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广东广州市第十三中学2026届高三考前适应性训练数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】补集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，即，
全集，则.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数有意义，求得集合A，再根据集合的补集运算求解即可.
2．若复数z满足，则（　　）
A． B．1 C．2 D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】先通过复数的除法运算求出z的代数形式，再利用复数模的计算公式求解。
3．记等差数列的前项和为，若，，则（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，
得，
解得，
由，
得，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】设出公差d，利用等差数列前项和公式和已知条件，从而列出方程求解得出首项的值.
4．已知，则（　　）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
则，
即，同除以，则.
故答案为：C．
【分析】根据两角和与差的正弦公式，结合同角三角函数基本关系的商关系求值即可.
5．某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，
下列说法中正确的是（　　）
A．
B．评分的众数估值为70
C．评分的第25百分位数估值为67.5
D．评分的平均数估值为76
【答案】C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；概率的基本性质；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得，故A错误，
因为平均数为，故D错误；
因为众数为，故B错误；
因为，
所以第百分位数估计为，故C正确.
故答案为：C.
【分析】根据频率分布直方图中各小矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和为，从而得出方程求出的值，则判断出选项A；利用频率分布直方图求平均数、百分位数和众数的方法，则判断出选项B、选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
6．某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（　　）
A．35 B．36 C．42 D．50
【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：有四类不同的安排情形：
①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱，
有种不同的安排方法；
综上，不同的安排方法共有种.
故答案为：D.
【分析】按特殊元素或位置分类，以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，再求和即可得不同的安排种数.
7．设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的图象；对数函数的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的图像，如图所示：
，，，
，，，，
，
又因为，所以.
故答案为：A.
【解答】作出函数函数的图像，由，结合对数运算性质，分析，，，间的关系，结合二次函数性质求解即可.
8．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（　　）
A．4 B．3 C． D．
【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点，
设直线，点，
由，
消去，得，
则，
因为，
所以，
又因为，
因为，
所以，
因此，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程，再将直线方程与抛物线方程联立，再利用韦达定理结合抛物线的定义及三角形面积公式，再结合已知条件得出的值.
9．下列命题正确的是（　　）
A．若样本数据，，的方差为2，则数据的方差为4
B．若，，则
C．在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4
【答案】B,D
【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；全概率公式
【解析】【解答】解：A、原数据方差，设，则，故A错误；
B、，故 B 正确；
C、所有样本点都在直线 上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为 ，直线斜率为负，故相关系数为 ，故C错误；
D、模型 取对数得 ，令 ，则回归方程为 ，
易知 ，则 ，，即 ，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据方差的性质求解即可判断A；利用全概率公式求解可判断B；利用线性相关系数的定义即可判断C；取对数将非线性回归方程转化为线性回归方程求解即可判断D.
10．已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则下列有关函数及其性质的描述正确的是（　　）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象
D．函数的单调递减区间为
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：设函数的最小正周期为，
由函数的第一个最低点为，可知；
因为函数图象经过点，则，即，
且，则或；
又因为函数在y轴右侧的第一个零点为，
则，即，且，则，解得，
当时，，此时函数在y轴右侧的第一个零点为，不合题意；
当时，此时，符合题意；
A、，故A正确；
B、因为，不为最值，所以不为函数图象的一条对称轴，故B错误；
C、将的图象向右平移个单位长度，得，为偶函数，故C正确；
D、令，解得，
则函数的单调递减区间为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】设函数的最小正周期为，由题意结合五点法求，即可判断A；根据最值点与对称轴之间的关系分析即可判断B；根据三角函数图象的平移变换求得变换得函数，确定函数的奇偶性即可判断C；以为整体，结合正弦函数单调性求函数的单调递减区间即可判断D.
