故，所以最大值为.
故答案为：B.
【分析】先分析零点关系，可得x-b和ex-a必须同号或同时为0，进而得到b=lna；再求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，即可求得最大值，得到正确答案.
9．已知随机变量的分布列如下表所示，则下列结论正确的是（　　）
1 2 4 5
0.2 0.35 0.3
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：A、因为，所以，A正确；
B、因为，B错误；
C、因为，C正确；
D、因为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据分布列中所有事件概率和为1，可求出m的值，判断A正确；利用期望的计算公式可求得
E(X)=3，即B错误；利用期望的性质E(nX)=nE(X)，可判断C错误；利用方差公式可判断D选项错误.
10．已知双曲线的左 右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线与双曲线有相同的渐近线
B．若，则的周长为
C．若，则的面积为2
D．若为圆上一点，则的最大值为7
【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：A、双曲线，渐近线方程为；
双曲线的渐近线方程为，A正确；
B、由题意得，，
由双曲线的定义得，，
故的周长为，B正确；
C、在右支上，设，则，
因为，所以，解得（负值舍去），
所以的面积为，C错误；
D、圆的圆心的坐标为，半径为1，
易知为双曲线的左焦点；故，
则，
当为线段的延长线与圆的交点时等号成立，
所以的最大值为7，D正确．
故答案为：ABD.
【分析】利用双曲线的渐近线方程直接求解，即可得到A正确；结合双曲线的定义和三角形的周长计算公式，即可得到B正确；根据和的关系设未知数，再利用勾股定理求得，再求解面积，即可得到C错误；分析题意，可知为双曲线的左焦点，再结合双曲线的定义，即可得到的最大值，从而得到D选项正确．
11．牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当与的近似值相等时，该近似值即作为函数的一个零点的近似值.对于函数，用该方法近似计算方程的根，取初始近似值为，下列说法正确的是（　　）
A．
B．直线的方程为
C．
D．对任意非负整数
【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：A、函数，，
由牛顿迭代法可知曲线在点处的切线方程为，
令，即可得、，
，A正确；
B、的方程为，
代入整理得到，B错误；
C、由牛顿迭代法公式，得，
或通过将代入切线方程中，C正确；
D、对任意非负整数，
作以及切线的图象可知对任意正整数，
故对任意非负整数，
令，
故，
从而，当且仅当时等号成立，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用导数的四则运算和导数与切线方程之间的关系，即可判断AC；求出函数在（xn，f(xn）)处的切线方程即可判断B；由，构造函数求其导数，再利用函数的单调性即可求最值可判断D.
12．若函数在处取得极值3，则　 　.
【答案】12
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为函数在处取得极值3，
所以，解得，
检验：当，时，函数，则，
所以当时，，函数在上单调递减，
当或时，，函数在，上单调递增，
所以函数在处取得极大值，
在处取得极小值，
经检验，满足题意，
所以.
故答案为：12.
【分析】先利用导数的四则运算求导可得，再根据已知条件，可得列得方程组，解出a，b的值，然后检验a，b的值是否符合条件即可.
13．已知的展开式中的系数为0，则实数的值为　 　.
【答案】1
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：，所以展开式中含的项为，
因为展开式中的系数为0，所以，解得.
故答案为：1.
【分析】本题考查二项式定理的展开式的通项公式.先利用多项式乘以多项式进行展开可得：，利用二项式展开式的通项公式展开可得：含的项为，根据含的项的系数为0，可列出方程10（a-1）=0，解方程可求出a的值.
14．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在区间上的最大值.
【答案】（1）解：当时，，
令，解得：；令，解得：；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：由得：，
令，解得对恒成立，
在递减，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先利用简单复合函数的求导法则，求出f(x)的导数，再利用导数的正负性即可得到函数的单调性；
（2）由（1）可知的导数，再利用导数再极值点处的值为0，求得，由此可得f(x)在上单调递增求最小值.
（1）当时，，
令，解得：；令，解得：；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由得：，
令，解得对恒成立，
在递减，.
15．已知的二项展开式有项.
（1）求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
（2）求该展开式中含的项；
（3）求该展开式中系数最大的项.
【答案】（1）解：因为二项展开式有7项，所以，解得.
所以二项式系数和为，
令，得各项系数和为.
因此各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.
（2）解：由（1）可得展开式通项为.
