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广东惠州市惠东县2025-2026学年第二学期高一年级期中质量检测数学
1．设复数，则（　　）
A．4 B． C．2i D．
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：A
【分析】本题考查共轭复数的概念与复数加法运算，关键是依据共轭复数定义写出复数的共轭复数，再通过合并同类项完成复数求和运算。
2．已知向量，满足，，，则（　　）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B
【分析】本题考查平面向量数量积的计算公式，关键是直接套用数量积定义式，代入模长与夹角余弦值完成运算。
3．已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（　　）
A．8 B． C． D．4
【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：的直观图是直角三角形，且，
所以，原图，如图所示：
在中，，，则.
故答案为：C.
【分析】利用斜二测画法将直观图还原，求得，再利用勾股定理求即可.
4．已知，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．
【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于选项A，取，满足，
但不成立，故A错；
对于选项B，设，，
则，故B正确；
对于选项C，取，满足，
但，故C错；
对于选项D，取，
则，，故D错.
故答案为：B．
【分析】根据复数的运算法则、复数的分类、复数相等、复数求模公式、共轭复数的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项．
5．已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为；
由题可知：，，解得；
设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为，
显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：
若要满足题意，则，也即，，解得，
故，则该圆台外接球表面积.
故答案为：B.
【分析】本题考查圆台体积公式与圆台外接球表面积计算，关键是先用体积公式求出圆台的底面半径与高，再利用外接球到上下底面顶点距离相等列方程求解外接球半径，最后代入球的表面积公式计算。
6．在中，，是上一点，若，则实数的值为（　　）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，，所以，
设（），
则，
所以，
所以，解得；
故答案为：A
【分析】本题考查平面向量三点共线结论，关键是先把转化为，再利用共线向量系数和为列式求解参数。
7．已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，
则，，
设，
则，，
所以，
令，则，
则，
可得.
故答案为：D.
【分析】先建立平面直角坐标系，则得出点的坐标，设，从而得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角的余弦值的坐标表示结合换元法，令，则，则，再由函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
8．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（　　）
A．63颗 B．126颗 C．378颗 D．504颗
【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：作出轴截面图如图，
由题意，
设，则，解得，
则最大放入珍珠的体积，
一颗珍珠的体积是，由，
所以最多可以放入珍珠126颗.
故答案为：B.
【分析】本题考查圆锥、球的体积公式与相似几何体比例关系，关键是利用相似求出水面处圆锥底面半径，算出空余容积，再除以单个珍珠体积得到最多数量。
9．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（　　）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、圆柱的侧面积为，故A正确；
B、圆锥的侧面积为，故B正确；
C、圆锥的体积为，圆柱的体积为，
球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，故C正确；
D、球的表面积为，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，则圆锥的表面积最小，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据圆柱的表面积公式求解即可判断A；计算圆锥的侧面积即可判断B；根据球、圆锥、圆柱的体积公式计算即可判断C；分别计算圆柱、圆锥和球的表面积比较即可判断D.
10．设复数z满足，则以下结论正确的是（　　）．
A．z在复平面上对应的轨迹是圆 B．的最大值为2
C．的最小值为0 D．复数z的虚部取值范围是
【答案】A,B,C
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设复数（为虚数单位），
则表示点与之间的距离，
A、z在复平面上对应的轨迹是以为圆心以1为半径的圆，故A正确；
B、，当时，即可取最大值，故B正确；
C、，当时即可取最小值，故C正确；
D、因为，则符合题意，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】设复数（为虚数单位），利用复数的模的几何意义即可判断A；利用不等式的性质即可判断BC；根据复数模公式，取特殊值法求解即可判断D.
11．在中，已知，，，若，则（　　）
A．
B．
C．是在上的投影向量
D．
【答案】B,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于，由，得，
则，
可得，故错误；
对于，因为，，
展开得，
移项整理，可得，故正确；
对于，由投影向量求法可知，在上的投影向量为，
因为，，，
代入上式，可得在上的投影向量为，故正确；
对于，由题意，如图：
因为
，故错误.
故答案为：.
【分析】根据向量共线定理和三角形面积公式，则判断出选项A；利用平面向量基本定理判断出选项B；利用数量积求投影向量的方法，则判断出选项C；利用平面向量基本定理和数量积的运算律以及数量积的定义，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．定义运算．若复数，，则　 　，　 　．
【答案】1；
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得，则；
所以．
故答案为：1；
【分析】本题考查复数四则运算、复数模长与新定义行列式运算，关键先化简复数x，再套用行列式展开公式代入求值。
13．如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是　 　
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，其中，
则，，所以，
因为，所以，则，
故，即的取值范围是.