11．在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足．以下对运动过程的描述，正确的是（　　）
A．存在，满足
B．存在，使与所成角的余弦值为
C．点到平面的距离为定值
D．四面体的体积为定值
【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，．
因为点在上，所以设点的坐标为；
点在上，设点的坐标为，，
所以，，
因为，所以，得，
因此，点坐标为，其中，
若，则，故，
又，，
所以，
所以，即存在，满足，故A正确；
因为，，
所以，
若与所成角的余弦值为，则，
化简可得，所以，所以存在，
使与所成角的余弦值为，故B正确；
设平面的法向量为，
则，又，，
所以，设，则，，
所以为平面的一个法向量，
又，
所以点到平面的距离为，
当或时，，
当时，，故不为定值，故C错误；
四面体，即三棱锥的底面的面积为定值，
又平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
故三棱锥的体积恒为定值，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，设，，，由证明，由此可得，令，求，即可判断A；利用空间向量法表示直线与所成角的余弦值为，求的值，即可判断B；取的不同位置，说明点到平面的距离不相等即可判断C；由题意可得点到平面的距离等于点到平面的距离，利用锥体体积公式求四面体的体积即可判断D.
12．曲线在点处的切线方程是　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：曲线，，易知切线斜率，
则曲线在点处的切线方程是，即.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.
13．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设与的夹角为，则，
因为为锐角，所以，解得，且，
则的取值范围是．
故答案为：.
【分析】设与的夹角为，利用向量的夹角公式可得，再由为锐角，可得且，求解即可得的取值范围.
14．已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知椭圆的右焦点，设其左焦点为，
圆的圆心，半径，
由椭圆的定义得，
则，
而，当且仅当点在直线上时取等号，
所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值.
故答案为：.
【分析】易知椭圆的焦点坐标，圆的圆心和半径，利用椭圆的定义将的最大值转化为求值的最大值，结合圆的性质求解即可.
15．如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．
（1）当时，求OP的长；
（2）当面积最大时，求．
【答案】（1）解：由题意，在中，，，，
∴为等腰直角三角形，
则
∴点在以为直径的圆上，
取的中点，连接，
∴，，
在中，，，
由正弦定理，得：
，
解得：.
（2）解：由题意和（1）知，，，
在中，，，
由余弦定理，得：
，
则，
所以
∴，当且仅当时，等号成立，
因为，
∴当且仅当时，的面积最大，
此时，
∴．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等腰直角三角形的定义，则判断出为等腰直角三角形，再利用三角形内角和定理和正弦定理求出OP的长.
（2）由（1）和已知条件以及余弦定理、基本不等式求最值的方法，从而求出与的乘积的最大值，再利用三角形面积公式得出面积的最大值，并且求出此时的角的值.
（1）由题意，
在中，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴在以为直径的圆上，
取的中点，连接，
∴，，
在中，，，
由正弦定理，
，
解得：
（2）由题意及（1）知，，，
在中，，，
由余弦定理，
，
即，
即，
∴，当且仅当时，等号成立，
又，
∴当且仅当时，的面积最大，此时，
∴．
16．如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图．
1若，证明：平面；
2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．
【答案】解：1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，
由已知得，，平面
又平面BDE，，
又，，平面；
2在图2中，，，，即面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，
由题意得，，由勾股定理可得，则，，
过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设平面ACD的一个法向量为，
由得，取得，
设，则m，，，得，
设CP与平面ACD所成的角为，
，
则
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】1根据为正方形，推导出，结合，利用线面垂直的判定定理证明平面，由此，再由，即可证明平面；
2 过作交于点，可知两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，可得，利用空间向量法求解即可．
17． 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
【答案】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得，解得，
则，，
即的通项公式为，的通项公式为；
（II）
，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意列出方程组，求得公差和公比，即可得等差数列和等比数列的通项公式；
（II）由（1）的结论，结合所满足的条件，将表示为，再利用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和即可.