令，解得.
代入通项得.
故含的项为.
（3）解：由（1）可得展开式通项为
设第项系数最大，则第项系数为.
列不等式组，即
化简得，解得，又，故.
系数最大的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）先根据二项展开式有7项，可知n=6，再利用二项式系数的性质可求得二项式系数的和，通过赋值法求的二项式的各项系数和，最后作商即可求出比值.
（2）根据二项展开式的通项公式，解出的值，再把代回通项中，即可算出对应项.
（3）由(2)可知二项展开式的通项，以各项系数构造不等式组，求出不等式组的解集，再根据为自然数确定即可求出r的值，由此可得到答案.
（1）因为二项展开式有7项，所以，解得.
所以二项式系数和为，
令，得各项系数和为.
因此各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.
（2）由（1）可得展开式通项为.
令，解得.
代入通项得.
故含的项为.
（3）由（1）可得展开式通项为
设第项系数最大，则第项系数为.
列不等式组，即
化简得，解得，又，故.
系数最大的项为.
16．定义函数为数列的“生成函数”，且．
（1）求的通项公式；
（2）求．
【答案】（1）解：由已知可得，
故的前项和为，
当时，，
当时，，
满足，
．
（2）解：由可得，
令，则，
则，
，
．
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用赋值法即可得到的前项和，再利用即可求出的通项公式；
（2）由(1)可知an=n，先求出函数的解析式，再利用错位相减法，即可求出的值．
（1）由已知可得，
故的前项和为，
当时，，
当时，，
满足，
．
（2）由可得，
令，则，
则，
，
．
17．甲 乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲 乙两名同学做题结果互相不受影响.
（1）求甲同学做对试题没有做对试题的概率；
（2）求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率；
（3）若甲 乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列.
【答案】（1）解：设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件.
由题设可知，
所以，所以甲同学做对试题没有做对试题的概率为.
（2）解：由题设可知.
又，所以.
故.
（3）解：根据题意甲做对题概率为.
甲做对一题的概率为
分析可得
（甲乙）
（甲乙或甲乙）
（甲乙或甲乙）
（甲乙）
可得的分布列为
0 1 2 3
0.15 0.35 0.35 0.15
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；条件概率
【解析】【分析】本题考查条件概率的计算，互斥事件的概率加法计算公式，离散型随机变量及其分布列.
(1)设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件，“做对试题A”可分为两种情况：“做对A且做对B”“做对A且做错B”，并且两个互斥事件，利用概率公式计算可得：，再代入数据进行计算可求出“做对A却做错B”的概率.
(2)先利用互斥事件的概率公式可求出，利用概率公式计算可得：，进而可求出，利用条件概率的计算公式可得，再代入数据进行计算可求出答案.
(3)先利用互斥事件的计算公式求出：甲做对0题、1题、2题的概率，根据题意可求出X的所有取值，再分三大类：甲乙；甲乙或甲乙；甲乙或甲乙；甲乙，利用互斥事件的概率计算公式可分别计算每个取值对应的概率，据此可列出分布列.
（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件.
由题设可知，
所以，所以甲同学做对试题没有做对试题的概率为
（2）由题设可知.
又，所以.
故.
（3）根据题意甲做对题概率为.
甲做对一题的概率为
分析可得
（甲乙）
（甲乙或甲乙）
（甲乙或甲乙）
（甲乙）
可得的分布列为
0 1 2 3
0.15 0.35 0.35 0.15
18．用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数.
（1）证明：若，则为函数；
（2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论.
（3）若有两个不同的零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明.
【答案】（1）解：由可得，
因，而，
即成立，
故为函数.
（2）解：是函数.证明如下：因.要证明，即证.
不妨设，只需证，
令，则需证.
考虑函数，
，
则函数为上的增函数，
当时，，即
∴函数是函数.
（3）解：方法1（i）有两个不同的零点等价于
方程有两个不同的解.
又.令，则.
因为函数是上的增函数，
所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点.
，当时，；当时，.
则在上单调递减，在上单调递增.故.
当时，时，.
故若直线与函数的图象有两个不同交点，
则.
又因为，是上的增函数，
故得，故实数的取值范围为.
（ii）由题意，则.
由（2）知，
故且两式相乘得：
，故得证.
方法2（i）函数的定义域为.
对求导得.
令，即，解得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为.
当时，，当时，.