故答案为：
【分析】本题考查平面向量坐标运算与函数值域，关键是建立平面直角坐标系写出向量坐标，转化为二次函数在闭区间上求最值。
14．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为　 　.
【答案】
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：因为圆筒内径长为，
所以，内圆半径，外径长为，
则外圆半径
又因为上下两段圆筒总高为，
加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分：上下外圆柱体积+中部正方体体积
=，
又因为空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为，
则，
所以玉琮的体积为.
故答案为：.
【分析】由玉琮体积可以分为两部分计算，即上、下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体积，从而得出该玉琮的体积.
15．（1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量，，，求作向量.
（2）设两个非零向量，不共线，，，.
①若和共线，求实数的值；
②求证：、、三点共线.
【答案】（1）解：如图：保持不变，将平移，使其起点落在的终点上，
然后将向量平移，使其起点落在平移后的的终点上，
最后从最开始的起点连接到最终的终点，这个新的向量就是
（2）①解：和共线，则有，，
因为非零向量，不共线，所以有且，得即；
②证明：，
因为，所以和共线，所以A、B、D三点共线.
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理
【解析】【分析】(1) 利用向量加法的多边形法则，依次平移首尾相接，从共同起点指向最终终点得到；
(2)① 根据共线向量定理设参数等式，依托不共线列方程组求；
② 先算出，证明与成数乘关系，证两向量共线从而证三点共线。
16．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最小值及的面积.
【答案】（1）解：由和正弦定理，
可得，整理得，
由余弦定理，，因，则.
（2）解：由化简得，
由余弦定理，，
当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为.
的面积为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将已知等式的角化为边，再用余弦定理求出cosC，从而确定角C的大小；
(2) 先由向量数量积求出ab的值，再用余弦定理结合基本不等式求出c的最小值，最后用三角形面积公式求面积。
（1）由和正弦定理，
可得，整理得，
由余弦定理，，因，则.
（2）由化简得，
由余弦定理，，
当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为.
的面积为.
17．已知函数．
（1）求函数的周期、单调增区间、对称中心；
（2）当时，求函数的值域；
（3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：先化简函数：
.
所以函数的周期.
由，，
所以单调增区间为，.
由横坐标为，，纵坐标为，
所以对称中心为，.
（2）解：由，得，
，所以.
（3）解：，
解得，
所以当有3个实数根时，依次为，，；
当有4个实数根，此时为临界点，
由条件可知临界点为开区间，为满足条件，可知.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先用三角恒等变换化简为形式，再由周期公式求周期，结合正弦函数单调区间、对称中心性质求解对应结果；
(2) 由范围确定范围，结合正弦值域求值域；
(3) 解方程得到全部根，结合有3个不同实根的条件，确定取值范围。
（1）先化简函数：
.
所以函数的周期.
由，，
所以单调增区间为，.
由横坐标为，，纵坐标为，
所以对称中心为，.
（2）由，得，，所以.
（3），解得，
所以当有3个实数根时，依次为，，；
当有4个实数根，此时为临界点，
由条件可知临界点为开区间，为满足条件，可知.
18．已知函数，其中t为常数.
（1）当时，恒成立，求实数t的取值范围；
（2）设函数在上有两个零点m，n，
①求t的取值范围；
②证明：
【答案】（1）解：由题意，
令，因为，所以，
则，即求在上恒成立，
因为为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递增，则的最大值为，
所以，解得，故实数t的取值范围为.
（2）①解：令，因为，所以，
因为函数在上有两个零点，
所以在上有两个根，
则在上有两个根，
令为开口向下，对称轴为的抛物线，
则的最大值为，
作出与的图象，则与的图象有2个不同交点，
由图象可得，则t的取值范围是.
②证明：由①得为与的图象的交点，
则，即，
因为，不妨设，所以，则，
则，
因为，所以，
所以，则，
所以，即.
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 利用换元，令转化为二次函数，根据范围确定范围，结合二次函数单调性求最大值，由恒成立求范围；
(2)① 同理换元，零点问题转化为二次方程在有两不等实根，数形结合求范围；
② 由韦达定理得到关系式，变形后结合角范围、三角恒等变换证明不等式。
（1）由题意，
令，因为，所以，
则，即求在上恒成立，
因为为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递增，则的最大值为，
所以，解得，故实数t的取值范围为.