18．已知函数．
（1）当时，讨论的零点个数；
（2）当时，证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，由得，在上单调递减，解，得，
则当时，在内只有一个零点，
当时，，在上单调递减，
，，，
又，在内有一个零点，
又在上单调递减，当时，在内有一个零点，
综上，当时，只有一个零点；
（2）证明：当时，，，
当时，，在上单调递增，
，，
在区间内存在唯一的零点；
（3）解：，且，恒成立，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理求零点个数即可；
（2）将代入，求导，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理证明结论即可；
（3） 对于任意的，都有， 利用分离参数可得，令，由（2）的结论得到函数最小值，即可得到结果.
（1）由，
当时，由得，在上单调递减，
解得，
当时，在内只有一个零点．
当时，，在上单调递减.
，，.
又，
在内有一个零点．
又在上单调递减，
当时，在内有一个零点．
综上，当时，只有一个零点．
（2）证明：当时，，，
当时，，
在上单调递增，
，，
在区间内存在唯一的零点．
（3），且，，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
19．双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和．
（i）设点的横坐标为，求的取值范围；
（ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上．
（附：双曲线以点为切点的切线方程为）
【答案】（1）解：在直线方程中，令，则，
所以，直线与轴交于，
则，
所以，双曲线的离心率为，
则，
所以，
则双曲线的标准方程为．
（2）（i）解：经检验，当一条切线斜率不存在时，
若，显然另一条切线方程斜率存在，
设切线方程为，
联立双曲线方程，得，
则，
解得，
因为双曲线渐近线方程为，
所以，此时不符合题意，
当时，此时只有一条切线，显然不合题意，
则两条切线斜率均存在，
设切线斜率为，则切线方程为，
与双曲线方程联立，得：，
令．
整理得：，
因为，
所以且，
上式整理，得：．
由题意，有两个相异实根，
所以，且，
整理得：，
解得：．
综上所述，的取值范围是．
（ii）证明：设，
直线方程和直线方程分别为和，
联立，得点，
因为点在直线上，
代入整理得：，①
在直线方程中，
令，则，
得点，
因为，
所以，直线方程为：，
设直线与直线交点为，
联立两直线方程，得，
解得：，
设直线与直线交点为，
同理可得：，
由①式，作差的分子，得：
，
作差的分母，得：
，
可得和表达式的分子分母分别相等，
则，两点重合，
所以直线与的交点在定直线上．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和赋值法得出直线l与x轴的交点坐标，从而求出的值，再根据双曲线的离心率公式得到的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出b的值，进而得出双曲线E的标准方程.
（2）（i）先排除切线斜率不存在的情况，再分类讨论，若，显然另一条切线方程斜率存在，设出切线方程为，则联立直线方程和双曲线方程，再根据判别式法得出k的值，从而得出双曲线渐近线方程，此时不符合题意，当时，此时只有一条切线，显然不合题意，则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，则切线方程为，再将切线方程和双曲线方程联立结合韦达定理和判别式法，从而得出t的取值范围.
（ii）设，根据切线结论得到直线方程和直线方程，再联立两直线方程求出点的坐标，再根据赋值法求出点的坐标，再由两点求斜率公式和点斜式方程，从而得到直线方程，再分别设直线与直线交点为，直线与直线交点为，从而证明出两点重合，进而证出直线和直线交点在定直线上．
（1）直线方程中，令，则，
则直线与轴交于，所以．离心率，
所以，故．
所以双曲线的标准方程为．
（2）（i）经检验，当一条切线斜率不存在时，
若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为，
联立双曲线方程得，
则，
解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意，
当时，此时只有一条切线，显然不合题意，
则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为，
与双曲线方程联立得：，
令．
整理得：，由于，所以且．
上式整理得：．
由题意，有两个相异实根，所以，
且．
整理得：，解得：．
综上所述，的取值范围是．
（ii）设．
直线和方程分别为和．
联立得点．
又点在直线上，代入整理得：．①
在直线方程中，令，则，得点．
，
故直线方程为：．
设直线与直线交点为，联立两直线方程：．
解得：．
设直线与直线交点为，
同理可得：．
由①式，作差的分子有
，
作差的分母有
.