因为函数有两个零点，故只需，解得.
故的取值范围是.
（ii）不妨设，要证，即证.
因为在上单调递减，所以只需证.
又因为，所以只需证，
即证，令，
对求导，得
令，，
对求导得，
所以在上单调递增.
，故.
故在上单调递增，.
即，所以，所以，
即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）计算平均变化率与其中点处的导数，根据函数定义即可证明；
（2）证明不等式，再验证f(x)满足B函数的定义即可；
（3）方法1（i）将原方程转化为的形式，问题等价于直线与函数的图象有两个交点；再利用导数分析的单调性与图像即可确定参数a 的范围；
（ii）设，由（2）的结论可知，进而得到且，然后将两式相乘即可证明结论.
方法2（i）利用导数分析的单调性，求出函数的最小值，进而确定参数a的取值范围；
（ii）不妨设，需要证明，由在上为减函数，由此只证即可，通过构造函数，用导数分析其单调性，求出最值即可证明结论.
（1）由可得，
因，而，
即成立，
故为函数；
（2）是函数.证明如下：
因.要证明，即证.
不妨设，只需证，
令，则需证.
考虑函数，
，
则函数为上的增函数，
当时，，即
∴函数是函数；
（3）法1，
（i）有两个不同的零点等价于
方程有两个不同的解.
又.令，则.
因为函数是上的增函数，
所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点.
，当时，；当时，.
则在上单调递减，在上单调递增.故.
当时，时，.
故若直线与函数的图象有两个不同交点，
则.
又因为，是上的增函数，
故得，故实数的取值范围为.
（ii）由题意，则.
由（2）知，
故且两式相乘得：
，故得证.
法2
（i）函数的定义域为.
对求导得.
令，即，解得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为.
当时，，当时，.
因为函数有两个零点，故只需，解得.
故的取值范围是.
（ii）不妨设，要证，即证.
因为在上单调递减，所以只需证.
又因为，所以只需证，
即证，令，
对求导，得
令，，
对求导得，
所以在上单调递增.
，故.
故在上单调递增，.
即，所以，所以，
即.
1 / 1广东深圳高级中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学
1．已知等差数列的公差为，若，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（　　）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
3．若函数的图象与直线相切，则实数（　　）
A． B．1 C．0 D．2
4．甲 乙 丙 丁 戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的”从这两个回答分析，5人的名次排列可能的不同情况有（　　）种.
A．27 B．36 C．54 D．60
5．甲 乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5.已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（　　）
A． B． C． D．
6．苏轼，字子瞻，号东坡居士，眉州眉山（今四川省眉山市）人，北宋文学家 书法家 画家，历史治水名人.现有苏轼的6本不同诗集全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（　　）种分配方案
A．90 B．120 C．360 D．540
7．某次数学测试有8道单选题（4选1）.小王能完整做对其中5道题，剩余3道题中，有2道题有思路，且做对的概率都是0.8，有1道题完全没有思路，且猜对的概率是0.25.从中任选1道题，小王做对该题的概率为（　　）
A．0.8 B． C． D．
8．已知函数，若恒成立，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
9．已知随机变量的分布列如下表所示，则下列结论正确的是（　　）
1 2 4 5
0.2 0.35 0.3
A． B． C． D．
10．已知双曲线的左 右焦点为，点为右支上一动点，则下列说法正确的是（　　）
A．双曲线与双曲线有相同的渐近线
B．若，则的周长为
C．若，则的面积为2
D．若为圆上一点，则的最大值为7
11．牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.步骤如下：设是函数的一个零点，任取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.在一定精确度下，用四舍五入法取值，当与的近似值相等时，该近似值即作为函数的一个零点的近似值.对于函数，用该方法近似计算方程的根，取初始近似值为，下列说法正确的是（　　）
A．
B．直线的方程为
C．
D．对任意非负整数
12．若函数在处取得极值3，则　 　.
13．已知的展开式中的系数为0，则实数的值为　 　.
14．已知函数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）当时，求函数在区间上的最大值.
15．已知的二项展开式有项.
（1）求该展开式中各项的系数和与各项的二项式系数和的比值；
（2）求该展开式中含的项；
（3）求该展开式中系数最大的项.
16．定义函数为数列的“生成函数”，且．
（1）求的通项公式；
（2）求．
17．甲 乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲 乙两名同学做题结果互相不受影响.