（2）①令，因为，所以，
因为函数在上有两个零点，
所以在上有两个根，
则在上有两个根，
令为开口向下，对称轴为的抛物线，
则的最大值为，
作出与的图象，则与的图象有2个不同交点，
由图象可得，则t的取值范围是.
②由①得为与的图象的交点，
则，即，
因为，不妨设，所以，则，
则，
因为，所以，
所以，则，
所以，即.
19．已知定义在R上的函数满足，且当时，．
（1）求的值，并证明：为奇函数；
（2）求证：在R上是增函数；
（3）若，求不等式的解集．
【答案】（1）解：因为定义在上的函数满足，
取，则，
所以，
，取，
则，
所以，
则，
所以为奇函数.
（2）证明：，
则，
当时，，
得，
因为，
所以在上是增函数.
（3）解：由，
得，
因为不等式，
则，
由（2）知，，
则，
解得或，
所以，原不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用已知条件和赋值法得出的值，再利用奇函数定义证出为奇函数.
（2）根据已知条件和增函数的定义，从而证出函数在R上是增函数.
（3）利用已知条件赋值求出的值，再将不等式转化为，再由（2）中函数的单调性，从而求解一元二次不等式得出不等式的解集.
（1）定义在上的函数满足，
取，则，所以，
，取，则，
于是，
即，
所以为奇函数.
（2），则，由当时，，得，
，
所以在上是增函数.
（3）由，得，
不等式，
则，由（2）知，，即，解得或，
所以原不等式的解集为.
1 / 1广东惠州市惠东县2025-2026学年第二学期高一年级期中质量检测数学
1．设复数，则（　　）
A．4 B． C．2i D．
2．已知向量，满足，，，则（　　）
A． B．1 C．2 D．3
3．已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（　　）
A．8 B． C． D．4
4．已知，，则下列说法正确的是（　　）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．
5．已知圆台的上底面积，下底面积分别为，体积为，则该圆台的外接球表面积为（　　）
A． B． C． D．
6．在中，，是上一点，若，则实数的值为（　　）
A． B． C．1 D．3
7．已知梯形中，，点为边上的动点，若，则的范围是（　　）
A． B． C． D．
8．如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径（即杯口直径）6cm，高8cm（不含杯脚），已知水的高度是4cm，现往杯子中放入一种直径为1cm的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变；如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放入珍珠（　　）
A．63颗 B．126颗 C．378颗 D．504颗
9．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（　　）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
10．设复数z满足，则以下结论正确的是（　　）．
A．z在复平面上对应的轨迹是圆 B．的最大值为2
C．的最小值为0 D．复数z的虚部取值范围是
11．在中，已知，，，若，则（　　）
A．
B．
C．是在上的投影向量
D．
12．定义运算．若复数，，则　 　，　 　．
13．如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点、）．若，则的取值范围是　 　
14．玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为　 　.
15．（1）作图题：如图所示，已知同起点的三个向量，，，求作向量.
（2）设两个非零向量，不共线，，，.
①若和共线，求实数的值；
②求证：、、三点共线.
16．记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，求的最小值及的面积.
17．已知函数．
（1）求函数的周期、单调增区间、对称中心；
（2）当时，求函数的值域；
（3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围．
18．已知函数，其中t为常数.
（1）当时，恒成立，求实数t的取值范围；
（2）设函数在上有两个零点m，n，
①求t的取值范围；
②证明：
19．已知定义在R上的函数满足，且当时，．
（1）求的值，并证明：为奇函数；
（2）求证：在R上是增函数；
（3）若，求不等式的解集．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以．
故答案为：A
【分析】本题考查共轭复数的概念与复数加法运算，关键是依据共轭复数定义写出复数的共轭复数，再通过合并同类项完成复数求和运算。
2．【答案】B
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：.
故答案为：B
【分析】本题考查平面向量数量积的计算公式，关键是直接套用数量积定义式，代入模长与夹角余弦值完成运算。
3．【答案】C
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：的直观图是直角三角形，且，
所以，原图，如图所示：
在中，，，则.
故答案为：C.
【分析】利用斜二测画法将直观图还原，求得，再利用勾股定理求即可.
4．【答案】B
【知识点】复数的基本概念；复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于选项A，取，满足，
但不成立，故A错；
对于选项B，设，，
则，故B正确；
对于选项C，取，满足，
但，故C错；
对于选项D，取，
则，，故D错.