则可得和表达式的分子分母分别相等．
故，两点重合，所以直线与的交点在定直线上．
1 / 1广东广州市第十三中学2026届高三考前适应性训练数学试题
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．若复数z满足，则（　　）
A． B．1 C．2 D．
3．记等差数列的前项和为，若，，则（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
4．已知，则（　　）
A． B． C．2 D．3
5．某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，
下列说法中正确的是（　　）
A．
B．评分的众数估值为70
C．评分的第25百分位数估值为67.5
D．评分的平均数估值为76
6．某空间站由，，三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，其中宇航员甲只能去舱，则不同的安排方法的种数为（　　）
A．35 B．36 C．42 D．50
7．设，若存在实数，，，满足，且，则的范围是（　　）
A． B． C． D．
8．已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（　　）
A．4 B．3 C． D．
9．下列命题正确的是（　　）
A．若样本数据，，的方差为2，则数据的方差为4
B．若，，则
C．在一组样本数据，，，，(，不全相等)的散点图中，若所有样本点都在直线上，则这组样本数据的线性相关系数为
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得经验回归方程为，则的值分别是和4
10．已知函数的图象满足以下特征：图象经过点，并且在轴右侧的第一个零点为，第一个最低点为，则下列有关函数及其性质的描述正确的是（　　）
A．
B．为函数图象的一条对称轴
C．将的图象向右平移个单位长度后，将得到一个偶函数的图象
D．函数的单调递减区间为
11．在边长为的正方体中，动点在棱上，动点在棱上，满足．以下对运动过程的描述，正确的是（　　）
A．存在，满足
B．存在，使与所成角的余弦值为
C．点到平面的距离为定值
D．四面体的体积为定值
12．曲线在点处的切线方程是　 　.
13．若，，且与的夹角为锐角，则的取值范围是　 　.
14．已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为　 　.
15．如图，P为半圆（AB为直径）上一动点，，，记．
（1）当时，求OP的长；
（2）当面积最大时，求．
16．如图，梯形中，，过分别作，，垂足分别，，已知，将梯形沿同侧折起，得空间几何体，如图．
1若，证明：平面；
2若，，线段上存在一点，满足与平面所成角的正弦值为，求的长．
17． 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
18．已知函数．
（1）当时，讨论的零点个数；
（2）当时，证明：在区间内存在唯一的零点；
（3）若对于任意的，都有，求整数的最大值．
19．双曲线的一个顶点在直线上，且其离心率为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若一条直线与双曲线恰有一个公共点，且该直线与双曲线的渐近线不平行，则定义该直线为双曲线的切线，定义该公共点为切线的切点，已知点在直线上，且过点恰好可作双曲线E的两条切线，设这两条切线的切点分别为和．
（i）设点的横坐标为，求的取值范围；
（ii）设直线和直线分别与直线交于点和点，证明：直线和直线交点在定直线上．
（附：双曲线以点为切点的切线方程为）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】补集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，即，
全集，则.
故答案为：A.
【分析】根据对数函数有意义，求得集合A，再根据集合的补集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
所以，
所以，
故答案为：A.
【分析】先通过复数的除法运算求出z的代数形式，再利用复数模的计算公式求解。
3．【答案】A
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，
由，
得，
解得，
由，
得，
则，
所以.
故答案为：A.
【分析】设出公差d，利用等差数列前项和公式和已知条件，从而列出方程求解得出首项的值.
4．【答案】C
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，
则，
即，同除以，则.
故答案为：C．
【分析】根据两角和与差的正弦公式，结合同角三角函数基本关系的商关系求值即可.
5．【答案】C
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；概率的基本性质；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：由题意，得，
解得，故A错误，
因为平均数为，故D错误；
因为众数为，故B错误；
因为，
所以第百分位数估计为，故C正确.