（1）求甲同学做对试题没有做对试题的概率；
（2）求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率；
（3）若甲 乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列.
18．用表示函数的导函数，若对定义域内任意不相等的两个数，都有成立，则称函数为函数；若对定义域内任意不相等的两个数，都有不等式（或都有不等式）成立，则称函数为函数.
（1）证明：若，则为函数；
（2）若（为自然对数的底数），问是函数还是函数？证明你的结论.
（3）若有两个不同的零点.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，得，得，故．
故答案为：B.
【分析】设数列，即可求得a2，a3，a4的代数式，即可求得公差的值.
2．【答案】D
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：将甲和乙看作一个整体，有种方法，
将甲乙组成的整体与丙、丁、戊进行排列，则有种方法，
根据分步乘法计数原理可得不同的排列方式有：种．
故答案为：D.
【分析】将甲和乙看成一个整体，和其他的三位同学进行全排列，即可求得答案.
3．【答案】B
【知识点】导数的几何意义；导数的四则运算；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设切点为，
由，
，
所以有，
所以切点为，代入中，得.
故答案为：B.
【分析】利用导数的四则运算可求得导数，再利用导数等于函数切线方程的斜率，建立方程即可求解.
4．【答案】C
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由条件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名，
所以先排乙有3种方法，再排甲有3种方法，其他就是全排列种方法，
所以5人的名次排列有种方法.
故答案为：C.
【分析】首先根据条件可以确定甲、乙两人的排名的情况，再对其他人进行全排列，最后用分步乘法计数原理即可求得答案.
5．【答案】A
【知识点】条件概率
【解析】【解答】解：甲命中目标记为事件，目标至少被命中1次记为事件，则，
，，
所以.
故答案为：A.
【分析】根据全概率计算公式，即可求得正确答案.
6．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况：
情况一：按分组：则有种；
情况二：按分组：则有种；
情况三：按分组：则有种，
所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案.
故答案为：D.
【分析】先利用已知条件分组再分配，再利用排列数公式、组合数公式和分类加法计数原理、分步乘法计数原理，从而得出6本不同诗集全部奖励给3名同学共有的分配方案种数.
7．【答案】B
【知识点】互斥事件的概率加法公式；全概率公式
【解析】【解答】解：选做完整做对的题目且做对概率，
选做有思路的题目且做对概率，
选做完全没有思路且做对概率，
综上，任选一题能做对概率.
故答案为：B.
【分析】先将题目分成三类：完整作对的题，有思路的题和完全不会的题，再分别求出它们被选中且做对的概率，最后由互斥事件概率的加法公式，即可求得答案.
8．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，且函数和都是上的增函数，
所以要想恒成立，则需函数和的零点相同，
令，
令，
所以，则，
设，则，
当时，在上单调递增，
当时，在单调递减，
故，所以最大值为.
故答案为：B.
【分析】先分析零点关系，可得x-b和ex-a必须同号或同时为0，进而得到b=lna；再求函数的导数，利用导数研究函数的单调性，即可求得最大值，得到正确答案.
9．【答案】A,C
【知识点】概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：A、因为，所以，A正确；
B、因为，B错误；
C、因为，C正确；
D、因为，D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据分布列中所有事件概率和为1，可求出m的值，判断A正确；利用期望的计算公式可求得
E(X)=3，即B错误；利用期望的性质E(nX)=nE(X)，可判断C错误；利用方差公式可判断D选项错误.
10．【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的应用；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：A、双曲线，渐近线方程为；
双曲线的渐近线方程为，A正确；
B、由题意得，，
由双曲线的定义得，，
故的周长为，B正确；
C、在右支上，设，则，
因为，所以，解得（负值舍去），
所以的面积为，C错误；
D、圆的圆心的坐标为，半径为1，
易知为双曲线的左焦点；故，
则，
当为线段的延长线与圆的交点时等号成立，
所以的最大值为7，D正确．
故答案为：ABD.