故答案为：B．
【分析】根据复数的运算法则、复数的分类、复数相等、复数求模公式、共轭复数的定义，从而逐项判断找出说法正确的选项．
5．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设该圆台的上底面和下底面半径分别为，高为；
由题可知：，，解得；
设圆台上底面、下底面圆心为，外接球球心为，球半径长度为，
显然，球心在的连线上，设，根据题意，作图如下所示：
若要满足题意，则，也即，，解得，
故，则该圆台外接球表面积.
故答案为：B.
【分析】本题考查圆台体积公式与圆台外接球表面积计算，关键是先用体积公式求出圆台的底面半径与高，再利用外接球到上下底面顶点距离相等列方程求解外接球半径，最后代入球的表面积公式计算。
6．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的线性运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：因为，，所以，
设（），
则，
所以，
所以，解得；
故答案为：A
【分析】本题考查平面向量三点共线结论，关键是先把转化为，再利用共线向量系数和为列式求解参数。
7．【答案】D
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：如图所示建立平面直角坐标系，
则，，
设，
则，，
所以，
令，则，
则，
可得.
故答案为：D.
【分析】先建立平面直角坐标系，则得出点的坐标，设，从而得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角的余弦值的坐标表示结合换元法，令，则，则，再由函数求值域的方法，从而得出的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：作出轴截面图如图，
由题意，
设，则，解得，
则最大放入珍珠的体积，
一颗珍珠的体积是，由，
所以最多可以放入珍珠126颗.
故答案为：B.
【分析】本题考查圆锥、球的体积公式与相似几何体比例关系，关键是利用相似求出水面处圆锥底面半径，算出空余容积，再除以单个珍珠体积得到最多数量。
9．【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、圆柱的侧面积为，故A正确；
B、圆锥的侧面积为，故B正确；
C、圆锥的体积为，圆柱的体积为，
球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，故C正确；
D、球的表面积为，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，则圆锥的表面积最小，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据圆柱的表面积公式求解即可判断A；计算圆锥的侧面积即可判断B；根据球、圆锥、圆柱的体积公式计算即可判断C；分别计算圆柱、圆锥和球的表面积比较即可判断D.
10．【答案】A,B,C
【知识点】复数的模；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设复数（为虚数单位），
则表示点与之间的距离，
A、z在复平面上对应的轨迹是以为圆心以1为半径的圆，故A正确；
B、，当时，即可取最大值，故B正确；
C、，当时即可取最小值，故C正确；
D、因为，则符合题意，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】设复数（为虚数单位），利用复数的模的几何意义即可判断A；利用不等式的性质即可判断BC；根据复数模公式，取特殊值法求解即可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；三角形中的几何计算；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于，由，得，
则，
可得，故错误；
对于，因为，，
展开得，
移项整理，可得，故正确；
对于，由投影向量求法可知，在上的投影向量为，
因为，，，
代入上式，可得在上的投影向量为，故正确；
对于，由题意，如图：
因为
，故错误.
故答案为：.
【分析】根据向量共线定理和三角形面积公式，则判断出选项A；利用平面向量基本定理判断出选项B；利用数量积求投影向量的方法，则判断出选项C；利用平面向量基本定理和数量积的运算律以及数量积的定义，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】1；
【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题意可得，则；
所以．
故答案为：1；
【分析】本题考查复数四则运算、复数模长与新定义行列式运算，关键先化简复数x，再套用行列式展开公式代入求值。
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：设半圆的圆心为，因为点为的中点，为半圆的直径，所以，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则、、，设点，其中，
则，，所以，
因为，所以，则，
故，即的取值范围是.
故答案为：
【分析】本题考查平面向量坐标运算与函数值域，关键是建立平面直角坐标系写出向量坐标，转化为二次函数在闭区间上求最值。
14．【答案】
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题
【解析】【解答】解：因为圆筒内径长为，
所以，内圆半径，外径长为，
则外圆半径
又因为上下两段圆筒总高为，
加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分：上下外圆柱体积+中部正方体体积
=，
又因为空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为，
则，
所以玉琮的体积为.
故答案为：.
【分析】由玉琮体积可以分为两部分计算，即上、下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体积，从而得出该玉琮的体积.
15．【答案】（1）解：如图：保持不变，将平移，使其起点落在的终点上，
然后将向量平移，使其起点落在平移后的的终点上，
最后从最开始的起点连接到最终的终点，这个新的向量就是
（2）①解：和共线，则有，，
因为非零向量，不共线，所以有且，得即；
②证明：，
因为，所以和共线，所以A、B、D三点共线.