故答案为：C.
【分析】根据频率分布直方图中各小矩形的面积等于各小组的频率，再利用频率之和为，从而得出方程求出的值，则判断出选项A；利用频率分布直方图求平均数、百分位数和众数的方法，则判断出选项B、选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
6．【答案】D
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：有四类不同的安排情形：
①甲单独在舱，其余四人分成两组，一组1人，一组3人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
②甲单独在舱，其余四人平均分成两组每组人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
③舱安排人，其余三人分成两组，一组人，一组人，安排在舱，
有种不同的安排方法；
④舱安排人，其余二人分成两组，安排在舱，
有种不同的安排方法；
综上，不同的安排方法共有种.
故答案为：D.
【分析】按特殊元素或位置分类，以舱的人数为分类依据，将 5 人分配到 A、B、C 三个舱中，分别计算各类分组与排列的方法数，再求和即可得不同的安排种数.
7．【答案】A
【知识点】函数的图象；对数函数的图象与性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：函数的图像，如图所示：
，，，
，，，，
，
又因为，所以.
故答案为：A.
【解答】作出函数函数的图像，由，结合对数运算性质，分析，，，间的关系，结合二次函数性质求解即可.
8．【答案】A
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为抛物线的焦点，
设直线，点，
由，
消去，得，
则，
因为，
所以，
又因为，
因为，
所以，
因此，
所以.
故答案为：A.
【分析】先求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程，再将直线方程与抛物线方程联立，再利用韦达定理结合抛物线的定义及三角形面积公式，再结合已知条件得出的值.
9．【答案】B,D
【知识点】极差、方差与标准差；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征；全概率公式
【解析】【解答】解：A、原数据方差，设，则，故A错误；
B、，故 B 正确；
C、所有样本点都在直线 上，说明完全线性相关，相关系数绝对值为 ，直线斜率为负，故相关系数为 ，故C错误；
D、模型 取对数得 ，令 ，则回归方程为 ，
易知 ，则 ，，即 ，，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】根据方差的性质求解即可判断A；利用全概率公式求解可判断B；利用线性相关系数的定义即可判断C；取对数将非线性回归方程转化为线性回归方程求解即可判断D.
10．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：设函数的最小正周期为，
由函数的第一个最低点为，可知；
因为函数图象经过点，则，即，
且，则或；
又因为函数在y轴右侧的第一个零点为，
则，即，且，则，解得，
当时，，此时函数在y轴右侧的第一个零点为，不合题意；
当时，此时，符合题意；
A、，故A正确；
B、因为，不为最值，所以不为函数图象的一条对称轴，故B错误；
C、将的图象向右平移个单位长度，得，为偶函数，故C正确；
D、令，解得，
则函数的单调递减区间为，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】设函数的最小正周期为，由题意结合五点法求，即可判断A；根据最值点与对称轴之间的关系分析即可判断B；根据三角函数图象的平移变换求得变换得函数，确定函数的奇偶性即可判断C；以为整体，结合正弦函数单调性求函数的单调递减区间即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：以点为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，．
因为点在上，所以设点的坐标为；
点在上，设点的坐标为，，
所以，，
因为，所以，得，
因此，点坐标为，其中，
若，则，故，
又，，
所以，
所以，即存在，满足，故A正确；
因为，，
所以，
若与所成角的余弦值为，则，
化简可得，所以，所以存在，
使与所成角的余弦值为，故B正确；
设平面的法向量为，
则，又，，
所以，设，则，，
所以为平面的一个法向量，
又，
所以点到平面的距离为，
当或时，，
当时，，故不为定值，故C错误；
四面体，即三棱锥的底面的面积为定值，
又平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
故三棱锥的体积恒为定值，故D正确．
故答案为：ABD．
【分析】以点为原点，建立空间直角坐标系，设，，，由证明，由此可得，令，求，即可判断A；利用空间向量法表示直线与所成角的余弦值为，求的值，即可判断B；取的不同位置，说明点到平面的距离不相等即可判断C；由题意可得点到平面的距离等于点到平面的距离，利用锥体体积公式求四面体的体积即可判断D.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：曲线，，易知切线斜率，
则曲线在点处的切线方程是，即.