【分析】利用双曲线的渐近线方程直接求解，即可得到A正确；结合双曲线的定义和三角形的周长计算公式，即可得到B正确；根据和的关系设未知数，再利用勾股定理求得，再求解面积，即可得到C错误；分析题意，可知为双曲线的左焦点，再结合双曲线的定义，即可得到的最大值，从而得到D选项正确．
11．【答案】A,C,D
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：A、函数，，
由牛顿迭代法可知曲线在点处的切线方程为，
令，即可得、，
，A正确；
B、的方程为，
代入整理得到，B错误；
C、由牛顿迭代法公式，得，
或通过将代入切线方程中，C正确；
D、对任意非负整数，
作以及切线的图象可知对任意正整数，
故对任意非负整数，
令，
故，
从而，当且仅当时等号成立，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用导数的四则运算和导数与切线方程之间的关系，即可判断AC；求出函数在（xn，f(xn）)处的切线方程即可判断B；由，构造函数求其导数，再利用函数的单调性即可求最值可判断D.
12．【答案】12
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：因为，所以，
因为函数在处取得极值3，
所以，解得，
检验：当，时，函数，则，
所以当时，，函数在上单调递减，
当或时，，函数在，上单调递增，
所以函数在处取得极大值，
在处取得极小值，
经检验，满足题意，
所以.
故答案为：12.
【分析】先利用导数的四则运算求导可得，再根据已知条件，可得列得方程组，解出a，b的值，然后检验a，b的值是否符合条件即可.
13．【答案】1
【知识点】二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【解答】解：，所以展开式中含的项为，
因为展开式中的系数为0，所以，解得.
故答案为：1.
【分析】本题考查二项式定理的展开式的通项公式.先利用多项式乘以多项式进行展开可得：，利用二项式展开式的通项公式展开可得：含的项为，根据含的项的系数为0，可列出方程10（a-1）=0，解方程可求出a的值.
14．【答案】（1）解：当时，，
令，解得：；令，解得：；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.
（2）解：由得：，
令，解得对恒成立，
在递减，.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）先利用简单复合函数的求导法则，求出f(x)的导数，再利用导数的正负性即可得到函数的单调性；
（2）由（1）可知的导数，再利用导数再极值点处的值为0，求得，由此可得f(x)在上单调递增求最小值.
（1）当时，，
令，解得：；令，解得：；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
（2）由得：，
令，解得对恒成立，
在递减，.
15．【答案】（1）解：因为二项展开式有7项，所以，解得.
所以二项式系数和为，
令，得各项系数和为.
因此各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.
（2）解：由（1）可得展开式通项为.
令，解得.
代入通项得.
故含的项为.
（3）解：由（1）可得展开式通项为
设第项系数最大，则第项系数为.
列不等式组，即
化简得，解得，又，故.
系数最大的项为.
【知识点】二项式系数的性质；二项展开式的通项；二项式系数
【解析】【分析】（1）先根据二项展开式有7项，可知n=6，再利用二项式系数的性质可求得二项式系数的和，通过赋值法求的二项式的各项系数和，最后作商即可求出比值.
（2）根据二项展开式的通项公式，解出的值，再把代回通项中，即可算出对应项.
（3）由(2)可知二项展开式的通项，以各项系数构造不等式组，求出不等式组的解集，再根据为自然数确定即可求出r的值，由此可得到答案.
（1）因为二项展开式有7项，所以，解得.
所以二项式系数和为，
令，得各项系数和为.
因此各项的系数和与各项的二项式系数和的比值为.
（2）由（1）可得展开式通项为.
令，解得.
代入通项得.
故含的项为.
（3）由（1）可得展开式通项为
设第项系数最大，则第项系数为.
列不等式组，即
化简得，解得，又，故.
系数最大的项为.
16．【答案】（1）解：由已知可得，
故的前项和为，
当时，，
当时，，
满足，
．
（2）解：由可得，
令，则，
则，
，
．
【知识点】数列的递推公式；数列的通项公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用赋值法即可得到的前项和，再利用即可求出的通项公式；
（2）由(1)可知an=n，先求出函数的解析式，再利用错位相减法，即可求出的值．
（1）由已知可得，
故的前项和为，
当时，，
当时，，
满足，
．
（2）由可得，
令，则，
则，
，
．
17．【答案】（1）解：设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件.
由题设可知，
所以，所以甲同学做对试题没有做对试题的概率为.
（2）解：由题设可知.
又，所以.
故.
（3）解：根据题意甲做对题概率为.