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的共线定理
【解析】【分析】(1) 利用向量加法的多边形法则，依次平移首尾相接，从共同起点指向最终终点得到；
(2)① 根据共线向量定理设参数等式，依托不共线列方程组求；
② 先算出，证明与成数乘关系，证两向量共线从而证三点共线。
16．【答案】（1）解：由和正弦定理，
可得，整理得，
由余弦定理，，因，则.
（2）解：由化简得，
由余弦定理，，
当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为.
的面积为.
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】(1) 利用正弦定理将已知等式的角化为边，再用余弦定理求出cosC，从而确定角C的大小；
(2) 先由向量数量积求出ab的值，再用余弦定理结合基本不等式求出c的最小值，最后用三角形面积公式求面积。
（1）由和正弦定理，
可得，整理得，
由余弦定理，，因，则.
（2）由化简得，
由余弦定理，，
当且仅当时等号成立，即当时，的最小值为.
的面积为.
17．【答案】（1）解：先化简函数：
.
所以函数的周期.
由，，
所以单调增区间为，.
由横坐标为，，纵坐标为，
所以对称中心为，.
（2）解：由，得，
，所以.
（3）解：，
解得，
所以当有3个实数根时，依次为，，；
当有4个实数根，此时为临界点，
由条件可知临界点为开区间，为满足条件，可知.
【知识点】简单的三角恒等变换；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1) 先用三角恒等变换化简为形式，再由周期公式求周期，结合正弦函数单调区间、对称中心性质求解对应结果；
(2) 由范围确定范围，结合正弦值域求值域；
(3) 解方程得到全部根，结合有3个不同实根的条件，确定取值范围。
（1）先化简函数：
.
所以函数的周期.
由，，
所以单调增区间为，.
由横坐标为，，纵坐标为，
所以对称中心为，.
（2）由，得，，所以.
（3），解得，
所以当有3个实数根时，依次为，，；
当有4个实数根，此时为临界点，
由条件可知临界点为开区间，为满足条件，可知.
18．【答案】（1）解：由题意，
令，因为，所以，
则，即求在上恒成立，
因为为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递增，则的最大值为，
所以，解得，故实数t的取值范围为.
（2）①解：令，因为，所以，
因为函数在上有两个零点，
所以在上有两个根，
则在上有两个根，
令为开口向下，对称轴为的抛物线，
则的最大值为，
作出与的图象，则与的图象有2个不同交点，
由图象可得，则t的取值范围是.
②证明：由①得为与的图象的交点，
则，即，
因为，不妨设，所以，则，
则，
因为，所以，
所以，则，
所以，即.
【知识点】函数恒成立问题；含三角函数的复合函数的值域与最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】(1) 利用换元，令转化为二次函数，根据范围确定范围，结合二次函数单调性求最大值，由恒成立求范围；
(2)① 同理换元，零点问题转化为二次方程在有两不等实根，数形结合求范围；
② 由韦达定理得到关系式，变形后结合角范围、三角恒等变换证明不等式。
（1）由题意，
令，因为，所以，
则，即求在上恒成立，
因为为开口向上，对称轴为的抛物线，
所以在上单调递增，则的最大值为，
所以，解得，故实数t的取值范围为.
（2）①令，因为，所以，
因为函数在上有两个零点，
所以在上有两个根，
则在上有两个根，
令为开口向下，对称轴为的抛物线，
则的最大值为，
作出与的图象，则与的图象有2个不同交点，
由图象可得，则t的取值范围是.
②由①得为与的图象的交点，
则，即，
因为，不妨设，所以，则，
则，
因为，所以，
所以，则，
所以，即.
19．【答案】（1）解：因为定义在上的函数满足，
取，则，
所以，
，取，
则，
所以，
则，
所以为奇函数.
（2）证明：，
则，
当时，，
得，
因为，
所以在上是增函数.
（3）解：由，
得，
因为不等式，
则，
由（2）知，，
则，
解得或，
所以，原不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）利用已知条件和赋值法得出的值，再利用奇函数定义证出为奇函数.
（2）根据已知条件和增函数的定义，从而证出函数在R上是增函数.
（3）利用已知条件赋值求出的值，再将不等式转化为，再由（2）中函数的单调性，从而求解一元二次不等式得出不等式的解集.
（1）定义在上的函数满足，
取，则，所以，
，取，则，
于是，
即，
所以为奇函数.
（2），则，由当时，，得，
，
所以在上是增函数.
（3）由，得，
不等式，
则，由（2）知，，即，解得或，
所以原不等式的解集为.
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