故答案为：.
【分析】利用导数的几何意义求切线方程即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设与的夹角为，则，
因为为锐角，所以，解得，且，
则的取值范围是．
故答案为：.
【分析】设与的夹角为，利用向量的夹角公式可得，再由为锐角，可得且，求解即可得的取值范围.
14．【答案】
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】解：易知椭圆的右焦点，设其左焦点为，
圆的圆心，半径，
由椭圆的定义得，
则，
而，当且仅当点在直线上时取等号，
所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值.
故答案为：.
【分析】易知椭圆的焦点坐标，圆的圆心和半径，利用椭圆的定义将的最大值转化为求值的最大值，结合圆的性质求解即可.
15．【答案】（1）解：由题意，在中，，，，
∴为等腰直角三角形，
则
∴点在以为直径的圆上，
取的中点，连接，
∴，，
在中，，，
由正弦定理，得：
，
解得：.
（2）解：由题意和（1）知，，，
在中，，，
由余弦定理，得：
，
则，
所以
∴，当且仅当时，等号成立，
因为，
∴当且仅当时，的面积最大，
此时，
∴．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和等腰直角三角形的定义，则判断出为等腰直角三角形，再利用三角形内角和定理和正弦定理求出OP的长.
（2）由（1）和已知条件以及余弦定理、基本不等式求最值的方法，从而求出与的乘积的最大值，再利用三角形面积公式得出面积的最大值，并且求出此时的角的值.
（1）由题意，
在中，，，，
∴为等腰直角三角形，
∴在以为直径的圆上，
取的中点，连接，
∴，，
在中，，，
由正弦定理，
，
解得：
（2）由题意及（1）知，，，
在中，，，
由余弦定理，
，
即，
即，
∴，当且仅当时，等号成立，
又，
∴当且仅当时，的面积最大，此时，
∴．
16．【答案】解：1由已知得四边形ABFE是正方形，且边长为2，在图2中，，
由已知得，，平面
又平面BDE，，
又，，平面；
2在图2中，，，，即面DEFC，
在梯形DEFC中，过点D作交CF于点M，连接CE，
由题意得，，由勾股定理可得，则，，
过E作交DC于点G，可知GE，EA，EF两两垂直，
以E为坐标原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
设平面ACD的一个法向量为，
由得，取得，
设，则m，，，得，
设CP与平面ACD所成的角为，
，
则
【知识点】直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】1根据为正方形，推导出，结合，利用线面垂直的判定定理证明平面，由此，再由，即可证明平面；
2 过作交于点，可知两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，可得，利用空间向量法求解即可．
17．【答案】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意可得，解得，
则，，
即的通项公式为，的通项公式为；
（II）
，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（I）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由题意列出方程组，求得公差和公比，即可得等差数列和等比数列的通项公式；
（II）由（1）的结论，结合所满足的条件，将表示为，再利用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和即可.
18．【答案】（1）解：函数定义域为，，
当时，由得，在上单调递减，解，得，
则当时，在内只有一个零点，
当时，，在上单调递减，
，，，
又，在内有一个零点，
又在上单调递减，当时，在内有一个零点，
综上，当时，只有一个零点；
（2）证明：当时，，，
当时，，在上单调递增，
，，
在区间内存在唯一的零点；
（3）解：，且，恒成立，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，分和，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理求零点个数即可；
（2）将代入，求导，利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理证明结论即可；
（3） 对于任意的，都有， 利用分离参数可得，令，由（2）的结论得到函数最小值，即可得到结果.