甲做对一题的概率为
分析可得
（甲乙）
（甲乙或甲乙）
（甲乙或甲乙）
（甲乙）
可得的分布列为
0 1 2 3
0.15 0.35 0.35 0.15
【知识点】互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；条件概率
【解析】【分析】本题考查条件概率的计算，互斥事件的概率加法计算公式，离散型随机变量及其分布列.
(1)设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件，“做对试题A”可分为两种情况：“做对A且做对B”“做对A且做错B”，并且两个互斥事件，利用概率公式计算可得：，再代入数据进行计算可求出“做对A却做错B”的概率.
(2)先利用互斥事件的概率公式可求出，利用概率公式计算可得：，进而可求出，利用条件概率的计算公式可得，再代入数据进行计算可求出答案.
(3)先利用互斥事件的计算公式求出：甲做对0题、1题、2题的概率，根据题意可求出X的所有取值，再分三大类：甲乙；甲乙或甲乙；甲乙或甲乙；甲乙，利用互斥事件的概率计算公式可分别计算每个取值对应的概率，据此可列出分布列.
（1）设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件.
由题设可知，
所以，所以甲同学做对试题没有做对试题的概率为
（2）由题设可知.
又，所以.
故.
（3）根据题意甲做对题概率为.
甲做对一题的概率为
分析可得
（甲乙）
（甲乙或甲乙）
（甲乙或甲乙）
（甲乙）
可得的分布列为
0 1 2 3
0.15 0.35 0.35 0.15
18．【答案】（1）解：由可得，
因，而，
即成立，
故为函数.
（2）解：是函数.证明如下：因.要证明，即证.
不妨设，只需证，
令，则需证.
考虑函数，
，
则函数为上的增函数，
当时，，即
∴函数是函数.
（3）解：方法1（i）有两个不同的零点等价于
方程有两个不同的解.
又.令，则.
因为函数是上的增函数，
所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点.
，当时，；当时，.
则在上单调递减，在上单调递增.故.
当时，时，.
故若直线与函数的图象有两个不同交点，
则.
又因为，是上的增函数，
故得，故实数的取值范围为.
（ii）由题意，则.
由（2）知，
故且两式相乘得：
，故得证.
方法2（i）函数的定义域为.
对求导得.
令，即，解得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为.
当时，，当时，.
因为函数有两个零点，故只需，解得.
故的取值范围是.
（ii）不妨设，要证，即证.
因为在上单调递减，所以只需证.
又因为，所以只需证，
即证，令，
对求导，得
令，，
对求导得，
所以在上单调递增.
，故.
故在上单调递增，.
即，所以，所以，
即.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）计算平均变化率与其中点处的导数，根据函数定义即可证明；
（2）证明不等式，再验证f(x)满足B函数的定义即可；
（3）方法1（i）将原方程转化为的形式，问题等价于直线与函数的图象有两个交点；再利用导数分析的单调性与图像即可确定参数a 的范围；
（ii）设，由（2）的结论可知，进而得到且，然后将两式相乘即可证明结论.
方法2（i）利用导数分析的单调性，求出函数的最小值，进而确定参数a的取值范围；
（ii）不妨设，需要证明，由在上为减函数，由此只证即可，通过构造函数，用导数分析其单调性，求出最值即可证明结论.
（1）由可得，
因，而，
即成立，
故为函数；
（2）是函数.证明如下：
因.要证明，即证.
不妨设，只需证，
令，则需证.
考虑函数，
，
则函数为上的增函数，
当时，，即
∴函数是函数；
（3）法1，
（i）有两个不同的零点等价于
方程有两个不同的解.
又.令，则.
因为函数是上的增函数，
所以有两个不同的解等价于直线与函数的图象有两个不同交点.
，当时，；当时，.
则在上单调递减，在上单调递增.故.
当时，时，.
故若直线与函数的图象有两个不同交点，
则.
又因为，是上的增函数，
故得，故实数的取值范围为.
（ii）由题意，则.
由（2）知，
故且两式相乘得：
，故得证.
法2
（i）函数的定义域为.
对求导得.
令，即，解得.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
由上述单调性可知，在处取得极小值，也是最小值为.
当时，，当时，.
因为函数有两个零点，故只需，解得.
故的取值范围是.
（ii）不妨设，要证，即证.
因为在上单调递减，所以只需证.
又因为，所以只需证，
即证，令，
对求导，得
令，，
对求导得，
所以在上单调递增.
，故.
故在上单调递增，.
即，所以，所以，
即.
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