（1）由，
当时，由得，在上单调递减，
解得，
当时，在内只有一个零点．
当时，，在上单调递减.
，，.
又，
在内有一个零点．
又在上单调递减，
当时，在内有一个零点．
综上，当时，只有一个零点．
（2）证明：当时，，，
当时，，
在上单调递增，
，，
在区间内存在唯一的零点．
（3），且，，
令，则，，
由（2）知，在上单调递增，且在区间内存在唯一的零点，
设该零点为，则，
故当时，，即，在上单调递减，
当时，，即，在上单调递增，
，
，
故整数的最大值为3．
19．【答案】（1）解：在直线方程中，令，则，
所以，直线与轴交于，
则，
所以，双曲线的离心率为，
则，
所以，
则双曲线的标准方程为．
（2）（i）解：经检验，当一条切线斜率不存在时，
若，显然另一条切线方程斜率存在，
设切线方程为，
联立双曲线方程，得，
则，
解得，
因为双曲线渐近线方程为，
所以，此时不符合题意，
当时，此时只有一条切线，显然不合题意，
则两条切线斜率均存在，
设切线斜率为，则切线方程为，
与双曲线方程联立，得：，
令．
整理得：，
因为，
所以且，
上式整理，得：．
由题意，有两个相异实根，
所以，且，
整理得：，
解得：．
综上所述，的取值范围是．
（ii）证明：设，
直线方程和直线方程分别为和，
联立，得点，
因为点在直线上，
代入整理得：，①
在直线方程中，
令，则，
得点，
因为，
所以，直线方程为：，
设直线与直线交点为，
联立两直线方程，得，
解得：，
设直线与直线交点为，
同理可得：，
由①式，作差的分子，得：
，
作差的分母，得：
，
可得和表达式的分子分母分别相等，
则，两点重合，
所以直线与的交点在定直线上．
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用已知条件和赋值法得出直线l与x轴的交点坐标，从而求出的值，再根据双曲线的离心率公式得到的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出b的值，进而得出双曲线E的标准方程.
（2）（i）先排除切线斜率不存在的情况，再分类讨论，若，显然另一条切线方程斜率存在，设出切线方程为，则联立直线方程和双曲线方程，再根据判别式法得出k的值，从而得出双曲线渐近线方程，此时不符合题意，当时，此时只有一条切线，显然不合题意，则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，则切线方程为，再将切线方程和双曲线方程联立结合韦达定理和判别式法，从而得出t的取值范围.
（ii）设，根据切线结论得到直线方程和直线方程，再联立两直线方程求出点的坐标，再根据赋值法求出点的坐标，再由两点求斜率公式和点斜式方程，从而得到直线方程，再分别设直线与直线交点为，直线与直线交点为，从而证明出两点重合，进而证出直线和直线交点在定直线上．
（1）直线方程中，令，则，
则直线与轴交于，所以．离心率，
所以，故．
所以双曲线的标准方程为．
（2）（i）经检验，当一条切线斜率不存在时，
若，显然另一条切线方程斜率存在，设切线方程为，
联立双曲线方程得，
则，
解得，而双曲线渐近线方程为，则此时不符合题意，
当时，此时只有一条切线，显然不合题意，
则两条切线斜率均存在，设切线斜率为，切线方程为，
与双曲线方程联立得：，
令．
整理得：，由于，所以且．
上式整理得：．
由题意，有两个相异实根，所以，
且．
整理得：，解得：．
综上所述，的取值范围是．
（ii）设．
直线和方程分别为和．
联立得点．
又点在直线上，代入整理得：．①
在直线方程中，令，则，得点．
，
故直线方程为：．
设直线与直线交点为，联立两直线方程：．
解得：．
设直线与直线交点为，
同理可得：．
由①式，作差的分子有
，
作差的分母有
.
则可得和表达式的分子分母分别相等．
故，两点重合，所以直线与的交点在定直线上．
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